浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步练习题（附答案）

第页浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步练习题（附答案）一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，连接AF并延长交CD于点E，若EF=EC，则∠ECF的度数为（

）A．36° B．32° C．30° D．28°2．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE，与BC的延长线相交于点F，连接EF，与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．若BD=BF，则BE的长为（

）A．2 B．32 C．6−32 3．由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成如图所示边长为10的大正方形，连接AE，若小正方形EFGH的面积为4，则△ABE的面积为（

）A．20 B．24 C．28 D．324．如图，正方形ABCD的边长为3，在AB边上取一点E，连接DE，将△ADE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DEF，延长EF交BC于点G，作GH⊥DE，垂足为H．若DC=3CG，则GH的长是（

）A．10 B．5 C．253 5．如图，在正方形ABCD中，△CDE是等边三角形，CG⊥DE于点F，交BE延长线于G．若CD=1，则△EGC的面积为（

）A．38+14 B．38+6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，顶点A的坐标是−1,1，AB∥x轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（

）A．4,1 B．3,1 C．2,4 D．4,27．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．下列结论①GF=EF，②∠GDE=45°，③五边形AGECD的周长是44，④△DGE的面积是60．正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题8．已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则∠ACE=______．9．如图，点E是正方形ABCD的边CB延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，若BF=2，则DF的最大值为_____________．10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BM=22，则正方形ABCD的边长为__________________11．如图，正方形ABCD中，BC=13，点E为正方形ABCD外一点，且∠AEB=90°，将△AEB绕点A逆时针方向旋转得到△ADF，DF的延长线交BE于点H．若BH=7，则DH的长为_______．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，F是CD的中点，点E在AD上，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对称点A′落在EF上，连接BF、A′D，则∠EBF=_______°，三、解答题13．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，BE=1．(1)求EF的长；(2)求△CEF的面积．14．如图，E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且DE∥(1)求证：△ADE≌(2)若AE=1,AB=3，则四边形BEDF的面积是___________．15．在正方形ABCD中，E是DC延长线上的点，F是线段AB上一点且AF=CE．过E作EG⊥CD，使EG=BF，连接FG．(1)如图1，连接BG．求∠ABG的度数；(2)如图2，在（1）的条件下，连接AG交BC于N，并取AG中点M，连接FM．若FM=5，BF=2，求线段16．如图，点C为矩形ABCD和正方形CEFG的公共顶点，点E，F在矩形的边AD，AB上．(1)求证：AE＝(2)连接GE，若CD＝4，F是AB的中点，求(3)在（2）的条件下，猜想FH和GH的数量关系，并说明理由．17．【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？（1）请直接判断：AE______BF（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：（2）如图②，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论．参考答案与解析1．C【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，利用正方形的性质可证△ADF≌△CDFSAS，得到∠DAF=∠ECF，再根据等腰三角形及三角形外角性质可得∠AED=∠ECF+∠EFC=2∠ECF，进而得到3∠ECF=90°【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠ADE=90°，AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，∵DF=DF，∴△ADF≌△CDFSAS∴∠DAF=∠DCF，即∠DAF=∠ECF，∵EF=EC，∴∠ECF=∠EFC，∴∠AED=∠ECF+∠EFC=2∠ECF，∵∠DAF+∠AED=90°，∴3∠ECF=90°，∴∠ECF=30°，故选：C．2．C【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．此题综合性较强，根据正方形的性质可知AB=BC=CD=AD=3，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，利用勾股定理可以求出BD=32，根据线段之间的关系可得：CF=32−3，根据同角的余角相等可证∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△CDF【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=3，∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴BD=AD2∴BD=BF=32∴CF=BF−BC=32∵FD⊥DE，∴∠EDF=90°，∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCF∠ADE=∠CDF∴△ADE≌∴CF=AE=32∴BE=AB−AE=3−3故选：C.3．D【分析】先设每个直角三角形的两条直角边分别为a和b，其中a>b>0，根据题意列出a−b=2，a2+b2=100，从而可求得a【详解】解：设每个直角三角形的两条直角边分别为a和b，其中a>b>0，因为小正方形EFGH的面积为4，所以a−b=2，因为四个直角三角形全等，且围绕小正方形排列，大正方形的边长为10，所以AH=BE=a，大正方形边长a2由a−b=2，得b=a−2，将b=a−2代入a2+b解得：a=8或a=−6，所以AH=BE=8，所以△ABE的面积为12故选：D．【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，以弦图为背景的计算题，全等三角形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．4．B【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．关键是利用翻折性质和全等三角形得到线段相等，再通过勾股定理求出未知线段长度，最后用面积法求出GH的长．【详解】解：如图，连接DG．∵正方形ABCD的边长为3，DC=3CG，∴DC=AD=DF=3，CG=1，BG=BC−CG=3−1=2；∵将△ADE沿直线DE翻折得△DEF，∴∠DFE=∠A=90°，AE=EF∴∠DFG=180°−在Rt△DFG和Rt△DCG中∴Rt△DFG≌∴FG=CG=1；设AE=EF=x，则BE=AB−AE=3−x，EG=EF+FG=x+1；在Rt△BEG中，由勾股定理得：B即(3−x)解得x=3在Rt△ADE中，DE=∵S△DEG=1∴12解得GH=5故选：B．5．B【分析】连接GD，根据正方形和等边三角形性质得CE=CD=DE=1，∠ECD=∠CED=60°，根据CG⊥DE得DF=EF=12，CB=CE=CD=1，进而得CF=32，CG是线段DE的垂直平分线，则GE=GD，再证明∠GDE=∠GED=45°得△GED是等腰直角三角形，继而得GF=EF=DF=1【详解】解：连接GD，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，且CD=1，∴∠BCD=90°，∵△CDE是等边三角形，∴CE=CD=DE=1，∠ECD=∠CED=60°，∵CG⊥DE于点F，∴DF=EF=12DE=在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=∵CG⊥DE于点F，DF=EF=1∴CG是线段DE的垂直平分线，∴GE=GD，在△CBE中，CB=CE=1，∠BCE=∠BCD−∠ECD=30°，∴∠CEB=∠CBE=1∴∠GED=180°−∠CEB+∠CED在△GED中，GE=GD，∴∠GDE=∠GED=45°，∴∠EGD=180°−∠GDE+∠GED∴△GED是等腰直角三角形，∵CG⊥DE于点F，∴GF=EF=DF=1∴CG=GF+CF=1∴S△EGC故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．6．C【分析】本题考查了正方形的性质，写出坐标系中点的坐标，根据正方形的性质得到AB=BC=3，从而得到点B的横坐标为−1+3=2，纵坐标为1，进而得出点C的横坐标为2，纵坐标为1+3=4．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，顶点A的坐标是−1,1，AB∥x轴，点B、C在第一象限，∴AB=BC=3，点B的横坐标为−1+3=2，纵坐标为1，∴点C的横坐标为2，纵坐标为1+3=4，∴C2,4故选：C．7．C【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识点．根据正方形的性质和折叠的性质可得DF=DA，∠A=∠DFG=90°，于是可得Rt△ADG≌Rt△FDG，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到∠GDE=∠GDF+∠FDE=【详解】解：由折叠可知：CE=FE，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△ADG和RtDG=DGDF=DA∴Rt△ADG≌∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，由折叠可得，∠CDE=∠FDE，∴∠GDE=∠GDF+∠FDE=1∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12−x，由勾股定理得EG2即x+62解得x=4，∴AG=GF=4，BG=8，EG=10，∴GF≠EF，故结论①错误，不符合题意；∴五边形AGECD的周长为12+12+6+4+10=44，故结论③符合题意；△DGE的面积为12综上，正确的结论为②③④，共三个，故选C．8．22.5°/22.5度【分析】利用正方形的性质得到AD=DC，∠ADC=90°，从而证得△DAC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质求得∠DCA=45°，最后利用角平分线的定义即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴△DAC是等腰直角三角形，∴∠DAC=∠DCA=45°，又∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=19．2【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据正方形的性质，得AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°，又因为点F是AE的中点，AE=2BF=4,AF=12AE=2，然后将△ABF绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，运用勾股定理得GF=AF2+AG2=22【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°，∵点E是正方形ABCD的边CB延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，∴在Rt△AEB中，AE=2BF=4,AF=将△ABF绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∴∠FAG=90°,AF=AG，GD=FB=2，则GF=A在△DFG中，FD<GF+GD，即FD<22当F,G,D三点共线时，则FD=GF+GD=22此时DF的最大值为22故答案为：2210．4+2【分析】设正方形的边长为x，则AC=2x，过点M作MG⊥AC于点G，根据角平分线的性质可知GM=BM，再由四边形ABCD为正方形，MG⊥AC，可得出【详解】解：设正方形的边长为x，则AC=2如图，过点M作MG⊥AC于点G，∵CM平分∠ACB，∴MB=MG=22∴AM=x−22∵∠∴AM=2MG，即解得x=4+22∴AC=2故答案为：4+2211．17【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形AEHF为正方形，再根据勾股定理求出EH的长，就可得到DH．【详解】解：∵将△AEB绕点A逆时针方向旋转得到△ADF，∠AEB=90°，∴AF=AE,BE=DF,∠AEB=∠DFA=∠AFH=90°,∠EAB=∠DAF,∴∠EAB+∠BAF=∠DAF+∠BAF，∴∠EAF=∠BAD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴四边形AEHF为正方形，∴AF=EH．设AF=EH=x，∵BH=7，∴BE=DF=7+x，在正方形ABCD中，AD=BC=13，在Rt△AFD根据勾股定理，得7+x2解得x1∴DH=17．12．452【分析】因为图形是翻折得到的，所以可得△ABE≌△A′BE，从而有AB=A′B，∠ABE=∠A′BE，∠BA′E=∠A=90°，因为正方形边长为2，F是CD中点，所以可先证明△BCF≌△BA【详解】解：连接A′C，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，F是CD的中点，点E在AD上，∴AB=CB=CD=2，∠A=∠ABC=∠BCF=90°，∴CF=DF=1∵将△ABE沿BE翻折，点A的对称点A′落在EF∴A′B=AB=2，∠BA∴A′B=CB，∠BA′F=∠BCF=90°，在Rt△A′BF=BFA∴Rt△∴A′F=CF=DF=1，∴∠EBF=∠A∵∠FA′C=∠FC∴∠CA∵A′B=CB，BF平分∴BF垂直平分A′∵S四边形A′∴12∴A′∴A′故答案为：45，25【点睛】此题重点考查正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、根据面积等式求线段的长度、勾股定理等知识，证明Rt△13．(1)5(2)3【分析】（1）由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，因为正方形ABCD的边长为3，BE=1，求出EG，EC，在直角△ECF中，运用勾股定理求出GF，再求出EF，即可作答．（2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】（1）解：由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，∴EG=1，EC=BC−BE=3−1=2，CF=3−FD=3−FG，在Rt△ECF中，E∴(1+GF)解得GF=3∴EF=1+3（2）解：∵GF=DF=3∴CF=CD−DF=3∴△CEF的面积=114．(1)见解析(2)9−3【分析】（1）根据正方形的性质可证明AD=BC，∠DAE=∠BCF，再证明（2）连接BD交AC于点O，利用正方形的性质和勾股定理求出AC的长，进而求出EF的长，可证明S四边形【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF；∵DE∥∴∠DEF=∠BFE，∵∠DEF+∠DEA=180°，∴∠DEA=∠BFC，∴△ADE≌（2）解：如图所示，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，∴AC=A由（1）得△ADE≌∴CF=AE=1，∴EF=AC−AE−CF=32∴S四边形=====9−3215．(1)∠ABG=135°(2)1【分析】（1）过G作GQ⊥BC于Q，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形CQGE为矩形，进而求得∠QBG=45°，即可解答．（2）连接MQ、BM，过M作MP⊥AB于P，证明△AFM≌△GQM，F、M、Q三点共线，利用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：如图，过G作GQ⊥BC于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCB=90°，即∠BCE=90°，∵EG⊥CE，∴∠E=90°，又∵QG⊥BC，∴∠CQG=90°，∴四边形CQGE为矩形，∴QG=CE,CQ=EG，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠ABC=90°，又∵BF=CQ，∴AF=BQ，∴AF=CE=QG=BQ，即BQ=QG，∵∠BQG=90°，∴∠QBG=45°，∴∠ABG=90°+∠QBG=135°；（2）解：如图，连接MQ、BM，过M作MP⊥AB于P，∵∠BQG=∠ABC，∴AF∥QG，∴∠FAM=∠QGM，又∵M为AG中点，∴AM=GM，又∵AF=QG，∴△AFM≌△GQM（SAS∴∠FMA=∠QMG，∵∠FMA+∠FMG=180°，∴∠FMG+∠QMG=180°，∴F、M、Q三点共线，又∵∠FBQ=90°，∴BM=FM=MQ=5∴FQ=25，BP=在Rt△FQB中，根据勾股定理得BQ=F由（1）知AF=BQ，∴AB=CD=AF+FB=32∴AP=AB−BP=42−1根据勾股定理得AM=A∵AB∥QG，∴△ABN∽△GQN，∴BNQN∴BNBQ∴BN=4∵AN=A∴MN=AN−AM=816．(1)见解析(2)GE(3)FH＝【分析】（1）证明△AEF≌△DCE即可；（2）先求出EF的长，再利用正方形的对角线求出EG；（3）过点G作GM⊥BC于点M，先证明△DCE≌△MCG，可得DE=GM，从而可得BF=GM，再证明△BFH≌△MGH，即可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，四边形CEFG是正方形，∴EF=CE，∠A=∠D=∠CEF=90°，∴∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠CED=90°，∴∠AFE=∠CED，在△AEF和△DCE中，∠AFE=∠CED∠A=∠D∴△AEF≌△DCEAAS∴AE=CD．（2）解：如图