三元一次方程组的解法课件2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章二元一次方程组10.4三元一次方程组的解法01课前预习02例题精讲目录03课堂检测目录

三三(2)由①，得x＝

④.将④分别代入②和③中，整理可得

方程组

⁠．11＋y－z

(1)三元一次方程组的概念：含有

⁠个未知数，且含有未

知数的式子都是

，含有未知数的项的次数都是

⁠，一共有

三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．(2)解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行

⁠

，把“三元”化为“

”，使解三元一次方程组转化为解二元

一次方程组，进而再转化为解

⁠方程．三整式1消元

二元一元一次

知识点

1

三元一次方程组的概念

⁠例1

下列方程组中，是三元一次方程组的是（

C）CA.

B．

C.

D．

1.

下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（

D）A.

B．

C.

D．

D

解：①＋②，得2x－y＝5④.③－②×2，得5y＝15.解得y＝3.把y＝3代入④，得2x－3＝5.解得x＝4.

解：①＋②，整理得x＋y＝1④.③－②，得x＋3y＝－1⑤.

知识点

3

三元一次方程组的应用

⁠例3

已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝

－2；当x＝2时，y＝7.求a，b，c的值．

①－②，得2b＝4.解得b＝2.将b＝2代入①，得a＋c＝0④.将b＝2代入③，得4a＋c＝3⑤.⑤－④，得3a＝3.解得a＝1.把a＝1代入④，得c＝－1.∴a的值为1，b的值为2，c的值为－1.3.

一个三位数，个位、百位上的数字之和等于十位上的数字的2

倍，百位上的数字的3倍比个位、十位上的数字之和大1，个位、十位、

百位上的数字之和是15.求这个三位数．

答：这个三位数是456.

1．

如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，

则x＝

⁠．1

1024

解：②－①，得y＝3.把y＝3代入③，得z－6＝－1.解得z＝5.

古代数学中的方程问题例

阅读下列材料：《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、

范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名

的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一

值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”

译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文

钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡

各有多少只？

(100-x-y)

(2)若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2

只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？

答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只．(3)除了问题(2)中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”

的解．(3)①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．②公鸡有8只，母鸡

有11只，小鸡有81只．(③公)鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．(写

出其中任意两组即可)变式1

中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙

子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每

舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问

共有多少只小舟，多少人？设共有x只小舟，y人，则可列方程组为

（

A

）A.

B.

C.

D.

A变式2

我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布

绢三十疋(pǐ)，共卖价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十，

欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋

绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？

答：绢有12疋，布有18疋．

二元一次方程的“图象”例(人教七下P115活动1改编)综合与实践【课本再现】教材中我们曾探究过“以方程x-y=0的解为坐标(x的值

为横坐标、y的值为纵坐标)的点的特性”，了解了二元一次方程的解与

其图象上点的坐标的关系．规定：以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象．结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．示例：如图1，我们在画方程x-y=0的图象时，可以取点A(-1，-1)和

B(2，2)，作出直线AB.

【初步判断】(1)已知C(1，2)，D(-2，0)，E(-1，2)，则点

(填“C”“D”或“E”)在方程(2x+y)=4的图象上；C

解：(2)如图2所示．【深入探究】(3)观察图象，两条直线的交点坐标为

⁠，由

此你得出这个二元一次方程组的解是

⁠；(1，2)

【拓展延伸】(4)已知二元一次方程ax+by=6的图象经过点M(-1，3)

和N(2，0)，试求a，b的值；

由②，得a=3.把a=3代入①，得b=3.∴a的值为3，b的值为3.

无解

轮胎换位问题例(人教七下P116活动2改编)【问题背景】户外骑自行车进行锻炼

是我们日常生活中常见的一种锻炼方式，深受大众欢迎．在骑行的过程

中，自行车的轮胎与地面摩擦会有损耗，行驶一定的里程就要报废．【问题解决】问题一：如果前后轮没有压力差，前轮的轮胎可以使用4000千

米，后轮的轮胎也可以使用(4000千)米，这对轮胎行驶的里程数最大

值是

⁠千米．问题二：由于后轮受到的压力大，所以同样的轮胎放在后轮损耗会

大一些，如果行驶到某里程数，将前后轮的轮胎交换一次，再使用到前

后轮的轮胎同时报废，可以使两个轮胎行驶的里程数最大．4000(1)一对同样的新轮胎，安装在前轮可以使用5000千米，安装在后

轮可以使用3000千米．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在

前轮的轮胎每行驶1千米的磨损量为

，安装在后轮的轮胎每行驶𝟏千米的磨损量为

（用含k的式子表示)

.

(2)在(1)的条件下，设一对新轮胎交换位置前行驶了x千米，交换位

置后行驶了y千米，则这对轮胎行驶的里程数最大值是多少？行驶的里

程数为多少时交换前后轮胎？

答：这对轮胎行驶的里程数最大值是3750千米，行驶的里程数为1

875千米