福建省莆田市仙游第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

福建省仙游第一中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷一、单选题1．下列求导结果正确的是（

）A． B．C． D．2．在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则（

）A．点关于点的对称点为B．点关于轴的对称点为C．点关于轴的对称点为D．点关于平面的对称点为3．如图，在四面体中，是的中点，若，，，则（

）A． B． C． D．4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．－4 B．－3 C．4 D．35．下列关于空间向量的命题中正确的是（）A．已知两个向量，，则与的夹角为锐角B．已知过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底D．已知，，则在上的投影向量坐标为6．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（）A． B． C．3 D．7．已知，若函数恰有1个零点，则（

）A．e B． C．1 D．38．若对任意，且，都有，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．若向量，，则，，三点共线B．若非零向量和不共线，若和共线，则C．与向量垂直的单位向量可以是D．平面上三点的坐标分别为，，，若点与，，三点能构成平行四边形四个顶点．则的坐标可以是10．已知空间中三点，，，则（

）A．B．方向上的单位向量坐标是C．是平面ABC的一个法向量D．在上的投影向量的模为11．已知函数，则（

）A．是函数的极小值点B．对，方程恒有两个不同的实数解C．D．存在，使得直线与曲线相切三、填空题12．在平行六面体中，，则__________.13．函数的单调递减区间为__________.14．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数________．四、解答题15．如图，在正方体中，、分别是、的中点．(1)求异面直线与所成的角；(2)证明：平面．16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点．

(1)证明：平面平面．(2)若，求二面角的余弦值．(3)若，求点到平面的距离．17．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：．18．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.19．已知函数．(1)若，求函数在处的切线方程；(2)设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；(3)若函数存在2个极值点，且满足，求证：．参考答案1．D2．C3．A4．D5．D6．B7．B8．A9．ACD10．BC11．AB12．13．14．15．（1）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，，则，所以，所以异面直线与所成的角为．（2）由（1）知，，因为，所以，所以，且，平面，所以平面．16．（1）因为侧面是正三角形，是的中点．所以⊥，而底面是边长为4的正方形，故⊥，又侧面底面，交线为，平面，故⊥平面，又平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，又平面，故平面⊥平面；（2）取的中点，连接，则⊥，因为侧面是正三角形，所以⊥，因为侧面底面，交线为，平面，所以⊥底面，又平面，所以⊥，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令得，，故，则，

从图中可以看出，二面角大小为锐角，故二面角的余弦值为；（3）若，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，，故，故点到平面的距离为.17．（1）由题意可知，函数，的定义域为，导数，当时，，；当时，，；，；综上，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减．所以，要证，需证．即需证恒成立，令，则所以函数在区间单调递增，故，所以，恒成立，所以当时，．18．（1）证明：取中点记为，连接EF，CF，则，且；，且；所以平行且等于CD，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）记中点为，连接，，则四边形为正方形，且根据勾股定理得，所以，则，所以.又因为，，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以，且，平面，所以平面.（3）由（2）知，平面，且.以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，设，，则，则，，，设平面与平面的法向量分别为和则令，得.令，得.设平面与平面的夹角为，，则，解得.因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为.19．（1）当时，，，且，故在处的切线方程为，即2x＋y－2＝0，（2），，由＝0可得，令，x>0，则令，在上单调递减，且，则当时，，则，即在上单调递增，时，，，即在上单调递减，且又时，，时，，由题得，有且