安徽省合肥市“校集团”2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

安徽省合肥市“校集团”2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合，，，则(

)A. B. C. D.答案：B解析：由题知，，则，故.故选：B.2．命题“，”的否定为(

)A.， B.，C.， D.，答案：D解析：命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论.所以命题“，”的否定为“，”.故选：D.3．若不等式恒成立，则a的取值集合为(

)A. B. C. D.答案：A解析：设，则，.原不等式可化为：.因为，所以，.当时，，所以在恒成立，所以；当时，，所以成立；当时，，所以在上恒成立，所以.综上可得：.故选：A4．已知为等差数列，，，则(

)A.12 B. C. D.答案：A解析：因为为等差数列，设公差为d.则，，所以.所以.故选：A5．已知，，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.答案：D解析：，由，得，则，即；，所以.故选：D6．如图，四边形为矩形，，.是等边三角形，是等腰直角三角形，.将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面.当平面时，平面与平面的距离等于(

)A. B. C. D.答案：C解析：如图所示，取中点M，中点N，连接，，，，由是等边三角形，是等腰直角三角形，，则，，，又，，平面，所以平面，所以平面平面，平面平面，平面平面，又平面，且平面，平面平面，所以，又平面平面，且平面平面，平面平面，所以，则作出平面如图所示，设，则，所以，又，，则，由，所以，，，设过点O作与，分别交于点P，Q，则即为两平面间距离，，故选：C.7．已知，，若向量与向量互相垂直，则(

)A. B. C.5 D.答案：C解析：因为，，显然、、、均不为0，所以，即，所以，所以，因为向量与向量互相垂直，所以则，又，解得.故选：C8．已知直线，圆，过l上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，使四边形的面积为的点P有且仅有一个，则此时直线的方程为(

)A. B.C. D.答案：B解析：如图，，解得，所以，因这样的点P有且仅有一个，由图知此时，则圆心到直线的距离为6，即，化简得，其中，，，则，，，所以，即，则直线的斜率为，所以直线，即，联立，解得，即，因的中点坐标为，且，则以为直径的圆的方程为，整理得，易知直线是圆C与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得，故直线的方程为.故选：B.二、多项选择题9．据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六.登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则(

)A. B.观众年龄的众数估计为35C.观众年龄的平均数估计为30.2 D.观众年龄的第70百分位数估计为38答案：BD解析：由题意知，解得，故A错误；观众年龄的众数估计是，故B正确；估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误；前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第70百分位数位于第4组，设其为t，则，解得，即第70百分位数为38，故D正确.故选：BD10．的展开式中，则(

)A.的系数为 B.第3项与第4项的二项式系数相等C.所有项的二项式系数和为32 D.所有项的系数和为32答案：ABC解析：A选项，展开式第项，时，，A对；B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对.C选项，所有项的二项式系数和为，C对.D选项，时，，即所有项的系数和为，D错；故选：ABC11．如图，长方形的长为，宽为2，A，B，C，D分别为长方形四条边中点，沿，，，，折叠，使长方形的四个顶点重合于点P，所得四面体称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是(

)A. B.平面平面C.直线与平面所成角为 D.平面与平面的夹角为答案：ACD解析：对于A，由题意可得，，，由题意可知P是的中点，连接，又，，所以，，，平面，故平面，平面，故，A正确，对于C，由于，，则，所以，又，平面，所以平面，故为直线与平面所成角，，故，故C正确，对于D，过P作于O，连接，由于平面，平面，故，又，平面，故平面，因为平面，故，故为平面与平面的夹角，由等面积法可得，又，故，故，D正确，对于B，由于平面，而平面，且与平面不平行，故平面与平面不垂直，故B错误故选：ACD三、填空题12．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则_____________.答案：2解析：因为，由正弦定理，可得，所以，又因为，所以，所以，又由正弦定理，可得，即，因为，所以.13．某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品，则不同的取法数有________________种.答案：216解析：将这7个小球编号如下图所示：分以下两种情况讨论：第一种，第一步，先取1、5、7号球，第二步，再取2、4、6号球依次取2个球，最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种；第二种，将、、视为三个整体，前三个球从其中一个整体和每支不与3号球相邻的小球中依次摸取，有6种，以1、2、5为例，可依次为、、，共3种，剩余3、4、6、7号球，先从4、7号球中摸一个，有2种情况，比如先取7号球，剩余三个相邻的小球，接下来从4、6号球中取一个，有2种情况，最后剩余两球摸取的先后顺序任意，此时，不同的取法种数为.综上所述，不同的取法种数为种.故答案为：216.14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定，，，已知，且，则B中所有元素之和为奇数的概率为__________.答案：解析：由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B，可看成，显然集合E共有个，集合F共有个，所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.故答案为：.四、解答题15．在锐角中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c.已知，.(1)若，求的面积；(2)求的周长的取值范围.答案：(1)(2)解析：（1）由正弦定理可得，即，因为，所以，又，即，展开可得，即，即，又，所以，且，所以为等边三角形，则.（2）由正弦定理可得，又因为为锐角三角形，则，解得，则，其中，所以，所以的周长.16．有一摸球游戏如下：盒子中有红､黄､绿三种颜色的球各3个，球除颜色外其他均相同，两人摸球，规定每人一次从盒中摸3个球，第二人从第一人摸球后剩余的6个球中再摸3个球.记每个人摸到的3个球中颜色相同的球的最大数量为其得分，规定得分高者获胜.现有甲､乙二人参与此摸球游戏，记甲､乙的得分分别为X，Y.(1)若甲先摸球，求X，Y的分布列及其数学期望；(2)在甲先摸球的情况下，分别计算甲获胜的概率和乙获胜的概率，并判断参赛者获胜的概率是否受摸球先后顺序的影响.答案：(1)分布列见解析，，(2)，参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响解析：（1）在甲先摸球的情况下，记甲摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为a，b，c，则，，且可能的取值有，则，，，故X的分布列为X123P.在甲先摸球的情况下，记乙摸到的三种颜色的球的数量由多到少分别为d，e，f，则，，且可能的取值有，则故Y的分布列为Y123P.（2）在甲先摸球的情况下，由题意，.则，即先摸球和后摸球获胜的概率一样，故参赛者获胜的概率不受摸球先后顺序的影响.17．如图，圆台的下底面圆O的半径为，为圆O的内接正方形.E，M为上底面圆上两点，F为的中点，且平面平面，.(1)求证：；(2)若，求与平面所成角正弦值的最大值.答案：(1)证明见解析(2).解析：（1）证明：取的中点G，连交AF于H.在正方形中，由于F为的中点，可得，则，因为，所以，得到，即因为，，平面，所以平面，又平面，故由于平面平面，平面平面，，故平面，又平面，则.因为，，平面，所以平面，又因为平面，则，又点G是的中点，故.（2）由于圆O的半径为，则正方形的边长为2，又，则.以O为坐标原点，过点O作，平行的直线分别为x轴，y轴，所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系.则，，，，，易求上底面圆的半径为1，故.故，，.设平面的法向量为，由，得取，，故，设与平面所成角为，则，，令得，，所以在上单调递增，故.所以与平面所成角正弦值的最大值为.18．已知，点P是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，设点Q的轨迹为曲线.(1)求曲线C的方程；(2)与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点B，D关于直线l对称，且的中点N的横坐标为n.①求的值；②若B，D均在y轴右侧，且直线l过点，求的取值范围.答案：(1)(2)①4；②解析：（1）的圆心为，半径，因为点Q在线段的垂直平分线上，所以，由题意，点Q在线段的延长线或反向延长线上，所以，所以动点Q在以A、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，则，，所以，所以点Q的轨迹方程，即曲线C的方程为；（2）①设，，，则，所以，即，即，因为B，D关于直线l对称，所以，所以，即，因为，所以，所以；②依题意直线的斜率存在，设其方程为，由，整理得，由，所以，则，，所以，则，因为，所以，所以，所以，，在中，，又B，D均在y轴的右侧，所以，解得，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.19．已知函数.(1)讨论的单调性：(2)若恰有两个零点，且（i）求a的取值范围；（ii）设在定义域内单调递增，求出k与a的函数关系式，并证明.答案：(1)答案见解析(2)（i）（ii），证明见解析解析：（1）因为的定义域为，所以，当时，，在