南通市海门区实验初级中学2026年九年级提前自主招生模拟试卷数学试题卷b卷

绝密★启用前南通市海门区实验初级中学2026年九年级提前自主招生模拟试卷数学试题卷·试卷类型:B卷·注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共5页，满分共100分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置。3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。第I卷（选择题）（共30分）选择题（共10题，每题3分，共30分）1．新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感都相同，只有红、蓝、黄、白、绿五种颜色之分（摸时看不到颜色），结果发现总有2人取的球的颜色完全相同，由此可知参加取球的人至少有（

）A．10人 B．11人 C．15人 D．16人2．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，O为原点，交反比例函数的图象于点B，若为定值，则关于，的说法正确的是（

）A．，都是定值 B．是定值，不是定值C．不是定值，是定值 D．，都不是定值，而是定值4．如图，在直角梯形中，，，，上有一点使得，则的值为（

）．A．6 B．5 C．4 D．35．如图，在中，，点是内一点，已知，如果，那么（

）．A． B． C． D．6．如图，过的顶点，且交于交于，若，且，则____________．A． B．7 C．8 D．7．如图所示，一个等边三角形在另一个更大的等边三角形内部，它们之间的区域可以分成三个全等的梯形．内部三角形的边长是大三角形边长的．问一个梯形的面积与内部三角形的面积之比是多少？A． B． C． D．8．已知均为整数，则中必有（

）A．奇数个奇数，奇数个偶数 B．偶数个奇数，奇数个偶数C．奇数个奇数，偶数个偶数 D．偶数个奇数，偶数个偶数9．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1幅图形中的“●”的个数为a1，第2幅图形中的“●”的个数为a2，第3幅图形中的“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为（

）A． B． C． D．10．如下图，边长为4的正三角形沿直线向右平移，穿过边长为4的正方形(三点共线)，则两个图形重叠部分的面积与正三角形平移的距离的函数关系用图象表示大致是(

) B．C． D．第II卷（非选择题）（共70分）填空题（共5题，每题4分，共20分）11．若n满足，则__________．12．如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为____________．13．如图，平面直角坐标系中，为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数的图像上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．若，，则k的值为____________．14．已知二次函数的图象与y轴交于点A，过点A的直线与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为____________________．15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，，，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若，则的值为_____．解答题（共5题，每题10分，共50分）16．如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B．(1)求A、B两点的坐标．(2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切．(3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？17．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．18．综合探究如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．

(1)求证：；(2)以点为圆心，为半径作圆．①如图2，与相切，求证：；②如图3，与相切，，求的面积．19．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D．(1)求a，b的值及反比例函数的解析式；(2)若点P在线段上，且，请求出此时点P的坐标；(3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，此时点与点重合，点，，三点共线．(1)固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，此时的度数是_________．(2)若直线，固定的位置不变，将图1中的沿方向平移，使得点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示．①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．②固定的位置不变，将绕点按顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动，当经过秒时，线段与的一条边平行，请直接写出满足条件的的值．南通市海门区实验初级中学2026年九年级提前自主招生模拟试卷数学试题卷B卷答案选择题题号12345678910答案DDBDBACDCB填空题11.12.6013.7.514.或15.解答题16.(1)(2)时间为秒和秒(3)秒（1）解：在中，令，得；令，得，故得、两的坐标为，；（2）解：若动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，如图所示，连接，则．，，，，即，则．此时，（秒．根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切，此时．（秒．综上，秒时或秒时该圆与直线相切；（3）解：设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接，，，，，，点的横坐标为，点在直线上，点的纵坐标为，可见：当时，点在动圆上，当时，点在动圆内．当时，由对称性可知，有两种情况：①当点在轴下方时，，解之得：；②当点在轴上方时，，解之得：．当时时，，此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为．（1）①；②4；（2）AD=BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，．解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AB=AB′=AC′，∵DB′=DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=120°，∴∠B′=∠C′=30°，∴AD=AB′=BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，∵AB=AB′，AC=AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC=B′C′，∵B′D=DC′，∴AD=B′C′=BC=4，故答案为4．（2）结论：AD=BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC=AM，∴AD=BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°，在Rt△DCM中，∵CD=2，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，∴EM=BM=7，∴DE=EM﹣DM=3，∵AD=6，∴AE=DE，∵BE⊥AD，∴PA=PD，PB=PC，在Rt△CDF中，∵CD=2，CF=6，∴tan∠CDF=，∴∠CDF=60°=∠CPF，易证△FCP≌△CFD，∴CD=PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP=90°，∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，∴∠BPC=120°，∴∠APD+∠BPC=180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=，∴PN==．18.(1)见解析(2)①见解析；②（1）∵点关于的对称点为，∴点E是的中点，，又∵四边形是矩形，∴O是的中点，∴是的中位线，∴∴，∴（2）①过点O作于点F，延长交于点G，则，

∵四边形是矩形，∴，，∴，．∵，，，∴，∴．∵与相切，为半径，，∴，∴又∵即，，∴是的角平分线，即，设，则，又∵∴∴又∵，即是直角三角形，∴，即解得：，∴，即，在中，，，∴，∴；②过点O作于点H，

∵与相切，∴，∵∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，又∵是的中位线，∴∴∴又∵，∴又∵，∴又∵，∴是等腰直角三角形，，设，则∴在中，，即∴∴的面积为：19.(1)，，(2)或(3)存在，或（1）解：∵直线与反比例函数的图象交，两点，∴，∴，，∴，，∵点在反比例函数上，∴∴