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文档简介

2025-2026学年高二上学期1月月考

数学试题

一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知四面体中,,,两两垂直,,,与平面所成的角为,则点

到平面的距𝐴离𝐵为(���)�����=2��=23𝐴�𝐵3�

�𝐵

A.B.C.D.

32523239

25313

2.直线经过两条直线和的交点,且与直线垂直,则的

方程是�()3�+4�−5=03�−4�−13=0�+2�+1=0�

A.B.C.D.

2�+�−5=02�−�−7=02�+�+7=02�−�+5=0

3.已知是圆上的动点,以点为圆心,为半径作圆,设圆与圆交于,两

22

点,则下�列点�中:(,�直−线1)+一�定=不4经过()�|��|�����

𝐴

A.B.C.D.

3131112

(4,2)(2,1)(2,2)(2,2)

4.已知椭圆的上顶点为,左顶点为,平行于的直线交椭圆于,两点,

22

��

22

的中点为�:�+,�且=1(�>�>,0)则椭圆的焦�距为(�)�����𝐴

(−2,1)|𝐴|=25�

A.B.C.D.

22422343

5.在图形设计和创作中,常常需要用不同的形状和线条进行组合,以创造出独特的视觉效果某校数学兴趣

小组设计了一个如图所示的“螺旋线”:点,在直线上,是边长为的等边三.角形,

11111

���△���112

是以点为圆心,为半径的圆弧,是以点为圆心,为半径的圆弧,是以点为圆�心�,

⌢⌢

1111121

���22���22�

为半径的圆弧,是以点为圆�心�,为半径的圆弧,,依次类推其中点��,,,,

121121123

共�线�,点,,�,2�3,共线�,点,�,�,,共线…由上述圆弧组(成的曲�线与�直线�恰�有…

�1�1�2�3…�1�1�2�3…).��9

个交点时,曲线长度的最小值为

A.B.C.D.

30�44�52�70�

6.在数列中,若,则()

�222

{��}�1+�2+…+��=2−1� 1+� 2+…+� �=

A.B.C.D.

�21�1��

(2−1)3(4−1)3(2−1)4−1

7.抛物线有这样的光学性质:沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线,经抛物线反射后,光线一定经

过抛物线的焦点已知从点沿平行于轴的方向射入一条光线,经抛物线反射后交

2

抛物线于另外一.点,则�点(�的,6纵)(�坐标>为9)(�)�:�=4�

���

A.B.C.D.

24

−3−1−3−2

8.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点为端点的三条棱长均为,且

它们彼此的夹角都是,下列说法中正确𝐴的�是�(−�1�1�1�)1�6

60°

A.B.平面

��1=6��⊥���1

C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为​

6

��1��1120°��1��16

二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

9.瑞士著名数学家欧拉在年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人

称为三角形的“欧拉线”若1765满足,顶点,,且其“欧拉线”与圆:

2

相切,则下列结论.正确△的𝐴是�(��=�)��(1,0)�(−1,2)�(�−1)+

22

�=�

A.圆上的点到原点的最大距离为

B.圆�上存在三个点到直线1+2的距离为

C.若点�在圆上,则�的−最�−小1值=是02

D.若圆(�与,�圆)��+1有公共点−,1则

22

��+(�−�)=2�∈[−3,3]

10.若数列是等差数列,公差为,则下列对数列的判断正确的是()

{��}�{��}

A.若,则数列是等差数列

B.若��=−��,则数列{��}是等差数列

C.若��=�2�,则{�数�}列是公差为的等差数列

D.若��=��+��,+1则数列{�是�}公差为�的等差数列

��=��+�{��}�+1

11.已知双曲线,则下列说法正确的是()

2

2�

�:�−3=1

A.双曲线的顶点到其渐近线的距离为

B.若为�的左焦点,点在上,则满足2的点的轨迹方程为

22

C.若�,�在上,线段�的�中点为,��则=线2段��的方�程为(3�+2)−3�=4

D.若�为双�曲�线上任意一𝐴点,则点到2,点2和到�直�线的距2�离−之�比−恒2为=0

1

��2,0�=22

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.南北朝时,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究有一定

的贡献,例如算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四

斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则每一等人比下一等人多

得斤金.

13.已知直线经过点和点,直线经过点和点,若与没有公共点,则

4

1212

实数的值为��(0,−1)�.−�,1��(1,1)�(0,−2)��

14.双曲线右焦点为,点,在双曲线上,且关于原点对称.若,则的面积为

2

2�

____.�−4=1������⊥��△���

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15.本小题分

(13)

已知等差数列的前项和为,数列满足,.

�����,�3=7,�6=48��2��+1=��+2�1=3

证明:数列是等比数列,并求数列与数列的通项公式;

(1)��−2����

若,求数列的前项和.

(2)��=����−2�����

16.本小题分

(15)

已知三点,,在圆上

134

(1,0)(2,1)5,−5�.

求圆的标准方程;

(1)�

过原点的动直线与圆相交于,两点,求线段的中点的轨迹的方程;

(2)�����𝐴��

在的条件下,若过点的直线与曲线有两个交点,求直线的斜率的取值范围.

5

(3)(2)2,0���

17.本小题分

(15)

如图,四棱锥的底面为菱形且,底面,,,为的中

点.�−𝐴𝐵∠�𝐵=60��⊥𝐴𝐵𝐴=2��=23���

求二面角平面角的正切值;

(1)�−𝐵−�

在线段上是否存在一点,使平面成立如果存在,求出的长;如果不存在,请说明理由.

(2)�����⊥𝐴���

18.本小题分

(17)

古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积

已知椭圆的中心为坐标原点,焦点,均在轴上,面积为,�点在椭圆上.

3

��1�2�2�1,2�.

求椭圆的标准方程;

(1)�

经过点的直线与曲线交于,两点,与椭圆的面积比为,求直线的方程.

2

(2)�−1,0����▵�𝐴�5��

19.本小题分

(17)

已知双曲线的标准方程为,的左右顶点分别为,,右焦点,离心率

22

��

22

.��−�=1(�>0,�>0)����5,0�=

5

求双曲线的方程及其渐近线方程;

(1)�

过圆上的点作圆的切线,交双曲线于,两点,点为弦的中点,证明:

2

22�

002

(2)�:�+.�=3��,���������

|��|=2|��|

答案

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

��

10.

𝐴�

11.

��

12.

7

78

13.

−6

14.

4

15.【解】11,

��+1−22��+1−22(��−2)1

(1)��−2=��−2=��−2=2

所以数列是公比的等比数列;

1

{��−2}�=2

1�−11�−1

��−2=(�1−2)(2)=(2)

即,,

1�−1

设等�差=数(2列)+的2公差�为∈�,,�⩾1

由��,解得,,

31

�=�+26�×=57

�1=3�=2

�6=6�1+2�=48

所以;

�1

由�=知�+(�−1)�=2�+1,

1�−1

(2)(1)��=��(��−2)=(2�+1)(2)

所以,

1011121�−21�−1

��=3×(2)+5×(2)+7×(2)+⋯+(2�−1)×(2)+(2�+1)×(2) ①

11112131�−11�

2�=3×得(2)+5×(2)+7×(2)+⋯+(2�−1)×(2)+(2�+1)×(2) ②

 ①− ②

11112131�−11�

��=3+2[()+()+()+⋯+()]−(2�+1)()

222222

11�−1,

21−21�1�

1

=3+2×1−2−2�+12=5−2�+52

所以.

1�−1

��=10−(2�+5)(2)

16.【解】设圆的一般方程为,有

�+�+1=0

22

(1)��+�+��+��+�=0123�+�4+�+5=370,

5�−5�+�+5=0

解得

�=−4

�=0,

可得圆�=的3一般方程为,

22

可得圆的�标准方程为�+�−4�+3.=0

22

设直线的方程为(�−2,)点+�、=的1坐标为,,点的坐标为,

1122

若(2)直线与圆�相交,�有=���,解�得(�,�),(�,�)�(�,�)

2�33

2

���+1<1−3<�<3

联立方程,消去后整理为,

22

�+�−4�+3=022

�(�+1)�−4�+3=0

由�=��,

44�

22

�1+�2=�+1,�1+�2=�(�1+�2)=�+1

可得点的横坐标和纵坐标分别为,两式相除可得,

22��

22

代点的�横坐标有,整理为�=�+1,�=�+1,有�=�.

22222

�2

��=�2+1�+�−2�=0(�−1)+�=1

又由,有,

3332

2

−3<�<32<�+1⩽2

综上知点的轨迹的方程为.

223

��(�−1)+�=1(2<�⩽2)

设直线的方程为,整理得,

'5''

当(3)直线与�圆�=�(�−相2)切时,有2��−2�,−解5�得=0,

''

222�−5�'25

�(�−1)+�=1'2=1�=±5

4�+4

将代入圆的方程,有,解得,

322123

�=2(�−1)+�=14+�=1�=±2

两点所在直线的斜率为3,

5332−03

35

(2,0),(2,2)2−2=−2

由可知轨迹为以点为圆心,为半径的圆在的一部分,

223

(2)�(1,0)1(�−1)+�=12<�⩽2

若直线与轨迹有两个交点,可得直线的斜率的取值范围为

253325

���(−5,−2)∪(2,5).

17.【解】连结对角线、相交于点,连结、,则根据中位线性质得到,

平面,�����������/​/��

∵��⊥平面𝐴𝐵,,

1

∴底��面⊥是菱形𝐴𝐵,��=2��=3

∵以为原点,𝐴𝐵、、分别为,,轴建立空间直角坐标系.

∴��,�𝐴,���,��,,,,,

∵∠�𝐵=60,°𝐴=2�,�=23∴,��=2��=,23∴�(0,0,0)�(3,0,0)�(0,1,0)

�(−3,0,0),�(0,−1,0)�(0,0,3,)�(3,0,23),,

��设=二0面,1,角3��=的−平面3,角−为1,0,�是�锐=角2,3,0,23��=(0,0,3)

(1)等于法�向−量𝐵夹−角�余弦的绝对值�,平�面的法向量为,设平面的法向量为,

∴𝑐��,取�,�得�到���𝐵�=(�,�,�)

��·�=0−3�−�=0

∴,∴�=3�=(−1,3,−1)

��·﹤�=0﹥�+3�=0,

��·�−35

∴∣cos�,��∣=���=3×5=5

即,,,

525

故二𝑐面��角=5∴𝑠��的=平面5角∴正�切��值�是=2.

设上�存−在𝐵点−�使得平面,2则有,

(2)��,设���⊥,𝐴���⊥��,

∴��·��=0��=���∴��=�23,0,23=23�,0,23�

∵��=��+��+��=0,−1,0+−3,0,0+23�,0,23�

=(23�−3,−1,23�),

∴23,23�−3+0+23×23�=0,

111226

∴此�时=4∴��,=而4��=4平×面2,3+0平+面23,=2

∵��⊥,����⊥,��,���⊂平面���平面.

∴��⊥����∩��=�����⊂𝐴�.∴��⊥𝐴�

故当时,能使得平面.

6

��=2��⊥𝐴�

18.【解】设椭圆的方程为:,

22

��

22

(1)��+�=1(�>�>0)

因为椭圆的面积为,点在椭圆上,

3

2�1,2�

所以解得:,

���=32�

14

22,�=2,�=1

�+�=1

所以椭圆的标准方程为:;

2

�2

�4+�=1

因为经过点的直线与曲线交于,两点,

(2)�−1,0����

当直线的斜率不存在时,,

33

��−1,2,�−1,−2

此时,

13

�▵�𝐴=2×1×3=2

因为与椭圆的面积比为,

2

▵�𝐴�5�

但3,即直线斜率存在,

22

2�≠5�

不妨设直线的方程为,

��=��+1

联立

�2=��+1

�2,

消得:4+�=1,

2222

�4�+1�+8��+4�−4=0

不妨设,

1122

则��,�,��,�,

2

−8�4�−4

22

�1+�2=1+4�,�1⋅�2=1+4�

因为

1212

�+�=�(�+1)+,�(�+1)

2�

2

=�(�1+�2)+2�=1+4�

1212,

�⋅�=�(�+1)⋅�(�+1)2

−3�

22

=�(�1�2+�1+�2+1)=1+4�

所以

1

�△�𝐴=2×1×|�1−�2|

12

=(�1+�2)−4�1⋅�2

2

22

14�12�

222

=21+4�+1+4�

因为与椭圆的面积比为,

2

▵�𝐴�5�

14�212�2

所以22+2,

1+4�21+4�

2

2�=5�

化简得,

42

3�+�4

42

16�+8�+1=25

所以,

42

即11�−7�−4=0,

22

11�+7�−1=0

解得:,

所以直线�=的±方1程为或,

��=�+1�=−�−1

故直线的方程为或.

��−�+1=0�+�+1=0

19.【解】由焦点

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