2026数字信号处理试卷及答案

2026数字信号处理试卷及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知离散时间信号x[n]=δ[n]+2δ[n-1]，其Z变换X(z)为A.1+2zB.1+2z⁻¹C.1-2z⁻¹D.2+z⁻¹答案：B2.对连续信号x(t)=cos(2π·1000t)以f_s=2.5kHz采样，所得序列的归一化数字频率ω（rad/sample）为A.0.4πB.0.8πC.1.2πD.1.6π答案：B3.下列关于线性时不变系统稳定性的说法正确的是A.冲激响应绝对可和是因果稳定的充要条件B.极点在单位圆外则系统稳定C.系统函数收敛域包含单位圆则系统稳定D.零点在单位圆内则系统稳定答案：C4.对长度为N的实序列做N点基2-FFT，所需复乘次数约为A.N²B.Nlog₂NC.(N/2)log₂ND.2N答案：C5.用窗函数法设计FIR低通滤波器，窗长度固定时，减小过渡带宽度会A.降低阻带衰减B.提高阻带衰减C.不改变阻带衰减D.使通带纹波减小答案：A6.设系统函数H(z)=1/(1-0.5z⁻¹)，输入x[n]=u[n]，则稳态输出y[n]为A.2B.1C.0D.∞答案：A7.对序列x[n]=e^{j(π/4)n}做N=8点DFT，其DFT系数X[k]非零的k值为A.0B.1C.2D.4答案：B8.双线性变换将模拟滤波器转换为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω的关系为A.ω=ΩTB.ω=2arctan(ΩT/2)C.ω=Ω/TD.ω=Ω²T答案：B9.设信号x[n]的采样率为48kHz，对其做1024点FFT，则相邻谱线间隔为A.46.875HzB.48HzC.1024HzD.23.4375Hz答案：A10.对IIR滤波器H(z)=1/(1-0.9z⁻¹)采用直接Ⅰ型实现，所需延迟单元数为A.0B.1C.2D.3答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分；多选少选均不得分）11.下列关于DFT性质的描述正确的是A.实序列的DFT满足共轭对称性B.循环卷积等于线性卷积当且仅当DFT长度≥L+M-1C.DFT是Z变换在单位圆上的均匀采样D.DFT隐含周期为N答案：ABCD12.下列窗函数中，具有固定旁瓣峰值约-13dB的是A.矩形窗B.汉宁窗C.汉明窗D.布莱克曼窗答案：A13.下列关于采样定理的说法正确的是A.带限信号最高频率为f_m，则采样频率f_s>2f_m可无失真恢复B.欠采样一定导致频谱混叠C.过采样可提高信噪比D.采样频率可低于信号最低频率答案：ABC14.下列关于FIR与IIR滤波器的对比正确的是A.FIR可做到严格线性相位B.IIR可用较低阶数实现锐截止C.FIR一定稳定D.IIR无法做到线性相位答案：ABC15.下列关于Goertzel算法的说法正确的是A.用于计算单个DFT系数B.运算量低于FFT当仅需少量谱线C.是IIR滤波器结构D.可用于DTMF解码答案：ABCD三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=cos(πn/3)的周期N=________。答案：617.已知h[n]={1,2,3}，x[n]={4,5}，则线性卷积结果y[2]=________。答案：2318.对模拟滤波器H_a(s)=1/(s+1)采用双线性变换，设T=1ms，所得数字滤波器H(z)的3dB截止频率ω_c=________rad/sample。答案：2arctan(0.5π·0.001)≈0.003119.8点DIT-FFT最后一级旋转因子W_8^1=________。答案：e^{-jπ/4}20.用Kaiser窗设计FIR滤波器，要求阻带衰减60dB，则β≈________。答案：5.65321.系统H(z)=1+z⁻¹+z⁻²的群延迟τ_g(ω)|_{ω=0}=________samples。答案：122.序列x[n]=a^nu[n]，|a|<1，其能量E=________。答案：1/(1-a²)23.对x[n]=δ[n]+δ[n-4]做N=8点DFT，则|X[4]|=________。答案：224.设量化步长为Δ，则均匀量化信噪比SNR≈6.02b+10.8dB，其中b为________。答案：量化位数25.采样频率32kHz，信号最高频率15kHz，则抗混叠滤波器过渡带宽度最大为________kHz。答案：1四、简答题（每题6分，共18分）26.简述用窗函数法设计FIR低通滤波器的步骤，并指出窗长度对过渡带和阻带衰减的影响。答案：(1)根据指标确定理想低通截止频率ω_c与窗类型；(2)计算理想冲激响应h_d[n]=sin(ω_cn)/(πn)，n≠0，h_d[0]=ω_c/π；(3)选窗w[n]，得h[n]=h_d[n]w[n]；(4)检验指标，若不满足则调整窗长度或类型。窗长度↑→过渡带↓，但阻带衰减由窗类型固定，长度对其几乎无影响。27.解释频率混叠现象，并给出两种避免混叠的工程措施。答案：当f_s≤2f_m时，高频分量折叠到低频，造成频谱重叠。措施：(1)采样前加抗混叠模拟低通，衰减高于f_s/2的分量；(2)提高采样率，使f_s远大于信号带宽。28.比较DIT与DIF两种基2-FFT算法的异同。答案：同：运算量相同，均为(N/2)log₂N次复乘；均原位计算；均分log₂N级。异：DIT输入倒位序输出顺序，DIF相反；DIT先乘后加减，DIF先加减后乘；蝶形结构互为转置。五、计算题（共42分）29.（8分）已知x[n]={1,2,3,4}，h[n]={1,1}(1)求线性卷积y[n]=x[n]h[n]；(1)求线性卷积y[n]=x[n]h[n]；(2)若用N=4点循环卷积，求结果y_c[n]并与(1)对比说明差异。答案：(1)y={1,3,5,7,4}；(2)y_c={1+4,3,5,7}={5,3,5,7}，因长度不足发生混叠，与线性卷积不符。30.（10分）系统差分方程y[n]-0.8y[n-1]=x[n]，输入x[n]=cos(πn/2)，求稳态输出y[n]。答案：系统函数H(z)=1/(1-0.8z⁻¹)，频率响应H(e^{jω})=1/(1-0.8e^{-jω})。ω=π/2，得|H|=1/√(1+0.64)=0.7809，φ=-arctan(0.8/1)=-38.66°。稳态y[n]=0.7809cos(πn/2-0.674rad)。31.（12分）用双线性变换将模拟滤波器H_a(s)=2/(s²+2s+2)转换为数字滤波器，设T=0.2ms，要求：(1)写出数字系统函数H(z)；(2)计算数字截止频率ω_c（3dB）。答案：(1)令s=(2/T)(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)=10⁴(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)，代入得H(z)=2(1+z⁻¹)²/[(10⁴(1-z⁻¹))²+2·10⁴(1-z⁻¹)(1+z⁻¹)+2(1+z⁻¹)²]化简后H(z)=0.0002(1+2z⁻¹+z⁻¹²)/(1-1.9972z⁻¹+0.9972z⁻²)。(2)模拟3dB频率Ω_c=√2rad/s，ω_c=2arctan(Ω_cT/2)=2arctan(0.0001414)=0.000283rad/sample。32.（12分）设计一个长度为N=21的FIR高通滤波器，截止频率ω_c=0.4π，采用汉明窗：(1)写出理想冲激响应h_d[n]表达式；(2)给出加窗后实际系数h[n]（仅需求出n=0,1,…,10）；(3)绘出幅度响应示意图并标出关键频率。答案：(1)h_d[n]=δ[n]-sin(0.4πn)/(πn)，n≠0；h_d[0]=1-0.4=0.6。(2)汉明窗w[n]=0.54-0.46cos(2πn/20)，|n|≤10；h[n]=h_d[n]w[n]，计算得h[0]=0.6×1=0.6；h[1]=(-0.1183)×0.3979≈-0.047；h[2]=(-0.0930)×0.1671≈-0.0155；…h[10]=(-0.0318)×0.0801≈-0.0025。(3)图略：通带0.4π~π，阻带0~0.4π，过渡带宽度≈6.6π/21≈0.31π，阻带衰减≈53dB。六、综合分析题（共25分）33.（13分）多速率系统如图：x[n]→↑L=3→H(z)→↓M=2→y[m]。已知x[n]带宽0~π/3，H(z)为抗镜像低通，要求无混叠无镜像：(1)给出H(z)的理想截止频率ω_s；(2)若H(z)用等波纹FIR设计，通带0~0.3π，阻带0.35π~π，δ_p=0.01，δ_s=0.001，用Kaiser窗估算所需长度N；(3)计算系统输出采样率与输入采样率比值f_y/f_x。答案：(1)内插后镜像位于π/3~2π/3，抽取前需抗混叠，故H(z)截止ω_s=min(π/3,π/2)=π/3。(2)过渡带Δω=0.05π，A=-20log₁₀√(δ_pδ_s)=54dB，β=0.1102(A-8.7)=4.55，N≈(A-7.95)/(2.286Δω)+1≈(54-7.95)/(2.286×0.05π)≈128.2→取129。(3)f_y/f_x=(L/M)=3/2=1.5。34.（12分）实测离散信号x[n]在n=0,…,1023共1024点，采样率f_s=8kHz，现用周期