陕西省商洛市高三上学期期末考试数学

陕西省商洛市高三上学期2月期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，为虚数单位，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知向量，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．已知椭圆上任意一点到它的两个焦点的距离之和为10，且，则椭圆的焦距为（

）A．2 B．4 C．6 D．85．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（

）A． B． C． D．6．设函数，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．7．若，则=（

）A． B． C． D．8．在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（

）A． B．1 C． D．二、多选题9．将某班级40名学生的数学测试成绩（满分150分）整理为如下频数分布表，则下列说法正确的是（

）成绩频数4812106A．该组数据的中位数在内B．该组数据的第80百分位数在内C．若去掉其中一个同学的数学测试成绩，则剩余39人的数学测试成绩的方差会变小D．若从和两组数据中按分层抽样抽取5人，则共有120种不同的选法10．已知直线是函数图象的一条对称轴，则下列结论正确的是（

）A．点是图象的一个对称中心B．在上单调递减C．若在上恒成立，则的最大值为D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为11．已知函数，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知圆与圆相交，则的取值范围为.13．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，O为坐标原点，若的面积为2，则．14．将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有种．（用数字作答）四、解答题15．设等差数列的前项和为且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.16．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，，D为BC的中点．

(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．17．已知函数(1)若点在的图象上，求曲线在点P处的切线方程；(2)若点不在的图象上，过点M且与的图象相切的直线与x轴平行，求a的值．18．为了了解人们对AI应用的喜爱程度，现随机抽取不同年龄段的1000人进行调查统计，得到如下2×2列联表：年龄AI应用合计不喜爱喜爱不超过35岁400600超过35岁300合计1000(1)完成2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断人们对AI应用的喜爱程度是否与年龄有关联．(2)从这1000名调查者中随机抽取一人，若这个人年龄不超过35岁，求该调查者是喜爱AI应用的概率．(3)为推广AI应用，某科技公司组织了AI应用知识竞赛活动．活动规定从10道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在10道备选题中，甲只能正确完成其中的8道题．设随机变量X表示甲可以正确完成的题的数量，求变量X的分布列及数学期望．附：其中．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82819．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线上，且在第一象限，点在轴正半轴上，且四边形为菱形.(1)求双曲线的方程.(2)已知直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，与两渐近线分别交于点.①求的取值范围；②直线经过右焦点，且与双曲线的左、右两支分别交于两点，试判断与的大小关系，并说明理由.

参考答案1．C【详解】因为，所以．2．D【详解】由，，得，解得，所以.故选：D3．A【详解】因为，所以．故选：A.4．C【详解】依题意得，解得.又，所以，从而，所以焦距为.故选：C.5．B【详解】因为，由正弦定理可得，因为，解得，则，又，所以．故选：B.6．A【详解】令，则.因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减；因为是减函数，所以在上单调递减.因为，，所以函数在上单调递减。因为，所以，所以，解得．故选：A.7．B【详解】因为，所以，又，解得，所以．故选：B．8．D【详解】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高，，则，所以，，过点作的垂线，垂足为，则，，则，，故能将正四棱台罩住的半球的最小半径．设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故．故选：D

9．ABD【详解】对于A，由题意得总人数为40，则中位数为第个数据的平均数，而前两组频数和为，前三组频数和为，因此中位数在内，故A正确．对于B，计算第80百分位数的位置，而前3组频数和为24，前4组频数和为，则第80百分位数在内，故B正确．对于C，由方差的性质得方差反映数据的离散程度，由于未明确被去掉同学的数学测试成绩与平均数的偏离程度，因此无法确定方差的变化，故C错误，对于D，成绩在内的有4人，成绩在内的有6人，按分层抽样抽取5人，则从这两组分别选2人与3人，不同的选法数为，故D正确．故选：ABD10．AC【详解】已知直线是对称轴,则有.因为,所以当时,.即.对于选项A,对称中心坐标满足,解关于的方程:,.当时,.此时,所以点是函数图像的一个对称中心,故A正确.对于选项B,根据正弦函数的单调性,单调递减区间为:，解不等式，当时,单调递减区间为.显然,故B错误.对于选项C,即.则有,，解不等式:.当时,,因为在上恒成立，所以的最大值为，故C正确.对于选项D,令,则，解关于的方程:.当时,，当时,;当时,.因为在上恰有2个零点,所以,故D错误.故选：AC.11．BCD【详解】因为，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，.对于A，因为，所以，所以A错误；对于B，要证，只需证，即证，因为,所以,所以，所以，所以B正确；对于C，因为，所以，又，所以，则，所以C正确；对于D，因为，所以，所以D正确.故选：BCD.12．【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为，且，由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为，故答案为：.13．2【详解】因为，所以，从而．由的面积为2，得，解得．故答案为：2.14．1080【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法．因为，，所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置，再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置，最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置，故填好，，，，，，共有种方法．因此，按照要求填好该方格共有种方法．故答案为：1080.15．(1)(2)【详解】（1）由题意得，即，又，即，联立，解得，则.故的通项公式为.（2）因为，所以.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：连接，与交于点，则为的中点，连接OD，

因为为的中点，所以是的中位线，则，又平面，平面，所以平面．（2）由题可知为正三角形，为的中点，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，可得，则，设平面的法向量为，则由可得令，得，设平面的法向量为，则由可得令，得，，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．17．(1)(2)【详解】（1）由点在的图象上，得，解得，所以，求导得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率.因为直线与轴平行，所以的斜率为0，得解得，，所以的值为.18．(1)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，可判断人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关联．(2)(3)分布列见解析，【详解】（1）补全的列联表如下：年龄AI应用合计不喜爱喜爱不超过35岁200400600超过35岁300100400合计5005001000零假设为：人们对AI应用的喜爱程度与年龄无关.根据表中数据，计算得到．根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，即认为人们对AI应用的喜爱程度与年龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．（2）从这1000名调查者中随机抽取一人，记这个人的年龄不超过35岁为事件，这个人喜爱AI应用为事件，则，所以.若这个人年龄不超过35岁，则该调查者是喜爱AI应用的概率为．（3）的所有可能取值为2，3，4，的分布列为234的数学期望.19．(1)(2)①；②，理由见解析【详解】（1）依题意知菱形的边长为，且，所以，所以，可得.又，所以，由，得，所以双曲线的方程为.（2）①法一：由题意可知，直线的斜率不为，故设直线的方程为，由消去得，设，则，因为直线过右焦点，且与右支交于两点，所以，即，则，又渐近线的方程为，所以由，得,由，得，不妨设，则，所以，因为，所以.法二：由题意可知，直线的斜率不为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去得，设，