河北省邯郸市魏县六校2025-2026学年高二数学上学期12月联考试题含解析

河北省邯郸市魏县六校2025-2026学年高二上学期12月联考

数学试题

一、单选题

1．直线9x8y50的斜率为（）

9898

A．B．C．D．

8989

2．已知空间中三点A2,1,1,B1,1,2,Cm,1,3共线，则m（）

A．2B．0C．1D．-1

2121

3．已知数列1,,,,,......，则该数列的一个通项公式为（）

2244

n1

22n

A．aB．n1

nan(1)n

22

n1

(2)n12

C．n1D．a

an(1)n

n2

4．若直线2x4y10与mx2y40互相垂直，则m（）

A．1B．4C．4D．1

x2y2

5．已知双曲线C:1的两个焦点为F1,F2，双曲线C上有一点P，若PF16，则PF2（）

421

A．10B．2C．2或10D．14

6．在四面体OABC中，BG4GC.设OAa,OBb,OCc，则AG（）

1312

A．abcB．abc

4443

1414

C．abcD．abc

5555

7．一条沿直线传播的光线经过点P3,3，且在y轴上的截距为3，然后被直线yx9反射，则反射光

线所在直线的方程为（）

A．x2y90B．x2y120

C．x2y160D．x2y360

8．阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点E,F处的切线交于点M，称MEF为“阿基米德三角

形”.已知抛物线C:x212y的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A,B两点，抛物线C在A,B处的切线

交于点P，则“阿基米德三角形”PAB面积的最小值为（）

A．18B．24C．27D．36

二、多选题

x2y2

9．关于椭圆C:1，下列选项正确的是（）

812

A．椭圆C的长轴长为23

B．椭圆C的一个顶点为22,0

C．椭圆C的焦距为45

3

D．椭圆C的离心率为

3

10．已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（）

A．ac,a,acB．b,ac,ac

C．ab,abc,cD．ac,2ab,bc

11．关于x的方程4x22xb0有唯一解，则b的取值可能是（）

A．4B．1C．25D．5

三、填空题

12．若圆C:(x4)2y2r2r0上到直线l:x3y60的距离为5的点刚好有3个，则r，

直线l被圆C截得的弦长为.

13．已知向量a9,9,6，b1,1,0，则向量a在向量b上的投影向量的模为.

14．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.

3

22

222

xy22x0y0

已知椭圆C:1ab0上点Px0,y0处的曲率半径公式为.若椭圆C上所有

22Rab44

abab

928

点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆C的标准方程为.

43

四、解答题

15．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3,AD4,AA16.

(1)求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值；

(2)求C1到平面A1BD的距离；

(3)求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值.

16．已知动点M到点0,4的距离比它到直线y60的距离小2，记动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知直线l交曲线C于E,F两点，且EF的中点为3,2，求直线l的方程.

17．已知Sn是等差数列an的前n项和，S330,S642.

(1)求an的通项公式；

(2)求Sn的最值；

S

(3)设bn，求数列b的前20项和.

nnn

18．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AB2，ADAP4，平面PAB和平面PAD都垂

直于平面ABCD，E，F分别为PA，AB的中点，直线AC与DF相交于O点.

(1)证明：PB∥平面DEF.

(2)判断OE与BD是否垂直，并说明理由.

(3)求平面DEF与平面PCD夹角的余弦值.

22

xy21

19．已知双曲线C:1a0,b0的离心率为，虚半轴长为22．

a2b23

(1)求双曲线C的方程．

(2)过双曲线C上一点R作两条渐近线的垂线，垂足分别为G,H，证明：RGRH为定值．

(3)已知坐标原点为O，定点P3,2,M,N为双曲线C上两个不重合的动点，直线PM，PN分别与y轴交

于点E,F，点Q在直线MN上，OEOF0且PQMN.试问是否存在定点T，使得QT为定值？若存在，

求出该定点T和QT；若不存在，请说明理由．

1．A

利用直线的斜率公式计算即可.

959

【详解】由题意可知直线9x8y50可化为yx，则其斜率为.

888

故选：A

2．B

由A,B,C三点共线可得AB//BC，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可.

【详解】因为A,B,C三点共线，所以AB//BC，

1

因为AB1,0,1,BCm1,0,1，所以1，解得m0.

m1

故选：B

3．D

根据题意中一组数的规律归纳出数列的通项公式即可.

【详解】将数据代入各个选项中，验证可知，

n1

2

该数列的一个通项公式为.

an

2

故选：D.

4．C

根据两直线垂直的充要条件列式求解.

【详解】由题意知2m420，所以m4.

故选：C.

5．A

根据双曲线的定义求解即可.

x2y2

【详解】因为双曲线C:1，

421

所以a24,b221，故c2a2b225，即c5，

由双曲线的定义知，PF1PF26PF22a4，

所以PF210或PF22，

当PF22时，PF1PF262F1F210,不合题意，舍去.

故PF210.

故选：A

6．C

利用空间向量的运算进行求解即可.

414

【详解】AGOGOAOBBGOAOBBCOAabc.

555

故选：C

7．B

求出入射点坐标，以及P关于直线yx9对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光

线所在直线方程．

y3x3

【详解】入射光线所在直线的方程为，即2xy30，

3303

xy90x2

由解得，即入射点的坐标为2,7，

2xy30y7

设P关于直线yx9对称的点为Pa,b，

a3b3

90

22a12

则，解得，即P12,12，

b3

1b12

a3

1271

因为反射光线所在直线经过入射点和P点，所以反射光线所在直线的斜率为，

1222

1

所以反射光线所在直线的方程为y7x2，即x2y120．

2

故选：B．

8．D

设出直线l的方程及Px0,y0，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线PA的方程，与抛

物线方程联立，利用根的判别式得到方程，求出PA的方程，同理可得PB的方程，联立PA与PB的方程可

xxxx

得x126k,y123，求出AB的中点M的坐标，得到P,M两点横坐标相同，不妨设

02012

2

x2x3

，求出12，由基本不等式求出面积最小值.

x10,x20SPABx1x2PAB

482

【详解】抛物线C的焦点为F0,3，准线方程为y=3.显然直线l的斜率存在，

22

x1x2

设直线l的方程为ykx3,Ax1,,Bx2,,Px0,y0，

1212

2

x12y,2

由得x12kx360，则x1x212k,x1x236.

ykx3,

x2

设直线PA的方程为y1kxx，

1211

x212y,

222

由x得x12k1x12k1x1x10.

y1kxx,

1211

222

因为直线PA与抛物线C相切，所以Δ12k1412k1x1x146k1x10，

22

x1x1x1x2x2

所以k1，即直线PA的方程为yx.同理直线PB的方程为yx，

6612612

xx2xx2xxxx

联立y1x1与y2x2可得x12，y12，

612612212

xxxx

又xx12k,xx36，所以x126k,y123.

121202012

xxx2x2

设AB的中点为M，则M的坐标为12,12.

224

故P,M两点横坐标相同，即PM与y轴平行，

不妨设x10,x20，

22

11x1x2

所以SPABPMx1x23x1x2

2224

2

x2x32xx3

1212

x1x22x1x236，

482482

当且仅当x1x26时，等号成立，所以PAB面积的最小值为36.

故选：D

9．BD

根据椭圆的方程可得a，b的值，即可判断A、B的正误，根据a，b，c的关系，可得c值，即可判断C、D

的正误.

【详解】由椭圆的方程可得a212,b28，所以a23,b22，

所以椭圆C的长轴长为2a43，故A错误；

短轴端点为(22,0)，则一个顶点为22,0，故B正确；

因为ca2b22，所以椭圆C的焦距为2c4，故C错误；

c23

离心率为，故D正确.

a233

故选：BD

10．BD

根据基底的概念，以及空间向量的共面定理，可得答案.

1

【详解】因为aacac，所以ac,a,ac共面，故A不符合题意；

2

因为方程bxacyac，化简可得bxyaxyc，

由题意易知方程无解，所以b,ac,ac不共面，故B符合题意；

因为abcabc，所以ab,abc,c共面，故C不符合题意；

因为方程acx2abybc，化简可得2x1ayxb1yc0，

2x10

由题意可得yx0，易知该方程组无解，所以ac,2ab,bc不共面，故D符合题意.

1y0

故选：BD.

11．ABC

由题意转化为函数y4x2与y2xb图象只有一个公共点，数形结合求解即可.

【详解】关于x的方程4x22xb有唯一解，

即曲线y4x2（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线y2xb有唯一公共点，如图，

当直线y2xb经过点2,0时，b4；

当直线y2xb经过点2,0时，b4.

b

若直线y2xb与曲线y4x2相切，则2，得b25，

5

数形结合可知，b的取值范围是4,425.

故选：ABC

12．10103

先求出圆心C到直线l的距离d5，由题意，分析可得r10，代入弦长公式，即可得答案.

【详解】由题意，圆心C(4,0)，

46

则圆心C到直线l的距离d5，

13

因为圆C上到直线l的距离为5的点有且仅有3个，所以r10，

则直线l被圆C截得的弦长为210252103.

故答案为：10；103

13．92

利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解.

【详解】因为向量a9,9,6，b1,1,0，

bab

acosa,bb9b

所以向量a在向量b上的投影向量2，其模为9b92.

bb

故答案为：92

x2y2

14．1

98

222222x2y211

x0y0x0y01cx02200

根据题意得1，进而，再根据x00,a得,，进而得

a2b2a4b4b2a4b2a4b4a2b2

b2a2

R,，所以可得曲率半径的最大值与最小值，列方程组确定a,b的值，从而得椭圆的方程.

ab

22x2

x0y0220

【详解】因为点P在椭圆上，则1，即y0b12，

a2b2a

2

2b2

222bx22222

xyx20x111xx11cx

所以000a02000，

44444222x02222242

ababababaabbbab

22

因为x00,a，

22322

22

x0y011xy211ba

所以,，则00，所以R,，

4422443,3

ababababab

a292b28

则R，R，所以a3,b22，

maxb4mina3

x2y2

故椭圆C的标准方程为1.

98

x2y2

故答案为：1.

98

15．(1)9305

305

(2)2429

29

(3)8145.

145

（1）建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由异面直线对应向量的数量积求得异面直线的夹角的

余弦值；

（2）设平面A1BD的法向量，利用向量的数量积求得平面法向量，然后利用向量的投影求得点到面的距离；

（3）由直线AB1的方向向量和平面法向量，利用向量的数量积求得线面角的正弦值.

【详解】（1）以A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Axyz，

则B3,0,0,D0,4,0,A10,0,6,B13,0,6,C13,4,6,AB13,0,6，

AC13,4,6,BD3,4,0,A1B3,0,6,BC10,4,6.

因为AC13,4,6,A1B3,0,6，

AC1A1B279305

所以cosAC1,A1B，

AC1A1B6135305

9305

即异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.

305

（2）设平面A1BD的法向量为nx,y,z，

nBD3x4y0

则，令x4，得n4,3,2.

nA1B3x6z0

BCn

设到平面的距离为，则1242429，

C1A1BDdd

n2929

2429

即C1到平面A1BD的距离为.

29

（3）设直线AB1与平面A1BD所成的角为，

ABn248145

π1

∵0,，∴sincosAB1,n，

2AB1n3529145

8145

即直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值为.

145

16．(1)x216y

(2)3x8y70

（1）由题意可得动点M到点0,4的距离与它到直线y4的距离相等，进而利用抛物线的定义计算即可；

（2）利用点差法结合点斜式计算即可.

【详解】（1）由题意知，动点M到点0,4的距离比它到直线y60的距离小2，

则动点M到点0,4的距离与它到直线y4的距离相等，

则动点M的轨迹是以0,4为焦点，y4为准线的抛物线，

所以曲线C的方程为x216y.

（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k,Ex1,y1,Fx2,y2，

x216yyyxx

则11，两式相减得x2x216yy，整理得1212，

21212

x216y2x1x216

因为EF的中点为3,2，所以x1x26,y1y24，

yyxx63

则k1212，

x1x216168

3

所以直线l的方程为y2x3，即3x8y70.

8

7

又直线3x8y70过点0,，故直线3x8y70与抛物线相交，满足条件.

8

17．(1)an2n14

(2)最小值为-42，无最大值.

(3)106

（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案；

（2）根据通项公式的特点可求最小值，没有最大值；

（3）先求出bn的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案.

【详解】（1）设数列an的首项为a1，公差为d，

S3a3d30,

则31

S66a115d42,

解得a112,d2，

故an的通项公式为an122n12n14.

（2）因为a10,d0，所以an单调递增.

因为a70，所以Sn的最小值为S6S742，无最大值.

2n1412n

（3）由（1）可知，Snn13，

n2

S

所以bnn13.易知b为等差数列.

nnn

12n13nn25n

设bn的前n项和为Tn，则T，

n22

202520132513

所以数列bn的前20项和为T2T2106.

201322

18．(1)证明见解析

(2)OE与BD不垂直，理由见解析

(3)42.

14

【详解】（1）因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB,ADAB，AD平面ABCD，

所以AD平面PAB，又AP平面PAB，所以ADAP.

同理，AB平面PAD，所以ABAP，所以直线AB,AD,AP两两垂直，

以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B2,0,0,C2,4,0,D0,4,0,P0,0,4,E0,0,2,F1,0,0.

因为EF1,0,2,PB2,0,4，所以PB2EF

因为PB平面DEF,EF平面DEF，所以PB∥平面DEF.

（2）设O2,4,0，因为FO21,4,0,FD1,4,0，

214124

所以，得，所以O,,0.

14333

24

因为OE,,2,BD2,4,0，

33

所以OEBD40，故OE与BD不垂直.

（3）设平面DEF的法向量为mx1,y1,z1，

因为DE0,4,2,DF1,4,0，

DEm4y2z0

所以11，令，得.

x14m4,1,2

DFmx14y10

设平面PCD的法向量为nx2,y2,z2，

CDn2x20

因为CD2,0,0,PD0,4,4，所以，

PDn4y24z20,

令y21，得n0,1,1

mn4242

因为cosm,n，所以平面DEF与平面PCD夹角的余弦值为.

mn1414

x2y2

19．(1)1

68

(2)证明见解析

313

(3)存在T,3，使QT为定值

22

【详解】（1）因为虚半轴长为22，所以b