苏科版七年级数学下册《12.4定理》同步练习题（带答案）

第页苏科版七年级数学下册《12.4定理》同步练习题（带答案）第1课时三角形内角和定理及其推论理解定理的概念，会用逻辑推理的方法证明三角形内角和定理及其推论．建议用时：15分钟1在△ABC中，∠A＝∠B－∠C，则△ABC为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能2(2025盐城亭湖模拟)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是()A.10°B.20°C.30°D.40°INCLUDEPICTURE"25NTKQS160.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS161.TIF"(第2题)(第3题)(第5题)3(2025长沙)如图，已知AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G.若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为()A.50°B.60°C.65°D.70°4在△ABC中，∠A＋∠B＝150°，∠C＝2∠A，则∠A＝________．5(2025南京玄武期末)如图，在△ABC中，∠A＝28°，∠ACB＝100°，点D在边AB上，将△ABC沿CD折叠，使点B落在边AC上的点B′处，则∠ADB′的度数为________．6如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.求证：∠ACD＝∠B.

7(2025南通期末)如图，已知AB∥EF，∠A＝∠DEF.(1)求证：AC∥DE；(2)利用此图形，试证明“一个三角形的内角和为180°”，即求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.建议用时：25＋5分钟8如图，将分别含有30°，45°角的一副三角尺重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为55°，则图中∠α的大小为()A.130°B.125°C.120°D.115°INCLUDEPICTURE"NTXTKSQX202.TIF"INCLUDEPICTURE"NTXTKSQX203.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS163.TIF"(第8题)(第9题)(第10题)9如图，在△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上的一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的大小为________．10如图是一个零件的形状，按规定当∠A＝90°，∠B＝21°，∠C＝32°时，才符合加工要求，若检验人员测量∠BDC＝148°，则可以判定这个零件________．(填“合格”或“不合格”)11(2025泰州姜堰期末)在△ABC中，∠A＝∠ABC＝36°，E，F分别为直线AC和直线CB上的点，直线EF交边AB于点D，∠EFC＝(x＋2y)°，∠FEC＝(2x＋y)°，则x＋y＝________．12(2025苏州高新期末)如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F，求证：∠F＋∠FEC＝2∠A.

13(2025常州溧阳期末)在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点F.(1)如图1，若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠CFE＝∠CEF；(2)如图2，若∠ACB＝∠CDB＝m(0°＜m＜180°)，求∠CEF－∠CFE的值(用含m的代数式表示).INCLUDEPICTURE"25NTKQS166.TIF"图1图2

第2课时多边形内角与外角和定理理解并会运用多边形内角与外角和定理．建议用时：15分钟1(2025云南)一个六边形的内角和等于()A.360°B.540°C.720°D.900°2(2025扬州高邮期末)如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，∠ADE是四边形ABCD的一个外角．若∠B＝75°，则∠ADE的度数为()A.125°B.105°C.90°D.75°INCLUDEPICTURE"25NTKQS168.TIF"(第2题)(第6题)3(2025遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为()A.10B.11C.12D.134若一个n边形的内角和是900°，则n＝________.5(2025扬州)若一个多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为________．6(2025长沙)如图，在五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝________．7多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是________．8已知正x边形的内角和为1080°，边长为2.(1)求正x边形的周长；(2)若正n边形的每个外角比正x边形的每个内角小63°，求n的值．

9如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°.(1)求∠ADC的度数；(2)探索AD与EF有怎样的位置关系，并说明理由．建议用时：25＋5分钟10如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法中正确的是()A.外角和减少180°B.外角和增加180°C.内角和减少180°D.内角和增加180°INCLUDEPICTURE"NTXTKSQX208.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS169.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS170.TIF"(第10题)(第11题)(第12题)(第13题)11如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是()A.5B.6C.8D.1012如图，小亮从点A出发前进10m，向右转18°，再前进10m，又向右转18°，…，这样一直走下去，则当他第一次回到出发点A时，一共走了________m.13(2025南京模拟)如图，已知直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α＋β的大小为________．14(1)一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数；(2)小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求该多边形的边数及少算的内角的度数．

15(2025泰州兴化月考)如图，已知四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F.(1)若BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠BCD的度数；(2)在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠D＝120°，求∠F的度数；(3)猜想∠F，∠A，∠D之间的数量关系，并说明理由．第3课时反证法理解反证法的定义，了解反证法的步骤，会举反例说明一个命题是假命题．建议用时：15分钟1(2025无锡锡山期中)用反证法证明“若|a|＜5，则a2＜25”时，应假设()A.|a|≥5B.|a|＞5C.a2≥25D.a2＞252(2025常州期末)若要说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，则可以举反例为()A.a＝0，b＝0B.a＝1，b＝－1C.a＝2，b＝2D.a＝2，b＝－13如图，AB∥CD，CD∥EF，EF∥GH，则下列结论中错误的是()A.AB∥EFB.AB∥GHC.GH∥CDD.AG∥BH4(2025南京秦淮期末)用反证法证明“在△ABC中，如果∠A＜∠B，那么BC＜AC”时，第一步应假设________．5我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾；②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°；③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°；④则三角形的三个内角的和大于180°.这四个步骤正确的顺序是________．(填序号)6(教材P163练习T2变式)举反例说明下列命题是假命题：(1)如果ab<0，那么a＋b<0;(2)任何一个角的补角都不小于这个角；(3)任何有理数都有倒数；(4)若a>b，则ac>bc.7用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角．建议用时：20＋5分钟8(2025苏州太仓期末)如图，已知AB∥CD，则∠α，∠β和∠γ之间的关系为()A.α＋β－γ＝180°B.α＋γ＝βC.α＋β＋γ＝360°D.α＋β－2γ＝180°INCLUDEPICTURE"25NTKQS174.TIF"(第8题)(第10题)9用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设：________________．10(2025扬州广陵期末)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳，则此时∠DCB的度数为________．11(2025南京鼓楼月考)已知m是正整数，且m2是偶数，求证：m是偶数．(用反证法证明)12用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．13如图，已知点E，F分别在直线AB，CD上，若AB∥CD，过点E，F任意作一个∠EGF，使∠EGF＝90°(直角顶点G在直线AB与CD之间，且在EF的右侧)，在EG上取一点Q，当满足2∠BEG＋∠DFQ＝180°时，请判断∠DFG与∠QFG的大小关系，并说明理由．微专题8三角形角度计算中的几何模型类型一：8字模型1(2025宿迁宿城期末)(1)如图1所示的图形我们将它称为“8字形”，求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D；(2)如图2，已知AP，CP分别平分∠BAD和∠BCD，当∠D和∠B为任意角，其他条件不变时，试写出∠P与∠D，∠B之间的数量关系；(3)如图3，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝eq\f(1,4)∠CAB，∠CDP＝eq\f(1,4)∠CDB，则∠P与∠C，∠B之间的数量关系为________(用x，y的代数式表示)；(4)如图4，已知直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A，∠C的关系，直接写出结论．INCLUDEPICTURE"25NTKQS176.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS177.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS178.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS179.TIF"图1图2图3图4类型二：飞镖模型2如图，已知∠BOF＝120°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．INCLUDEPICTURE"25NTKQS180.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS181.TIF"(第2题)(第3题)3在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图所示的一个零件，若∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，则∠F＝________．类型三：A字模型4将一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．(点A′在△ABC的内部)(1)如图1，若∠A＝45°，则∠1＋∠2＝________；(2)利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，将△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1＋∠2＝108°，利用(2)中得出的结论求∠BA′C的度数．INCLUDEPICTURE"25NTKQS183.TIF"图1图2类型四：双内角平分线模型5(1)如图1，已知∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系；(2)如图2，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系；(3)如图3，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．INCLUDEPICTURE"25NTKQS185.TIF"INCLUDEPICTURE"25NTKQS186.TIF"图1图2图3类型五：双外角平分线模型6如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E.(1)若∠A＝64°，则∠BPC的度数为________；(2)探索∠Q与∠A的数量关系；(3)若在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，则锐角A的度数为________．类型六：内外角平分线模型7如图，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E.(1)∠E＝________；(2)分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F.①根据题意在图中补全图形；②求∠AFC的度数．INCLUDEPICTURE"25NTKQS189.TIF"备用图参考答案第1课时三角形内角和定理及其推论1.C2.D3.B4.15°5.24°6.证明：因为∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°(已知)，所以∠ACD＝90°－∠DCB(等式性质).因为CD⊥AB(已知)，所以∠CDB＝90°(垂直的定义).因为∠B＝180°－∠CDB－∠DCB(三角形内角和定理)，所以∠B＝90°－∠DCB(等量代换)，所以∠ACD＝∠B(等量代换).7.证明：(1)因为AB∥EF，所以∠A＝∠CFE.因为∠A＝∠DEF，所以∠CFE＝∠DEF，所以AC∥DE.(2)因为AB∥EF，AC∥DE，所以∠B＝∠CEF，∠BED＝∠C.因为∠DEF＋∠CEF＋∠BED＝180°，∠A＝∠DEF，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°，即一个三角形的内角和为180°.8.A9.25°10.不合格11.24或3612.证明：因为∠FEC＝∠A＋∠ADE，所以∠F＋∠FEC＝∠F＋∠A＋∠ADE.因为∠F＋∠BDF＝∠ABC，∠ADE＝∠BDF，所以∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC.因为∠A＝∠ABC，所以∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC＝2∠A.13.(1)证明：因为∠ACB＝∠CDB＝90°，所以∠B＝90°－∠DCB，∠ACD＝90°－∠DCB，所以∠B＝∠ACD.因为AE平分∠CAB，所以∠CFE＝∠ACD＋eq\f(1,2)∠CAB，∠CEF＝∠B＋eq\f(1,2)∠CAB，所以∠CFE＝∠CEF.(2)解：因为∠CEF＝∠B＋∠EAB，∠CFE＝∠ACD＋∠CAE，所以∠CEF－∠CFE＝∠B－∠ACD.因为∠B＝180°－m－∠DCB，∠ACD＝m－∠DCB，所以∠CEF－∠CFE＝(180°－m－∠DCB)－(m－∠DCB)＝180°－2m.第2课时多边形内角与外角和定理1.C2.D3.A4.75.96.205°7.128.解：(1)根据题意，得180×(x－2)＝1080，解得x＝8.所以正x边形的周长为8×2＝16.(2)由(1)，得正x边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°，所以正n边形的每个外角的度数为135°－63°＝72°.因为360°÷72°＝5，所以n的值为5.9.解：(1)由题意，得∠B＝∠C＝eq\f(180°×(6－2),6)＝120°.因为∠DAB＝60°，所以∠ADC＝360°－∠DAB－∠B－∠C＝60°.(2)AD∥EF.理由如下：同(1)，得∠F＝∠BAF＝120°，所以∠FAD＝∠BAF－∠BAD＝60°，所以∠F＋∠FAD＝180°，所以AD∥EF.10.D11.B12.20013.120°14.解：(1)设新的多边形的边数为n.由题意，得180°×(n－2)＝2160°，解得n＝14.因为切去一角有如图所示的三种切法，所以切完后新多边形的边数比原多边形多一条边或相等或少一条边，所以原多边形的边数为13或14或15.(2)设该多边形的边数为m.因为2024÷180≈11.2，所以m－2＝12，解得m＝14，所以少算的内角的度数为180°×12－2024°＝136°.故该多边形的边数为14，少算的内角的度数为136°.15.解：(1)因为∠ABC＝80°，所以∠ABE＝180°－80°＝100°.因为BF平分∠ABE，所以∠ABF＝∠EBF＝50°.因为BF∥CD，所以∠BCD＝∠EBF＝50°.(2)因为CF平分∠BCD，BF平分∠ABE，所以∠BCF＝∠DCF＝eq\f(1,2)∠BCD，∠EBF＝∠ABF.因为∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠A＝110°，∠D＝120°，所以∠ABC＋∠BCD＝360°－110°－120°＝130°，所以180°－∠ABE＋2∠BCF＝130°.因为∠ABE＝2∠EBF，∠EBF＝∠F＋∠BCF，所以180°－2(∠F＋∠BCF)＋2∠BCF＝130°，所以2∠F＝50°，解得∠F＝25°.(3)∠F＝eq\f(1,2)(∠A＋∠D－180°).理由如下：因为∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠ABC＝180°－∠ABE，∠ABE＝2∠EBF，∠BCD＝2∠BCF，∠EBF＝∠F＋∠BCF，所以∠A＋∠D＋180°－∠ABE＋2∠BCF＝360°，所以∠A＋∠D－2∠EBF＋2∠BCF＝180°，所以∠A＋∠D－2(∠F＋∠BCF)＋2∠BCF＝180°，即2∠F＝∠A＋∠D－180°，所以∠F＝eq\f(1,2)(∠A＋∠D－180°).第3课时反证法1.C2.B3.D4.BC≥AC5.③④①②6.解：(1)当a＝－1，b＝2时，满足ab<0，但a＋b＝1>0.(2)当α＝120°时，α的补角β＝60°，β<α，即补角小于这个角．(3)0是有理数，0没有倒数．(4)当a>b，c＝0时，ac＝bc.7.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，则∠A＋∠B＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，所以假设不成立，所以∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角．8.A9.三个内角都不是锐角10.144°11.证明：假设m不是偶数，则m为奇数．设m＝2n＋1(n为整数)，则m2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1＝4(n2＋n)＋1.因为4(n2＋n)为偶数，所以4(n2＋n)＋1为奇数，与m2为偶数矛盾，所以假设不成立，所以m为偶数．12.解：已知：AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H.求证：∠BGF＝∠DHF.证明：假设∠BGF≠∠DHF.过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，则PQ∥CD(同位角相等，两直线平行).由题意，得AB∥CD，且AB也过点G，这与经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF，所以两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．13.解：∠DFG＝∠QFG.理由如下：过点G作HG∥AB.因为AB∥CD，所以AB∥CD∥GH，所以∠BEG＝∠EGH，∠HGF＝∠GFD.因为∠EGH＋∠HGF＝90°，所以∠BEG＋∠GFD＝90°.因为2∠BEG＋∠DFQ＝180°，所以∠GFD＝eq\f(1,2)∠DFQ.因为∠DFQ＝∠QFG＋∠GFD，所以∠DFG＝∠QFG.微专题8三角形角度计算中的几何模型1.解：(1)因为∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，所以∠A＋∠B＝∠C＋∠D.(2)设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋∠B＝y＋∠P，,x＋∠P＝y＋∠D，))所以∠B－∠P＝∠P－∠D，所以2∠P＝∠B＋∠D.(3)∠P＝eq\f(1,4)(3x＋y)(4)∠P＝90°－eq\f(1,2)∠C－eq\f(1,2)∠A提示：如图，延长AB交PD于点J.设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y，则∠A＋2x＝∠C＋180°－2y，所以x＋y＝90°＋eq\f(1,2)(∠C－∠A).因为∠P＋x＋∠A＋y＝180°，所以∠P＝90°－eq\f(1,2)∠C－eq\f(1,2)∠A.2.240°3.70°4.解：(1)90°(2)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：因为∠BDE，∠CED是△ADE的两个外角，所以∠BDE＝∠A＋∠AED，∠CED＝∠A＋∠ADE，所以∠BDE＋∠CED＝∠A＋∠AED＋∠A＋∠ADE，所以∠1＋∠A′DE＋∠2＋∠A′ED＝2∠A＋∠AED＋∠ADE，所以∠1＋∠2＝2∠A.(3)由(2)，得2∠A＝108°，所以∠A＝54°.因为BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，所以∠A′BC＋∠A′CB＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)∠A，所以∠BA′C＝180°－(∠A′BC＋∠A′CB)＝180°－(90°－eq\f(1,2)∠A)