人教A版2019数学选择性必修第一册知识点总结

人教A版选择性必修第一册知识点总结第第页空间向量及其线性运算1.空间向量(1)定义在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)长度空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.(3)表示方法几何表示法空间向量用有向线段表示字母表示法用一个字母表示,如图,此向量的起点是A,终点是B,可记作a,也可以记作AB→,其模记为|a|或|AB(4)几类特殊的空间向量①零向量:规定长度为0的向量叫做零向量,记为0.②单位向量:模为1的向量称为单位向量.③相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量,记为-a.④相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.2.空间向量的线性运算(1)定义类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如图):OB→=OA→+AB→=a+b;CA→=(2)加法运算律①交换律:a+b=b+a;②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c.1.1.2空间向量的数量积运算1.空间向量的夹角定义:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作OA→=a,OB→=b,则∠记法:<a,b>.范围:[0,π].如果<a,b>=π2,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥2.空间向量的数量积定义已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b)交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·两个向量数量积的性质:(1)若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0;(2)若a与b同向,则a·b=|a||b|;若反向,则a·b=-|a||b|;特别地:a·a=|a|2或|a|=a·(3)若θ为a,b的夹角,则cosθ=a·b|a||b|1.2空间向量基本定理1.空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p结论存在唯一的有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc(2)基底与基向量如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.2.空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底,用{i,j,k}表示.(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.1.3.1空间直角坐标系1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA→,且点A的位置由向量OA→唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA→=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA→对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作OA→有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).1.3.2空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示运算坐标表示(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3))加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积a·b=a1b1+a2b2+a3b32.空间向量的平行与垂直的坐标表示平行或垂直平行或垂直条件的坐标表示a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)平行(a∥b)a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1a垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=03.空间向量的模及夹角的坐标表示(1)空间向量的模的坐标表示①若a=(a1,a2,a3),则|a|=|a|2=a2=②空间两点间的距离公式已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),a.AB→=(x2-x1,y2-y1,z2-z1b.dAB=|AB→|=((2)向量的夹角坐标公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos<a,b>=a·b|1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1.用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的方向向量)形式在直线l上取AB→=a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t使得AP→=作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点2.用向量表示平面的位置(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条相交直线的方向向量a,b和交点O形式对于平面α上任意一点P,存在唯一的有序实数对(x,y),使得OP→=(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量直线l⊥α,直线l的方向向量,叫做平面α的法向量确定平面位置过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的3.空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a=kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0面面平行α∥β⇔u∥v⇔u=kv(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a=λu(λ∈R)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=04.用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l,m的方向向量分别是a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则l∥m⇔a∥b⇔a=λb⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R).(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α的法向量为u=(a2,b2,c2),则l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(3)证明面面平行①设平面α,β的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则α∥β⇔u∥v⇔u=λv⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R).②由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.5.用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量u2=(a2,b2,c2),则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向量v=(a2,b2,c2),则l⊥α⇔u∥v⇔u=λv(λ∈R)⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2(λ∈R).(3)证明面面垂直若平面α的法向量u=(a1,b1,c1),平面β的法向量v=(a2,b2,c2),则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题1.空间距离的向量求法(1)两点距:设A,B为空间中任意两点,则d=|AB→|(2)点线距如图,直线l的单位方向向量为u,向量AP→在直线l上的投影向量为AQ→,设AP→=a,则向量AP→在直线l上的投影向量P到直线l的距离PQ=|AP→|(3)点面距:设平面α的法向量为n,B∉α,A∈α,则B点到平面α的距离d=|BA2.空间角及向量求法角分类向量求法范围线线角设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=|cos<a,b>|=|(0,π2线面角设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos<a,n>|=|[0,π2面面角设面α与面角β的平面角为θ,平面α,β的法向量为n1,n2,则|cosθ|=|cos<n1,n2>|=|[0,π22.1.1倾斜角与斜率1.倾斜角定义当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0°记法α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可2.斜率定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法k,即k=tanα范围R公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度(1)直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°<θ<90°90°90°<θ<180°k0k>0不存在k<0(2)当倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率k≥0,倾斜角越大,斜率越大;当90°<α<180°时,斜率k<0,倾斜角越大,斜率也越大;当α=90°时,直线的斜率不存在,直线垂直于x轴.2.1.2两条直线平行和垂直的判定1.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时分别为k1,k2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率的关系对应关系l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示(1)由l1∥l2,应首先考虑斜率是否存在,当k1=k2时,还应排除两直线重合的情况;(2)由l1⊥l2,既要考虑斜率是否存在,又要考虑斜率是否为0的情况;(3)在l1∥l2及l1⊥l2相关问题的处理中,树立分类讨论的意识.2.2.1直线的点斜式方程1.直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线2.直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距:直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b.(2)直线在x轴上的截距:直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a.3.直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距by=kx+b斜率存在的直线(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例,所以直线的斜截式方程也不表示斜率不存在的直线;(2)直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0,y0)来表示的,同一条直线的点斜式方程有无数个;直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的,同一条直线的斜截式方程是唯一的;(3)直线的斜截式方程与一次函数的关系:斜截式方程与一次函数的表达式相同,但有区别:当k≠0时,y=kx+b即为一次函数;当k=0时,y=b不是一次函数;一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程.2.2.2直线的两点式方程1.直线的两点式方程名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2y-x斜率存在且不为02.直线的截距式方程名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x轴,y轴上的截距分别为a,b且ab≠0xa+ya≠0,b≠03.中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则x此公式为线段P1P2的中点坐标公式.2.2.3直线的一般式方程1.直线的一般式方程关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.注意:(1)一般式方程适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.(2)一般式方程系数的几何意义:①当B≠0时,则-AB=k(斜率),-CB=b(y轴上的截距);②当B=0,A≠0时,则-任何一条直线的方程都可认为是关于x,y的二元一次方程;关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线方程.2.直线方程的一般式与其他形式的互化在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一般式方程,化为一般式方程以后,原方程的限制条件就消失了;其他形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.2.3.1两条直线的交点坐标1.两条直线的交点已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立,得方程组A若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.2.方程组解的个数与两条直线的位置关系直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系如表所示:方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行2.3.2两点间的距离公式两点间的距离公式平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=(x两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.(2)当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.(3)当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离1.点到直线的距离(1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.(2)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=|A2.两条平行直线间的距离(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.(3)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=|C(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.(2)点到几种特殊直线的距离,可不套公式而直接求出①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线间的距离,也可以看作是两条直线上各取一点,这两点间的最短距离.2.4.1圆的标准方程1.圆2.点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d=|PC|=(x位置关系几何法图示代数法点在圆外d>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2点在圆上d=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内d<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2(1)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为x2+y2=r2.(2)圆的常用几何性质:①圆的弦的垂直平分线过圆心;②两条弦的垂直平分线的交点为圆心;③圆心与切点的连线垂直于切线;④圆心到切点的距离等于圆的半径;⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形;⑥直径所对圆周角为直角.2.4.2圆的一般方程1.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其中圆心为(-D2,-E2),半径为注:圆的一般方程的形式特点(1)x2,y2的系数都为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.2.轨迹方程点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,方程表示以(-D2,-E2)为圆心,以12D2+E2-4F为半径的圆;当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-D2(2)求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y的方程.2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判定方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点两个一个零个判定方法几何法:设圆心到直线的距离d=|d<rd=rd>r代数法:由Ax+By+C=0消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0判断直线与圆的位置关系有两种方法,一种是几何法,一种是代数法.若只判断位置关系,不涉及交点坐标时,用几何法简单,若还需求交点坐标,则用代数法较好.第2课时直线、圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.(1)解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面:(2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则:①若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.②常选特殊点作为直角坐标系的原点.③尽量使已知点位于坐标轴上.2.5.2圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种,分别为外离,外切,相交,内切,内含.2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法:圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r12(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=r22(r2>0),两圆的圆心距d=|O1O位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|(2)代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,两圆的方程联立得方程组,则有方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含(1)两圆的公切线条数:①两圆相离时,有四条公切线;②两圆外切时,有三条公切线;③两圆相交时,有两条公切线;④两圆内切时,有一条公切线;⑤两圆内含时,没有公切线.(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).当λ=-1时,所设方程为两已知相交圆的公共弦所在的直线方程.即两圆公共弦所在直线方程为(D1-D2)x+(E3.1.1椭圆及其标准方程1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.2.椭圆的标准方程若|F1F2|=2c,|MF1|+|MF2|=2a(a>c),则椭圆的标准方程、焦点坐标及a,b,c的关系见下表:焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2y2a2焦点坐标(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a,b,c的关系c2=a2-b2(1)椭圆定义的理解定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则:①当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2;②当2a<|F1F2|时,其轨迹不存在.(2)椭圆的标准方程特征①标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴.②标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方和,并且分母不相等.③a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆.3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2y2a2范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长=2b,长轴长=2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c对称性对称轴x轴和y轴,对称中心(0,0)离心率e=ca(1)由不等式x2a2=1-y2b2≤1可得|x|≤a,由y(2)椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点,研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置,注意长轴长是2a,而不是a.(3)椭圆的离心率e的大小,描述了椭圆的扁平程度.e越接近1,则c就越接近a,从而b=a2-c2越小,因此,椭圆越扁;反之,e越接近0,则c就越接近0,从而b越接近a,这时椭圆越接近圆.特别地,当a=b时,c=0,椭圆就变为圆了,此时方程为x2+y第2课时直线与椭圆的位置关系1.点与椭圆的位置关系点P(x0,y0)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的位置关系:点P在椭圆内部⇔x02a2+y02b22.直线与椭圆的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,椭圆方程为f(x,y)=0.由Ax+By+设Δ=b2-4ac.①Δ>0时,直线和椭圆相交于不同两点;②Δ=0时,直线和椭圆相切于一点;③Δ<0时,直线和椭圆没有公共点.3.椭圆的弦直线与椭圆相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦,线段的长就是弦长,简单地说,椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段.(1)弦长公式设直线y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A(x1,y则弦长|AB|=1+k2((2)弦长公式的推导设直线l的斜率为k,方程为y=kx+b,设端点A(x1,y1),B(x2,y2).则|AB|=(x1=1+k2·(x1-其中,x1+x2,x1x2的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程得到.或|AB|=(y1-bk-y2-当k=0时,直线平行于x轴,所以|AB|=|x1-x2|.(3)椭圆上的点与焦点的距离椭圆上的点中,到其焦点的距离最大和最小的点都是长轴的端点,同侧的长轴的端点到焦点的距离最小,异侧的长轴的端点到焦点的距离最大.3.2.1双曲线及其标准方程1.双曲线的定义一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2(a>0,b>0)y2a2(a>0,b>0)焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系c2=a2+b2(1)双曲线的定义平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数,即||MF1|-|MF2||=2a,关键词“平面内”.当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线;当2a=|F1F2|时,轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;当2a>|F1F2|时,轨迹不存在.(2)双曲线的标准方程①标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方差,并且分母大小关系不确定;②a,b,c三个量的关系:标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定.3.2.2双曲线的简单几何性质1.双曲线的几何性质标准方程x2a2(a>0,b>0)y2a2(a>0,b>0)图形性质焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c)