点由b出发沿bd方向匀速运动速度为1cms同时线

（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】解：（1）∵∴．而，∴，∴．∴当．（2）∵平行且等于，∴四边形是平行四边形．∴．∵，∴．∴．∴．．∴．过B作，交于，过作，交于．．∵，∴．又，，，．（3）．若，则有，解得．（4）在和中，∴．∴在运动过程中，五边形的面积不变．（2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．【关键词】正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明【答案】解：（1）在正方形中，，，，，在中，，，，（2），，，，当时，取最大值，最大值为10．（3），要使，必须有，由（1）知，，当点运动到的中点时，，此时．ADBEOCFxyy（G）（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．ADBEOCFxyy（G）（1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算【答案】（1）解：由得点坐标为由得点坐标为∴由解得∴点的坐标为∴（2）解：∵点在上且∴点坐标为又∵点在上且∴点坐标为∴（3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则AADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM∴即∴∴即 当时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=,∴当时，如图3,为三角形面积，QPCBAO（2009年绵阳市）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=QPCBAOAB与PC交于Q点．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若∠ABP=15，△ABC的面积为4，求PC的长．【关键词】圆的性质，相似三角形，三角函数【答案】（1）∵∠ABC=∠APC=60，∠BAC=∠BPC=60，∴∠ACB=180－∠ABC－∠BAC=60，∴△ABC是等边三角形．（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60．又∵∠AQP=∠BQD，∴△AQP∽△BQD，．∵∠BPD=∠BDP=60，∴PB=BD．∴．（3）设正△ABC的高为h，则h=BC·sin60．∵BC·h=4，即BC·BC·sin60=4，解得BC=4．连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．由△ABC是正三角形知∠BOC=120，从而得∠OCE=30，∴．由∠ABP=15得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75，于是∠POC=2∠PBC=150．∴∠PCO=（180－150）÷2=15．如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM=15，则∠RNG=30，作GH⊥RN，垂足为H．设GH=1，则cos∠GNM=cos15=MN．∵在Rt△GHN中，NH=GN·cos30，GH=GN·sin30．于是RH=GH，MN=RN·sin45，∴cos15=．在图中，作OF⊥PC于E，∴PC=2FD=2OC·cos15=．(2009年梅州市)如图，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．DCFEABGDCFEABG（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．【关键词】相似三角形【答案】（1）证明：∵梯形，，∴，∴．（2）由（1），又是的中点，∴，∴又∵，，∴，得．∴，∴．9、(2008湖南益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；ABCDEABCDEFG图(3)G′F′E′D′ABCDEFG图(1)ABCDEFG图(2)小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.Ⅱa.小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化).Ⅱb.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；②连结BF’并延长交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.10、(2008湖北恩施)如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.GyxOFEDCBAGFGyxOFEDCBAGFEDCBAABCDERPHQ（第1题图）11、（08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．ABCDERPHQ（第1题图）（1）求点到的距离的长；（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．12、（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？AABCMNP图1O18、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCABCMND图2OABCMNP图3OABCMNP图1O9、Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°∴△BDG≌△CEF(AAS)Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，ABCABCDEFG解图(2)H由△AGF∽△ABC得：解之得：(或)解法二：设正方形的边长为x，则在Rt△BDG中，tan∠B=，∴ABCDEFABCDEFG解图(3)G’F’E’D’解法三：设正方形的边长为x，则由勾股定理得：解之得：Ⅱb.解：正确由已知可知，四边形GDEF为矩形∵FE∥F’E’，∴，同理，∴又∵F’E’=F’G’，∴FE=FG因此，矩形GDEF为正方形10、解:(1)∆ABE∽∆DAE,∆ABE∽∆DCA∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA(2)∵∆ABE∽∆DCA∴由依题意可知CA=BA=∴∴m=自变量n的取值范围为1<n<2.(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=∴m=n=∵OB=OC=BC=1∴OE=OD=－1∴D(1－,0)∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2∵BD＋CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8FDHAGECB∴BDFDHAGECB(4)成立证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.连接HD,在∆EAD和∆HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴∆EAD≌∆HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD+HB=DH即BD＋CE=DE11、解：（1），，，．点为中点，．，．，，．（2），．ABCDEABCDERPHQM21，，即关于的函数关系式为：．（3）存在，分三种情况：①当时，过点作于，则．，，．，，ABCDEABCDERPHQABCDERPABCDERPHQ．③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，．，，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．12、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．……………2分∴=．（0＜＜4）……………3分（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．ABCMND图ABCMND图2OQ∴，∴．…5分过M点作MQ⊥BC于Q，则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………7分（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．ABCMNP图3OABCMNP图3O故以下分两种情况讨论：=1\*GB3①当0＜≤2时，．ABCMNP图4OABCMNP图4OEF=2\*GB3②当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．∴FN＝BM＝4－x．∴．又△PEF∽△ACB．∴．∴．………………9分＝．……10分当2＜＜4时，．∴当时，满足2＜＜4，．……11分ABCMNP图1ABCMNP图1O18.、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．∴=．（0＜＜4）（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．ABCMND图2ABCMND图2OQ∴，∴．过M点作MQ⊥BC于Q，则．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴当x＝时，⊙O与直线BC相切．ABCMNP图3O（3）随点M的运动，当P点落在直线ABCMNP图