2019解题研究期末考

2019解题研究期末考题型一、选择题（本题总分30分，每小题5分，答案正确得3分，方法与解题思路正确各1分，共6小题。每小题有四个选择项，其中只有一项是正确的，请你写出正确答案及解题思路，并标注每道题是用何种方法解答的？如特例法、筛选法等）选择填空题技巧的原题，高考或模拟卷的试题二、简答题（本题共3小题，每小题8分，共24分）（背PPT即可，无需展开）【思想】分类讨论，函数与方程，化归与转化（如：分类讨论的原则，数学思想的原则和要素）（一）分类讨论在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个条件，实施转化处理.将目标分解为一个个子目标，降低难度，最后通过反思整合，实现解题目标。分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的“化整为零、逐个击破、再积零为整”的解题手段。1.分类讨论标准：母项、子项、根据2.分类讨论的原则同一性原则、完备性原则、互斥性原则、逐级性原则3.分类讨论的类型：（1）由数学概念内涵引起的分类讨论分数的分母数不为零，正切函数的定义域，偶次方根根号下的式子为非负（2）由性质定理公式的限制引起的分类讨论数列三角平面向量等比数列的前N项和公式时，对q等于1和q不等于1的分类（3）由图形的不确定性引起的分类讨论二次函数对称轴位置的变动，函数图像形状的变动，直线由斜率引起的位置变动。（4）有参数的变化引起的分类讨论函数与导数，数列与不等式。函数中可以是零也可以不是零4.简化或避免分类讨论的方法整体把握，避免分类变换主元，避免分类反面入手，避免分类数形结合，避免分类洞察本质，避免分类分离变量，避免分类二次求导，避免分类适当换元，避免分类利用函数观点、函数性质，避免分类（二）函数方程函数的思想：是指用函数的概念或者性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程的思想：是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃。1.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：（1）是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；（2）是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的，函数是方程与不等式的中介，他们既有区别又有联系。2.如何协助函数与方程的思想显化函数关系转换函数关系构造函数关系构造方程形式联用函数与方程思想（三）转化与化归转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种数学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想。化归思想是“转化归结”的简称，就是将解法未知或者解法困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，恰当的运用数学方法进行变换，将原问题A转化为另一个新问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的问题，且问题B的解决可以得到原问题A的解答.1.转化与化归的要素转化的对象：解题中需要变更的东西，即何处需要转化；转化的目标：把化归的对象化为熟知的问题,规范性的问题，即转化到何处；转化的方法：从未知到熟知,从多元到少元,从空间到平面,从高维到低维,从复杂到简单，即怎样进行转化。2.转化与化归思想的基本原则（1）熟悉已知化原则充分联想回忆基本知识和题型全方位、多角度分析题意恰当构造辅助元素（2）简单化原则：寻求中间环节，挖掘隐含条件；分类考察讨论；简单化已知条件；恰当分解结论。（3）直观化原则图表直观；图形直观；图像直观。（4）具体化原则：（5）和谐统一原则：（6）正难则反原则：（7）特殊化原则（8）一般化原则（9）整体化原则（10）间接化原则【方法】数学归纳法，反证法，换元法，待定系数法（如数学方法的解题步骤，类型，原则？）（一）反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。1.常见的矛盾形式（1）与已知条件，即与题设矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与已知的定义、公理和定理矛盾;（4）自相矛盾。2.适用范围(1)已知条件很少或由已知条件能够推出的结论很少；(2)命题的结论以否定形式出现；(3)命题的结论以“至多”“至少”的形式出现;(4)命题的结论以“唯一”的形式出现；(5)命题的结论以“无限”的形式出现；(6)关于存在性定理；(7)某些定理的逆定理；(8)其他直接的结论较少、较抽象、较困难时，反面的内容结论相对会较多、较具体、较容易（正难则反）。3.一般步骤（1）反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推导，导出矛盾——与已知条件、已知公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或者自相矛盾；（3）结论：由于推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定结论成立。（二）数学归纳法数学归纳法通常被用于证明在整个（或者局部）自然数范围内成立的某个给定命题.它是处理自然数命题最基本也是最常见的方法。1.理论基础：数学归纳法的理论基础是皮亚诺公理。2.认知难点“把无限步的验证转化为对有限步的验证”“理解两步骤的必要性”.“P(k)不是作为被证的事实，而是作为假设；对蕴涵关系p→q的不理解”3.基本形式4.应用证明数学恒等式问题解决数学不等式问题证明整除问题解决数学几何问题5.第二步证明中常用技巧定向：写出目标式，执果变形，减少证明的盲目性插项：用凑凑项或插项法实现过渡裂项：用分类法实现过渡放缩：“放”要恰到好处不能过头，“缩”要适度，但不可不及作差：某些命题，第二步证明中不易的手，可采用作差法爬坡：对所证命题分成几个子问题，依次对每个目标程序推理。（三）换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法，指的是把某个式子看成一个整体，用一个变量去替代它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。1.换元法的技巧与方法（1）三角代换三角代换是中学数学中最常用的代换方法（2）整体换元法以“元”换“式”。用一个字母替代一个式子，从而是问题得到简化。（3）局部换元法有时数学式子比较复杂，我们可以由其结构的特征进行换元，使问题化简。（4）均值换元法对两个类似的式子，可令其算术平均值为t进行换元（5）根式换元将根式作为一个整体，代换后成为熟悉的一元二次函数问题解决，（6）比值换元通过变量代换成同一个变量，从而简化所求问题。（7）对称变换用题中有关量的轮换对称关系进行代换，称为对称代换2.运用换元法解题应注意的几个问题（1）代换中有关变元的取值范围（2）恪守“自由度”不变的原则（四）待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法.1.主要依据多项式恒等的条件、实数相等的条件、复数相等的条件、待求问题本身含有隐含条件2.待定系数法解题的关键依据已知,正确列出等式或方程,主要从以下几方面着手分析:①利用对应系数相等列方程;②由恒等的概念用数值代入法列方程;③利用定义本身的属性列方程;④利用几何条件列方程.3.待定系数法的使用范围要判断哪些数学问题能否使用待定系数法求解,关键是看所要求的这些问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,则可使用待定系数法求解.4.确定待定系数法的方法及主要步骤方法（1）确定所求问题是含待定系数的解析式;（2）根据给定的已知条件,设立一个恒等式,其中含有几个待定的系数;（3）再根据多项式恒等的意义或性质,列出几个方程,组成方程组;（4）解这个方程组,求出各待定系数的值,或者从方程组中消去这些待定系数,找出原来那些已知系数间存在的关系。【数学思想与数学方法】概念；区别与联系（一）数学思想是关于数学概念、理论方法以及形态的产生与发展规律的认识，是对数学知识与方法的本质的认识。（二）数学方法是指数学本身的认证、运算以及应用的手段，或者说解决问题的策略或程序。（三）区别与联系：数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。三、简述题（本题15分）要求：三分之一的自己的观点，三分之二书中的知识（一）数学问题解决的基本策略（6个方面）P23-601.审题策略，精审题意，严把条件1.1，全面收集信息。细心阅读题目，全面收集信息，正确地掌握题目的条件，解题的设问方向。1.2，挖掘隐含条件。挖掘符号语言中隐含的相关属性。挖掘数学形式转换中隐含的数学现象。挖掘具体的问题情境中隐含的数学实质。2.分析策略，抓住特征，寻求启示。2.1抓住图形的几何特征。图形的度量特征，包括线段的度量，角的度量以及面积体积的度量。图形与图形之间的关系特征包括线线、线面、面面之间的平行相交关系，特别是相互垂直的关系几何图形间的全等，相似关系。2.2，抓住文字所表述的数量关系。以数学式子表述的已知条件，如等式或方程，不等式函数，解析式等以文字表述的已知条件，要读懂题意，以形式化的数学语言表达题目中的数量关系。2.3，抓住数学符号的形式化暗示。形式化语言暗示某种结构特征以及某种运算法则，某种运算的结果。通过多做题，可以逐步积累相关经验，增强解决问题的机敏性。3.联想策略，纵横交错，贯通思路。3.1联想已有经验。将题目条件、求解目标与已有知识与经验联系，分析题目细节发现新意义、新解释与个人熟悉情境和经验发生联系。3.2，注意抓住本质。证明题，弄清题目条件，结论计算题，弄清题目条件，求解目标作图题，弄清作图条件，对图形的要求。4.化归策略，化隐为显，化难为易。4.1加强对数学对象相互联系的认识在认识数学时，把它看作一个整体，看到不同数学专题的相互影响。4.2找出联系，确定转化的可能性4.2.1正与反的联系反证法，正证法。正数与复数，有理数与无有理数，实数与虚数。相互对立，相互依存，在一定条件下相互转化。4.2.2常量与变量的关系常量与变量相互联系，相互制约，从而也能相互转化。4.2.3相等与不等的关系方程要考虑对根的限制，在验根过程中有时要转化为利用不等式，而解不等式时又常常转化为解方程。4.3运用划归思想解决问题，有明确的目的。从题设要求的方向转化，从高级转向低级，从抽象化为具体，从复杂化为简单，把新的认知问题归结为原有的认知问题。4.4从特殊化获取划规的启示，灵感，思路。将难以解决的难题，转化为相对容易解决的特殊情况进行研究，通过特殊化帮助猜测有待寻找的结论。4.5掌握常用的划归方法如化繁为简，化生为熟，化整为零，划曲为直，以形论数，以数论形，遇到新的问题情境时，运用有效的思维策略去探索划归的途径。4.6纠正常犯错误如与特殊代替一般，或忽略特殊情况，或忘记重要的定理公式，或者产生概念混淆等等。5.表述策略，说理清楚，抓住关键。5.1言必有据。数学计算过程必须遵守有关法则，数学推理和判断必须以有关的定义、定理，或公式为依据，尽可能清楚简洁的写出解题的结果，特别要注意的是：1.因果关系清楚，符合正确的逻辑顺序2.关键步骤要说理清楚3.对自己引入的符号辅助线辅助角以及其他的辅助量要交代清楚，4.一个符号只表示一个意义。5.2思维慎密。从多方面进行思考，如对方程解的情况进行分类，不重不漏。6.答题策略，心态平和，讲究顺序。6.1先易后难树立信心，填空题，选择题的解答策略。按顺序先把简单题目拿下来，余下时间再把困难题目拿下选择题，可采用图解法构造法，特殊法，筛选法等解题策略来节约时间。6.2，每分必争，步步为营，解答题的求解策略。考生尽自己的所能从难度较大的综合题中取得力所能及的分数，使全卷的成绩得以大大提高。6.3，适时反思，有错必究，解题思维，自我监控的策略1.是否全面了解题2.是否按题目的要求答题3.答题的表述是否清楚4.计算的结果是否合理（二）数学解题中的常见错误剖析（5个方面）P142-1491.审题不周，遗漏信息正确理解题意，全面掌握已知条件和设问要求是问题解决的基础工作。如果学生审题不周，忽视部分条件，误解题意，就会导致解题错误或受阻。2.基础不牢，思路受阻问题解决的思路通常是一环扣一环，如果其中一个环节的相关知识，在解题者的头脑中找不到应有的位置，即知识遗惑又或是解题者即使具备需要的知识，但是面对不熟悉的问题情境，有时在一环节上未能找到条件和所求的联系，因而思维过程未能按预想的方向进行，这样都会使解题陷入复杂局面，即思路受阻。3.忽视范围，换元失效在使用换元法解决有关问题时，如果不注意所换字母范围的变化，将会造成换元的失效。4.忽视条件，产生逻辑