数学建模仿真教程-6.6 空气质量监测指标的缩减

CONTENTS目录01020304模块1初等模型模块2微积分模型模块3线性代数模型模块4概率与统计模型数学建模仿真教程0506模块5优化模型模块6多元统计模型07080910模块7综合评价模型模块8时间序列模型模块9空间解析几何模型模块10神经网络模型1112模块11差分方程模型模块12灰色预测模型Chapter章节6模块6本模块介绍了基于多元统计的知识和方法建立数学模型的过程。其中，多元统计主要包括相关分析、回归分析、聚类分析、判别分析、主成分分析等。数学建模仿真教程【问题描述】自建点某日针对空气质量每小时监测一次，监测指标有11个，监测数据如表6.12所示。由于监测指标之间具有一定的相关性，而且指标个数太多给进一步研究带来不便，因此需要把原来的11个指标用较少的几个新指标来代替，从而达到降维的目的，在此过程中原始数据所携带的信息必须保持在85%以上。请使用数学建模方法研究以下问题：如何对这些监测指标进行缩减？（本题来自全国大学生数学建模竞赛2019年D题）步骤一，模型假设有些监测指标之间具有一定程度的线性相关性。画出PM2.5与PM10的散点图，如图所示，从图中可知，PM2.5与PM10具有显著的线性相关关系。步骤二，模型建立步骤二，模型建立问题分析：本题要求把11个指标用较少的几个新指标来代替，根据假设，有些指标之间具有一定程度的线性相关性，于是可用主成分分析法来解决。

步骤二，模型建立主成分分析是把多个变量转化为少数几个新变量的一种分析方法，其基本思想是在保留原始变量尽可能多的信息的前提下达到降维的目的，其手段是将原来较多的具有一定相关性的变量重新组合成新的少数几个相互无关的变量来代替原变量，这些新变量称之为主成分。一般地，利用主成分分析得到的主成分与原变量之间有如下基本关系：（1）每一个主成分都是各原始变量的线性组合。（2）主成分的数目大大少于原始变量的数目。（3）主成分保留了原始变量的绝大多数信息。（4）主成分之间互不相关。步骤三，模型求解使用SPSS软件求解。1.SPSS软件的设置第1步，因子分析设置，如图所示。步骤三，模型求解使用SPSS软件求解。1.SPSS软件的设置第2步，“描述统计”设置，如图所示。步骤三，模型求解使用SPSS软件求解。1.SPSS软件的设置第3步，“抽取”设置，如图所示。步骤三，模型求解使用SPSS软件求解。1.SPSS软件的设置第4步，“旋转”设置，如图所示。步骤三，模型求解使用SPSS软件求解。1.SPSS软件的设置第5步，“因子得分”设置，如图所示。步骤三，模型求解使用SPSS软件求解。1.SPSS软件的设置第6步，单击“确定”按钮，输出结果。步骤三，模型求解2.输出结果解读从图中可知，KMO统计量为0.645，大于0.6，说明可以使用主成分分析；另外，Bartlett的球形度检验统计量的相伴概率p=0.000<0.05，表示可以使用主成分分析。（1）KMO和Bartlett的球形度检验结果如图所示。步骤三，模型求解2.输出结果解读（2）计算特征根、各因子的方差贡献率及累计方差贡献率如图所示。从图中可知，如果取5个主成分，那么累计方差贡献率为89.6%，超过了85%，说明取5个主成分就已经满足要求。步骤三，模型求解2.输出结果解读（3）主成分得分系数矩阵如图所示。步骤三，模型求解2.输出结果解读（4）主成分得分的协方差矩阵如图所示。从图中可知，主成分得分的协方差矩阵为单位矩阵，说明提取的5个主成分是互不相关的，满足假设的条件，模型和结果有效。步骤三，模型求解2.输出结果解读（5）主成分的标准化得分如图所示。它可以作为进一步分析的依据。步骤三，模型求解2.输出结果解读（6）旋转后的因子载荷矩阵如图所示。步骤三，模型求解2.输出结果解读（6）旋转后的因子载荷矩阵如图所示。请扫码观看视频步骤四，结果检验由于新指标所携带的信息达到了原来的89.6%，而且新指标之间互不相关，因此所得到