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文档简介
2025-2026学年高二上学期1月月考
数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知四面体中,,,两两垂直,,,与平面所成的角为,则点
�
到平面的距𝐴离𝐵为(���)�����=2��=23𝐴�𝐵3�
�𝐵
A.B.C.D.
32523239
25313
2.直线经过两条直线和的交点,且与直线垂直,则的
方程是�()3�+4�−5=03�−4�−13=0�+2�+1=0�
A.B.C.D.
2�+�−5=02�−�−7=02�+�+7=02�−�+5=0
3.已知是圆上的动点,以点为圆心,为半径作圆,设圆与圆交于,两
22
点,则下�列点�中:(,�直−线1)+一�定=不4经过()�|��|�����
𝐴
A.B.C.D.
3131112
(4,2)(2,1)(2,2)(2,2)
4.已知椭圆的上顶点为,左顶点为,平行于的直线交椭圆于,两点,
22
��
22
的中点为�:�+,�且=1(�>�>,0)则椭圆的焦�距为(�)�����𝐴
(−2,1)|𝐴|=25�
A.B.C.D.
22422343
5.在图形设计和创作中,常常需要用不同的形状和线条进行组合,以创造出独特的视觉效果某校数学兴趣
小组设计了一个如图所示的“螺旋线”:点,在直线上,是边长为的等边三.角形,
⌢
11111
���△���112
是以点为圆心,为半径的圆弧,是以点为圆心,为半径的圆弧,是以点为圆�心�,
⌢⌢
1111121
���22���22�
为半径的圆弧,是以点为圆�心�,为半径的圆弧,,依次类推其中点��,,,,
⌢
121121123
共�线�,点,,�,2�3,共线�,点,�,�,,共线…由上述圆弧组(成的曲�线与�直线�恰�有…
�1�1�2�3…�1�1�2�3…).��9
个交点时,曲线长度的最小值为
�
A.B.C.D.
30�44�52�70�
6.在数列中,若,则()
�222
{��}�1+�2+…+��=2−1� 1+� 2+…+� �=
A.B.C.D.
�21�1��
(2−1)3(4−1)3(2−1)4−1
7.抛物线有这样的光学性质:沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线,经抛物线反射后,光线一定经
过抛物线的焦点已知从点沿平行于轴的方向射入一条光线,经抛物线反射后交
2
抛物线于另外一.点,则�点(�的,6纵)(�坐标>为9)(�)�:�=4�
���
A.B.C.D.
24
−3−1−3−2
8.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点为端点的三条棱长均为,且
它们彼此的夹角都是,下列说法中正确𝐴的�是�(−�1�1�1�)1�6
60°
A.B.平面
��1=6��⊥���1
C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为
6
� � 1 � � 1 120°��1��16
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.瑞士著名数学家欧拉在年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人
称为三角形的“欧拉线”若1765满足,顶点,,且其“欧拉线”与圆:
2
相切,则下列结论.正确△的𝐴是�(��=�)��(1,0)�(−1,2)�(�−1)+
22
�=�
A.圆上的点到原点的最大距离为
B.圆�上存在三个点到直线1+2的距离为
C.若点�在圆上,则�的−最�−小1值=是02
�
D.若圆(�与,�圆)��+1有公共点−,1则
22
��+(�−�)=2�∈[−3,3]
10.若数列是等差数列,公差为,则下列对数列的判断正确的是()
{��}�{��}
A.若,则数列是等差数列
B.若��=−��,则数列{��}是等差数列
C.若��=�2�,则{�数�}列是公差为的等差数列
D.若��=��+��,+1则数列{�是�}公差为�的等差数列
��=��+�{��}�+1
11.已知双曲线,则下列说法正确的是()
2
2�
�:�−3=1
A.双曲线的顶点到其渐近线的距离为
B.若为�的左焦点,点在上,则满足2的点的轨迹方程为
22
C.若�,�在上,线段�的�中点为,� � 则 =线2段� � 的方�程为(3�+2)−3�=4
D.若�为双�曲�线上任意一𝐴点,则点到2,点2和到�直�线的距2�离−之�比−恒2为=0
1
��2,0�=22
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.南北朝时,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究有一定
的贡献,例如算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四
斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则每一等人比下一等人多
得斤金.
13.已知直线经过点和点,直线经过点和点,若与没有公共点,则
4
1212
实数的值为��(0,−1)�.−�,1��(1,1)�(0,−2)��
�
14.双曲线右焦点为,点,在双曲线上,且关于原点对称.若,则的面积为
2
2�
____.�−4=1������⊥��△���
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
(13)
已知等差数列的前项和为,数列满足,.
�����,�3=7,�6=48��2��+1=��+2�1=3
证明:数列是等比数列,并求数列与数列的通项公式;
(1)��−2����
若,求数列的前项和.
(2)��=����−2�����
16.本小题分
(15)
已知三点,,在圆上
134
(1,0)(2,1)5,−5�.
求圆的标准方程;
(1)�
过原点的动直线与圆相交于,两点,求线段的中点的轨迹的方程;
(2)�����𝐴��
在的条件下,若过点的直线与曲线有两个交点,求直线的斜率的取值范围.
5
(3)(2)2,0���
17.本小题分
(15)
如图,四棱锥的底面为菱形且,底面,,,为的中
∘
点.�−𝐴𝐵∠�𝐵=60��⊥𝐴𝐵𝐴=2��=23���
求二面角平面角的正切值;
(1)�−𝐵−�
在线段上是否存在一点,使平面成立如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.
(2)�����⊥𝐴���
18.本小题分
(17)
古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积
已知椭圆的中心为坐标原点,焦点,均在轴上,面积为,�点在椭圆上.
3
��1�2�2�1,2�.
求椭圆的标准方程;
(1)�
经过点的直线与曲线交于,两点,与椭圆的面积比为,求直线的方程.
2
(2)�−1,0����▵�𝐴�5��
19.本小题分
(17)
已知双曲线的标准方程为,的左右顶点分别为,,右焦点,离心率
22
��
22
.��−�=1(�>0,�>0)����5,0�=
5
求双曲线的方程及其渐近线方程;
(1)�
过圆上的点作圆的切线,交双曲线于,两点,点为弦的中点,证明:
2
22�
002
(2)�:�+.�=3��,���������
|��|=2|��|
答案
1.
�
2.
�
3.
�
4.
�
5.
�
6.
�
7.
�
8.
�
9.
��
10.
𝐴�
11.
��
12.
7
78
13.
−6
14.
4
15.【解】11,
��+1−22��+1−22(��−2)1
(1)��−2=��−2=��−2=2
所以数列是公比的等比数列;
1
{��−2}�=2
,
1�−11�−1
��−2=(�1−2)(2)=(2)
即,,
1�−1
�
设等�差=数(2列)+的2公差�为∈�,,�⩾1
�
由��,解得,,
31
�=�+26�×=57
�1=3�=2
�6=6�1+2�=48
所以;
�1
由�=知�+(�−1)�=2�+1,
1�−1
(2)(1)��=��(��−2)=(2�+1)(2)
所以,
1011121�−21�−1
��=3×(2)+5×(2)+7×(2)+⋯+(2�−1)×(2)+(2�+1)×(2) ①
,
11112131�−11�
�
2�=3×得(2)+5×(2)+7×(2)+⋯+(2�−1)×(2)+(2�+1)×(2) ②
①− ②
11112131�−11�
��=3+2[()+()+()+⋯+()]−(2�+1)()
222222
11�−1,
21−21�1�
1
=3+2×1−2−2�+12=5−2�+52
所以.
1�−1
��=10−(2�+5)(2)
16.【解】设圆的一般方程为,有
�+�+1=0
22
(1)��+�+��+��+�=0123�+�4+�+5=370,
5�−5�+�+5=0
解得
�=−4
�=0,
可得圆�=的3一般方程为,
22
可得圆的�标准方程为�+�−4�+3.=0
22
设直线的方程为(�−2,)点+�、=的1坐标为,,点的坐标为,
1122
若(2)直线与圆�相交,�有=���,解�得(�,�),(�,�)�(�,�)
2�33
2
���+1<1−3<�<3
联立方程,消去后整理为,
22
�+�−4�+3=022
�(�+1)�−4�+3=0
由�=��,
44�
22
�1+�2=�+1,�1+�2=�(�1+�2)=�+1
可得点的横坐标和纵坐标分别为,两式相除可得,
22��
22
代点的�横坐标有,整理为�=�+1,�=�+1,有�=�.
22222
�2
��=�2+1�+�−2�=0(�−1)+�=1
又由,有,
3332
2
−3<�<32<�+1⩽2
综上知点的轨迹的方程为.
223
��(�−1)+�=1(2<�⩽2)
设直线的方程为,整理得,
'5''
当(3)直线与�圆�=�(�−相2)切时,有2��−2�,−解5�得=0,
''
222�−5�'25
�(�−1)+�=1'2=1�=±5
4�+4
将代入圆的方程,有,解得,
322123
�=2(�−1)+�=14+�=1�=±2
两点所在直线的斜率为3,
5332−03
35
(2,0),(2,2)2−2=−2
由可知轨迹为以点为圆心,为半径的圆在的一部分,
223
(2)�(1,0)1(�−1)+�=12<�⩽2
若直线与轨迹有两个交点,可得直线的斜率的取值范围为
253325
���(−5,−2)∪(2,5).
17.【解】连结对角线、相交于点,连结、,则根据中位线性质得到,
平面,�����������//��
∵��⊥平面𝐴𝐵,,
1
∴底��面⊥是菱形𝐴𝐵,��=2��=3
∵以为原点,𝐴𝐵、、分别为,,轴建立空间直角坐标系.
∴��,�𝐴,���,��,,,,,
∵∠�𝐵=60,°𝐴=2�,�=23∴,��=2��=,23∴�(0,0,0)�(3,0,0)�(0,1,0)
�(−3,0,0),�(0,−1,0)�(0,0,3,)�(3,0,23),,
� � 设=二0面,1,角3� � =的−平面3,角−为1,0,� 是 � 锐=角2,3,0,23� � =(0,0,3)
(1)等于法�向−量𝐵夹−角�余弦的绝对值�,平�面的法向量为,设平面的法向量为,
∴𝑐��,取�,�得�到� � �𝐵 � =(�,�,�)
� � · � =0−3�−�=0
∴,∴�=3 � =(−1,3,−1)
� � ·﹤ � =0﹥�+3�=0,
� � · � −35
∴∣cos � ,� � ∣= � � � =3×5=5
即,,,
525
故二𝑐面��角=5∴𝑠��的=平面5角∴正�切��值�是=2.
设上�存−在𝐵点−�使得平面,2则有,
(2)��,设���⊥,𝐴���⊥��,
∴� � ·� � =0� � =�� � ∴� � =�23,0,23=23�,0,23�
,
∵� � =� � +� � +� � =0,−1,0+−3,0,0+23�,0,23�
=(23�−3,−1,23�),
∴23,23�−3+0+23×23�=0,
111226
∴此�时=4∴��,=而4��=4平×面2,3+0平+面23,=2
∵��⊥,����⊥,��,���⊂平面���平面.
∴��⊥����∩��=�����⊂𝐴�.∴��⊥𝐴�
故当时,能使得平面.
6
��=2��⊥𝐴�
18.【解】设椭圆的方程为:,
22
��
22
(1)��+�=1(�>�>0)
因为椭圆的面积为,点在椭圆上,
3
2�1,2�
所以解得:,
���=32�
14
22,�=2,�=1
�+�=1
所以椭圆的标准方程为:;
2
�2
�4+�=1
因为经过点的直线与曲线交于,两点,
(2)�−1,0����
当直线的斜率不存在时,,
33
��−1,2,�−1,−2
此时,
13
�▵�𝐴=2×1×3=2
因为与椭圆的面积比为,
2
▵�𝐴�5�
但3,即直线斜率存在,
22
2�≠5�
不妨设直线的方程为,
��=��+1
联立
�2=��+1
�2,
消得:4+�=1,
2222
�4�+1�+8��+4�−4=0
不妨设,
1122
则��,�,��,�,
2
−8�4�−4
22
�1+�2=1+4�,�1⋅�2=1+4�
因为
1212
�+�=�(�+1)+,�(�+1)
2�
2
=�(�1+�2)+2�=1+4�
1212,
�⋅�=�(�+1)⋅�(�+1)2
−3�
22
=�(�1�2+�1+�2+1)=1+4�
所以
1
�△�𝐴=2×1×|�1−�2|
12
=(�1+�2)−4�1⋅�2
2
,
22
14�12�
222
=21+4�+1+4�
因为与椭圆的面积比为,
2
▵�𝐴�5�
14�212�2
所以22+2,
1+4�21+4�
2
2�=5�
化简得,
42
3�+�4
42
16�+8�+1=25
所以,
42
即11�−7�−4=0,
22
11�+7�−1=0
解得:,
所以直线�=的±方1程为或,
��=�+1�=−�−1
故直线的方程为或.
��−�+1=0�+�+1=0
19.【解】由焦点
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