湖北省武汉市2026届高三下学期三月调研考试数学试卷

湖北省武汉市2026届高三下学期三月调研考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合，，则(

)A. B. C. D.答案：C解析：结合选项可知，故A，D错误；，所以选项B错误.故选择：C2．已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为(

)A. B.3 C. D.1答案：A解析：，因为复数z的实部与虚部相等，所以，得，故选A.3．记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则(

)A. B. C. D.答案：D解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则由，可得，所以，，则，，从而.故选择：D4．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则(

)A.2 B.3 C.4 D.5答案：C解析：根据射影定理可得，整理得，又根据正弦定理的，所以，从而.故选择：C5．记等比数列的前n项和为，若，且，则正整数k的值为(

)A.3 B.6 C.9 D.12答案：A解析：设的公比为q，则，若，则，所以，不符合题意，所以，由，得，，，，，，又，所以.因为，所以，，，所以，故选A.6．连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则(

)A. B. C. D.答案：D解析：抛掷硬币8次，设其中正面向上的次数为Y，则，，，又，所以，.故选D.7．若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：考虑特殊情形，时，，时，，由是奇函数，则，得.故选择：C8．已知A，B是双曲线（，）的左、右顶点，，，…，是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记，若和都是等差数列且公差相等，则(

)A.2 B.4 C.6 D.8答案：D解析：设，因为点在双曲线上，所以，则.，，则（其中c为双曲线的半焦距）.由，得①.又②，所以由①②得..因为和的公差相等，所以，得，所以，故选D.二、多项选择题9．现有10个数据：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有(

)A.众数是4 B.平均数是4 C.极差是3 D.中位数是4.5答案：BC解析：错误项分析：A（×）众数为3.B（√）平均数等于.C（√），所以极差为3.错误项分析：D（×）中位数等于.故选BC.10．如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，的中点，则下列说法中一定正确的有(

)A.平面ABC B.C.平面 D.PQ与MN相交答案：ACD解析：解法一：A（√）如图，取AB的中点H，连接PH，HC，则，，又，，所以，，所以四边形PQCH为平行四边形，所以，又平面，平面ABC，所以平面ABC.错误项分析：B（×）连接，，CM，则，，又，故，所以MN与BC不垂直.C（√）因为，，，平面，所以平面，又，所以平面.D（√）连接，，，，则，故PQ与MN相交.故选ACD.解法二：设该正三棱柱底面边长为a，侧棱长为h，如图，取AC的中点O，连接OB，OM，则，，.以O为坐标原点，OB，OC，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，.A（√），平面ABC的一个法向量，则，又平面ABC，所以平面ABC.错误项分析：B（×），，则，故MN与BC不垂直.C（√），，则，，所以，，又，平面，所以平面.D（√）的中点坐标为，的中点坐标为，所以PQ与MN相交.故选ACD.11．定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有(

)A.B.当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是C.存在正实数a和，使得时，有D.当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是答案：AD解析：nx草图123…………合在一起，可以得出的大致图象，如图1.可知，当n为奇数时，，当n为偶数时，.A（√）由的图象可知，.错误项分析：B（×）由的图象可知，的零点为1，2，3，…，所以当时，在内的零点个数，就是内的正整数个数.当时，区间长度t小于1，零点个数至多为1；当时，若恰有两个零点，则，所以；当时，若恰有两个零点，则，所以；当时，在内零点为4，5；当时，在内至少有3个零点.所以t的取值范围是.错误项分析：C（×）在上，.令得，.取充分大的偶数n，使，此时为这一段的极大值点，.若C正确，则，即，但时，，矛盾，故C错误.D（√）在每个区间内恰有一个极值点，即.当时，，只需看内的极值点，即，，，，，.当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.在数轴上标出各个区间，如图2（为方便观察，这里区间长度未保持一致，只做示意），所以当时，若在区间内恰有两个极值点，则.故选AD.三、填空题12．平面向量a，b满足，，，则a与b的夹角的余弦值是____________________.答案：解析：由题意可得，.因为，，所以，所以.13．平行于x轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为____________.答案：3解析：由题意可知，，.设平行于x轴的直线为，则，，所以，.因为，所以，所以，根据对称性，设，则，，所以四边形为矩形，.14．如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点A，B，C是同一直线上的三点，且该直线与x轴交于点D，若，则____________________.答案：解析：为方便起见，将的图象向左平移至如图所示位置，设平移后的曲线对应的函数为，则，.因为，所以D，B是AC的三等分点.设，，（，，m均大于0），则，，，由A，B，C均在曲线上，得，由①②得，所以或（舍去），所以④，代入③得，，所以，结合①可得，所以，，结合④可得，.四、解答题15．在数列中，，，，且是等差数列.（1）求；（2）证明：.答案：（1）12；（2）证明见解析解析：（1）由题可设，则即为二次函数型，设，解得，所以，故.（2），所以.16．如图，在三棱锥中，，，，，，，点M，N分别是棱PB，PC上的点，且直线平面AMN.（1）求MN的长；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为平面，平面AMN，所以，.如图1，在中，，所以.如图2，在中，，所以.在中，，所以.（2），.等腰的面积..，所以.（3）解法一：.设点C到平面PAB的距离为h，则，又，所以，设直线BC与平面PAB所成的角为，则.解法二：因为平面，平面PAB，所以平面平面PAB.如图3，过点N作交AM于点G，则，所以.因为平面平面，所以平面PAB，所以点N到平面PAB的距离为，又，所以点C到平面PAB的距离.设直线BC与平面PAB所成的角为，则.17．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有极小值，且，求a的取值范围.答案：（1）；（2）答案见解析；（3）解析：（1）当时，，，，，代入，即.（2），定义域，若，则，在上单调递增；若，则由，解得，在上单调递减，上单调递增.（3）由（2）：当时，有极小值，考虑，当时，在上单调递减，上单调递增，故，，即，当时，，而关于a递增，故.18．曲线与直线交于点A，过点A且与l垂直的直线交曲线E于另外的点B，设线段AB的中点为P，定点Q的坐标为.（1）用t表示点A的坐标.（2）证明：为定值.（3）是否存在某条直线始终与以PQ为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）证明见解析（3）存在定直线始终与以PQ为直径的圆相切解析：（1）由，得，解得，所以点A的坐标为.（2）直线AB的方程为，代入曲线E的方程得.设，则，...所以，为定值.（3）设以PQ为直径的圆的圆心为，半径为R，则，，圆的半径.因为当时，，所以若存在某条直线始终与以PQ为直径的圆相切，则该直线的斜率存在，设与该圆相切的定直线方程为，则点M到定直线的距离等于R，所以，即，则等号两边二次项系数相等，即，解得，代入其余项得.所以存在定直线始终与以PQ为直径的圆相切.19．有n张编号分别为1到n的卡片，横向随机排列.对于这n张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，记此时的卡片排列为.对这n张卡片的排列进行如下三步操作：①取出最左边的卡片，记其标号为k;②剩余卡片中，标号小于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为（若不存在则为空），标号大于k的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为（若不存在则为空）；③对这n张卡片重新排列，得到新排列：.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”.（1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；（2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率；（3）记