七年级数学下册65 频数与频率（基础篇）（专项练习）-（浙教版）

专题6.5频数与频率（基础篇）（专项练习）

一、单选题

1.某校对1200名女生的身高进行了测量，身高在1.58~1.6。（单位：m）这一小组的

频率为0.25,则该组的人数为（）

A.250B.300C.600D.9（X）

2.数“20222203”中，数字“2”出现的频率是（）

A.62.5%B.50%C.25%D.12.5%

3.某校举办了消防安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，若成绩在91-100分的为优秀,

则优秀的频率是（）

61-71-81-

成绩/分91-100

708090

人数3212412

A.30%B.35%C.20%D,10%

4.2021年“世界水日”的主题为“珍惜水、爱护水”.小明家安装节水龙头后，他记录了

50天的日用水量数据（单位：n?）,得到频数分布表如表:

日用水量40<¥<0,10.1Sv<0.20.2<¥<0,30.34V0.40.4<x<0.50.5Sv<0.6

频数23520155

在记录的这5（）天中，日用水量小于047的频率为（）A.0.9B.0.6C.0.3

D.0.2

5.在一个样本中，40个数据分别落在5个小组内，第1,2,3,5小组的频数分别是6,

5,15,7,则第4小组的频数是（）

A.7B.8C.9D.10

6.某次数学测验，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图直方图，根据

图示信息描述正确的是（）

人数

B.60.5〜70.5这一分数段的频数为12

C.估计这次测试的及格率（60分为及格）在92%左右

D.估计优秀率（80分以上为优秀）在32%左右

7.生物刘老师对本班50名学生的血型进行了统计，列出如下统计表.则本班O型血的

有（）

血型A型B型AB型O型

频率0.340.30.260.1

A.17人B.15人C.13人D.5人

8.已知一组数据有80个，其中最大值为140,最小值为40,取组距为10,则可分成

）.

A.11组D.9组C.8组D.10组

9.一个有80个样本的数据组中，样本的最大值是145,最小值是50,取组距为10,

那么可以分成（）组.

A.10B.9C.8D.7

10.在频数分布表中，所有频数之和（）

A.是1B.等于所有数据的个数

C.与所有数据的个数无关D.小于所有数据的个数

11.已知在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第一、二、三、四组数据频

数分别为2,8,15,5则第五小组的频数和频率分别是（）

A.25,50%B.20,50%C.20,40%D.25,40%

12.某班统计了该班全体学生60秒内高抬腿的次数，绘制频数分布表:

次60<x<8()80<x<10)100<x<120120，<14014()，vl£0160，vl+0180<x<2C

数

频

1241417134

数

给出以下结论：①组数是6；②组距是20；③全班有55名学生；④高抬腿次数在

120WXV180范围内的学生占全班学生的80%.其中正确结论的个数为（）A.I

B.2C.3D.4

13.郑州市实施垃圾分类以来，为了调动居民参与垃圾分类的积极性，学府小区开展了

垃圾分类积分兑换奖品活动.随机抽取了若干户12月份的积分情况，并对抽取的样本进行

了整理得到下列不完整的统计表：

积分W分频数频率

0Wxv5060.1

50<x<l(X)120.2

100<x<20024a

x>200180.3

根据以上信息可得（）A.a=0.2B.a=0.3

C.a=0.4D.a=0.5

二、填空题

14.期中考试结束后，老师统计了全班40人的数学成绩，这40个数据共分为6组，第1

至第4组的频数分别为10,5,7,6,第5组的频率为0.1,那么第6组的频率是_____.

15.一次数学单元测试后，全班50名学生的成绩被分成5组，笫1一4组的频数分别是

18,10,12,4,则第五组的数率是—.

16.一次跳绳比赛中，200名学生中有50名学生获得了优秀，则优秀人数的频率是

17.2021年12月02日是“世界完全对称日”,人们在数字“20211202”中感受到了对称之

美,下一个“世界完全对称日”将是2030年03月02日.在数字“20211202”中,数字“2”出现

的频率是______.

18.期中考试结束后，老师统计了全班40人的数学成绩，这40个数据共分为6组，第

1至第4组的频数分别为10,5,7,6,第5组的频率为0.1,那么第6组的频率是.

19.某校200名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100,

分数段的频率分布情况如表所示，结合表的信息，可得测试分数在79.5〜89.5分数段的学生

有一名.

分数段59.5〜69.569.5〜79.579.5〜89.589.5〜9g.5

频率0.20.30.2

20.秋季新学期开学，某中学对初一新生掌握“中学生口常行为规范''的情况进行了知识

测试，测试成绩全部合格.现随机抽取了部分学生的成绩制作成如下表格，则〃=,

分数段频数频率

60sx<706Cl

70<.r<8()200.4

80Kx<9015b

9()<x<l(X)c0.18

21.某班女生的体温测试被分成了三组，情况如表所示，则表中〃，的值是

第一组第二组第三组

频数68m

频率Pq30%

22.已知样本25,21,25,21,23,25,27,29,25,28,30,29,26,24,25,27,

27,22,24,26,若组距为2,那么应分为组，在24.5〜26.5这一组的频数是.

23.为了解某校六年级学生的身高情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，统计数据

如表:

组别ABCDE

身高（cm）150Mx<155155<x<160160Mx<165165Mx<170170<x<175

人数（人）4121086

根据表格信息解决下列问题:

（1）在抽样调杳中，身高不低于165cm的频数为：

（2）若该校六年级学生共有2（X）人，可以估计身高不足160cm的人数为

人.

24.某校对八年级600名学生进行视力测试，经统计，视力在4.8~4.6这一小组的频率

为0.25,则该小组人数有人.

25.为了了解七年级女生的跳绳情况，从中随机抽取了50名女生进行Imin跳绳测试

得到了这50名女生的跳绢成绩（单位：次），其中最小值为60,最大值为140,若取组距

为15,则可分为一组.

26.已知一组数据有60个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5,10,6,

7,第五组的频率是0.2,故第六组的频数是.

27.一个容量为100的样本，最大值为142,最小值是60,取组距为10,则可以分为

__________组.

28.某校开展“仄祝中国共产党成立100周年”征文比赛（每位同学限篇），每篇作品

的成绩记为x分（60WXG00）,学校从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并将统计

结果制成下边的统计表.限据统计表可得，表中，"的值为

分数段频数频率

90«xW100220.22

8O£i<90m0.4

70<x<8()300.3

60<x<7080.08

三、解答题

29.为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了“感党恩、听党话、跟党走“党史知识

竞赛活动，七年级(1)班选派部分学生参加了这次活动，班主任龙老师把本班参赛选手的

成绩分为四类进行统计：4：优；B：良；C：中；D：差，并将结果绘制成以下两幅不完整

的统计图，请你根据统计图解答下列问题:

⑴请计算出七年级(1)班参加竞赛活动的人数；

(2)求出在扇形图中，表示“C类”扇形的圆心角度数；

(3)计算出A类男生和。类女生的人数，并将条形统计图补充完整.

30.七(3)班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛，老师将学生的成绩按10分的组

距分段，统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表，并绘制频数分布直方图.

分数段(分)49.5—59559.5—69.569.5—79.579.5—89.589.5—99.5

频数a91()145

频率0.0500.2250.2500.350b

七(3)班・维色奥运”地识克丧成境鼻酸分布直方用

(1)频数分布表中〃=,b=

(2)把频数分布直方图补充完整；

(3)学校设定成绩在69.5分以上的学生将获得•等奖或二等奖，•等奖奖励作业本15

本，二等奖奖励作业本10本，己知这部分学生共获得作业本335本，则一等奖和二等奖各多

少人？

31.某班“红心义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘.规定：顾客购物20元以

上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖

品.下表是此次活动中的一组统计数据:

转动转盘

100200300400500600

的次数n

落在“书

画作品”

60122180232a604

区域的次

数小

落在“书

画作品”

0.60.610.6b0.590.604

区域的频

率m/n

（1）完成上述表格：,b=:

⑵当〃很大时，频率将会接近一个稳定的数值.假如你去转动该转盘一次，你获得“书

画作品”的概率约是一；（结果精确到0.1）

（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作

品”扇形区域的圆心角还要增加多少度以上？

32.某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调杳了他们平均每

天的课外阅读时间，（单位：h）,整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表.

平均每天的课外

组别人数

阅读时间t/h

Az<0.52〃

B0.5</<120

CHI10

D/21.55

平均每天的课外阅读时间扇形统计图

根据图表信息，解答下列问题：

⑴这次被调查的同学共有人，〃=;

(2)扇形统计图中。组所在扇形的圆心角的大小是_____；

(3)该校共1500名学生，请你估计该校学生平均每天课外阅读时间不少于幼的人数.

33.某数学活动小组为了解全县九年级学生在抗新冠病毒疫情期间平均每天居家锻炼时

间，向全县部分学生进行了抽样调查，并将收集到的数据整理成如图的统计图(部分数据未

标出).

时间心人数/人频率

0<Y<101G225.5%

10<A<2013233%

20<A-<30a17.5%

30<A<405914.75%

40V烂50297.25%

50V烂6082%

锻炼时间频数分布直方图

(1)这次抽样调查的学生人数一共有人；

(2)求频数分布表中。的值，并补全频数分布直方图；

(3)若该县有500()名九年级学生，请你估计全县九年级学生平均每天居家锻炼时间不超

过20分钟的有多少人？

34.针对春节期间新型冠状病毒事件，九(I)班学生参加学校举行的“珍惜生命.远离

病毒”知识竞赛初赛，赛后班长对成绩进行分析，制作如下的频数分布表、频数分布直方图

和扇形统计图(未完成).

类别分数段频数(人数)

460<x<70a

B704<8016

C80<r<9024

D90夕VI006

频数分布直方图

请根据以上统计图表解答下列问题：

(1)该班总人数为;

(2)频数分布表中a=；

(3)扇形统计图中，类别8所在扇形的圆心角是.

(4)全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩(900<100范围内)的学生有多

少人？

参考答案

1.B

【分析】

根据频率=频数：总数，得频数=总数X频率.

解：根据题意，得

该组的人数为1200X0.25=300（人）.

故选：B.

【点拨】本题考查了频率的计算公式，其中理解公式和对公式的灵活运用是关键.

2.A

【分析】

根据频率=频数9总数进行求解即可

解：•・•一共有8个数字，数字2出现了5次，

/.数字2出现的频率为5+8xl00%=62.5%,

故选A.

【点拨】本题主要考查了求频率，熟知频率=频数-总数是解题的关键.

3.C

【分析】

根据频率的定义求解即可.

19

解：优秀的频率;词丽T2。％

故选：C.

【点拨】本题考查了频数与频率，解题的关键是理解频率的定义.

4.B

【分析】

根据频率二频数：总数即可得到答案.

解：由题意得日用水量小于0.4m3的频率、os,

2+3+S+20+15+5

故选B.

【点拨】本题主要考查了求频数，熟知频率=频数工总数是解题的关键.

5.A

【分析】

每组的数据个数就是每组的频数，40减去第I,2,3,5小组数据的个数就是第4组的

频数.

解：第4小组的频数是4（）-（6+5+15+7）=7,

故选：A.

【点拨】本题考查频数和频率的知识，注意掌握每个小组的频数等于数据总数减去其余

小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和.

6.C

【分析】

根据表中提供的数据和及格率、优秀率的计算方法，分别进行计算，即可找出描述不正

确的选项.

解：A、抽样的学生共有：4+10+18+12+6=50人，故本选项错误，不符合题意；

B、60.5〜70.5这一分数段的频数为10,故本选项错误，不符合题意.

C、这次测试的及格率是：l0+l^12+6xl00%=92%,故本选项正确，符合题意;

D、优秀率（80分以上）是：^^xlOO%=36%,故本选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点拨】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图

获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

7.D

【分析】

频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）.即频率=频数;总数一

般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率.频率反映了

各组频数的大小在总数中所占的分量.

解：本班O型血的有50x0.1=5（人），

故选D.

【点拨】本题考查了频率与频数，正确理解频率频数的意义是解题的关键.

8.A

【分析】

据组数二（最大值-最小值）;组距计算即可得解，注意小数部分要进位.

解：由组数=（最大值-最小值）：组距可得：

组数=（140-40）4-10+1=11,

故选择：A

【点拨】本题考查的是组数的计算，属于基础题，只要根据组数的定义”数据分成的组

的个数称为组数”来解即可.

9.A

【分析】

求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数.

解：145-50:95,

95X0=9.5,

所以应该分成10组.

故选A.

【点拨】本题考查频率分布表中组数的确定，关犍是求出最大值和最小值的差，然后除

以组距，用进一法取整数值就是组数.

10.B

【分析】

根据频数与频率的关系，审清题意频数之和等于所有数据的个数，频率之和等于1，即

可得解.

解：A.频数分布表中，所有频率之和是1,故选项A不正确：

/工频数之和等于所有数据的个数，故选项3正确；

C.在频数分布表中，所有频数之和与所有数据的个数有关，故选项。不正

确；

D.在频数分布表中，所有频数之和等于所有数据的个数，故选项。不正确.

故选择B.

【点拨】本题考查频数分布表中的频数与频率问题，频数之和等于总数，频率之用等于

1，注意区分是解题关键.

11.C

【分析】

根据频数之和等于样本容量以及频率公式计算.

解：由题意知：第四小组的频数=50-(2+8+15+5)=20,其频率=频数+样本容量

=20^-50=0.4=40%.

故选：C.

【点拨】本题考查频率的意义与计算：注意掌握频率=频数:样本总量.

12.C

【分析】

根据频数分布表，直接可得组数和组距，可判断①②，把所有频数相加，可判断③，用

120KXV180的频数;总人数，即可判断④.

解：由表格可知：组数是7,故①错误；

组距为20,故②正确；

1+2+4+14+17+13+4=55,故③正确；

(14+17+13)+55xl0()%=80%,故④正确，

・•・正确的结论有3个，

故选C.

【点拨】本题中耍考杳频数分布表，掌握组效.组距，频数的概念，是解题的关键.

13.C

【分析】

直接利用频率=频数+总数进行计算即可.

24

解：a=---------------------=0.4,

6+12+24+18

故选：C.

【点拨】此题考查了频数与频率，熟练掌握频数、频率与总数之间的关系是解题的关键.

14.0.2##-

5

【分析】

先求出第5、6两组的频数，然后求出这两组的频率之和，再减去第5组的频率即为第6

组的频率.

解：第5、6两组的频数为：40—(10+5+7+6)=40—28=12.

12

所以，第5、6两组的频率之和为：—=0.3,

40

••,第5组的频率为0.1,

・•・第6组的频率为0.30—0.10=0.2.

故答案为：0.2.

【点拨】本题是对频率、频数灵活运用的考查，把第5、6两小组看作一个整体求解是

解题的关键.

15.0.12

【分析】

首先求出第五小组的频数，再求出频率即可.

解：第五组的频数为：50-18-10-12-4=6,

频率为4=012,

故答案为：0.12.

频数

【点拨】本题考查频数和频率，掌握频率公式是解决问题的关键，频率二丁丁.

总数

16.0.25##-##25%

4

【分析】

利用优秀人数的频数除以总人数即可得到优秀人数的频率.

解：优秀人数的频率：1Jj=0.25

故答案为：0.25

【点拨】本题考查频率的计算，解题的关键是根据题意，利用优秀人数的频数除以总人

数即可得到优秀人数的频率.

17.

【分析】

根据数字“20211202”中，数字“2”出现了4次，即可求数字“2”出现的频率.

解：在数字“20211202”中,数字“2”出现了4次,

・•・数字“2”出现的频率=:.

ON

故答案为：■

【点拨】此题考查了频率，掌握频率二频数♦样本容量是解答此题的关键.

18.0.2

【分析】

先求出第5、6两组的频数，然后求出这两组的频率之和，再减去第5组的频率即为第

6组的频率.

解：第5、6两组的频数为：40-（10+5+7+6）=40—28=12,

12

所以，第5、6两组的频率之和为：啜=。3,

40

•・•第5组的频率为0.1,

，第6组的频率为0.30—0.10=0.2.

故答案为：0.2.

【点拨】本题是对频率、频数灵活运用的考查，把第5、6两小组看作一个整体求解是

解题的关键.

19.60

【分析】

根据频率之和为1求出分数在79.5〜89.5分数段的频率，再根据频率、频数、总数之间

的关系求解即可.

解:200x（1-0.2-03-0.2）=200x0.3=60（人），

故答案为：60.

【点拨】本题考查频数与频率，理解频率、频数与总数之间的关系是正确解答的关键.

20.0.39

【分析】

根据频数、频率与总数之间的关系分别进行求解即可.

解：抽取的学生总数是：20+0.4=50（人），

/?=—=0.3；<7=50x0.18=9：

50

故答案为：0.3,9.

【点拨】本题考查了频数与频率.频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者

百分比）.即频率=频数♦总数.

21.6

【分析】

根据各小组的频率之和等于1,即可得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数,

从而求出机的值.

解：•・・第一组与第二组的频率之和为1-30%=70%,

・•・该班男生的总人数为（6+8）4-70%=20,

2UX3O%=6.

故答案为：6.

【点拨】本题主要考查了频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或

者百分比），即频率=频数+总数.

22.57

【分析】

根据题意可以求出这组数据的极差，然后根据组距即可确定组数，再根据题目中攸数据

即可得到在24.5-26.5这一组的频数.

解：由所给的数据可知，最大的数为30,最小的数为21,

・•・极差是：30-21=9,

•・•组距为2,9+2=4.5,

应分为5组：

・••在24.5~26.5这一组的数据有:25、25、25、25、26、25、26、

・•・在24.5-26.5这一组的频数是7.

故答案为：5,7.

【点拨】本题考查频数分布表，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的极差和划

分相应的组数.

23.1480

【分析】

（1）根据频数分布表中的频数进行计算即可;

（2）用总人数乘以身高不低于160cm的学生人数所占比例.

解：（1）样本中，身高在“l65Wx<170”有8人，在“170Wx<175”有6人,

所以样本中身高不低于165cm的频数为8+6=14,

故答案为：14；

4+12

(2)200x--------------=80(人)，

4+12+10+8+6

故答案为：80.

【点拨】本题考查频数分布表，掌握频率=频管数是解决问题的前提，样本估计总体是统

计中常用的方法.

24.150

【分析】

用总人数乘以样本中数据在4.8〜4.6这一小组的频率即可.

解：该小组人数有：600x0.25=150（人）.

故答案为：150.

【点拨】此题是对频率、频数灵活运用的综合考查.注意：每个小组的频数等于数据总

数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和.

25.6

【分析】

根据（最大值■最小值）;组距即可确定组数，结合实际意义进行计算即可.

解：因为最小值为60,最大值为140,若取组距为15,

所以（140-60）口5=5余5,

因此可以分为6处，

故答案为：6.

【点拨】本题考查了组数的确定方法，掌握用（最大值-最小值）+组距来确定组数是解

决问题的前提，根据实际问题情境确定组数是得出正确答案的关键.

26.20

【分析】

根据频率二频数：总数，以及第五组的频率是0.2,可以求得第五组的频数；再根据各组

的频率和等于1,求得第六组的频数.

解：根据第五组的频率是02其频数是60x0.2=12；

则第六组的频数是60-（10+5+7+6+12）=20.

故答案为：20

【点拨】本题是对频率=频数?总数这一公式的灵活运用的综合考查，注意：各小组频

数之和等于数据总和，各小组频率之和等于I.

27.9

【分析】

先求出该组数据最大值与最小值的差，再用极差除以组距即可得到组数；

解:V142-60=82,而82+10=8.2,

・•・应该分成9组；

故答案是9.

【点拨】本题主要考直了频率分布表中组数的确定，关键是求出最大值与最小值的差,

然后除以组距，川进一法取整就是组数.

28.40

【分析】

可根据分数段在90<A<100的频数和频率，求出抽取的总人数，再乘以分数段在80<v<90

的频率即得出该分数段的人数，即，"的值.

解：/n=224-0.22x0.4=40,

故答案为40.

【点拨】本题考查频数与频率的关系.掌握频率=频数♦总数是解答本题的关键.

29.(1)七年级(1)班参加竞答活动的有20人

(2)表示“C类”扇形的圆心角为54°

(3)A类男生人数为2人，C类女生人数为2人，补全条形统计图见分析

【分析】

(1)利用8类人数除以其所占的百分比即可得到答案；

(2)由C类所占的百分比乘以360。，从而可得答案；

(3)先求解A，。类总人数，再求解4类男生人数，C类女生人数，再画图即可.

(1)

解：由B类有12人，占比20%,可得：

(7十5)+60%=20人，

答：七年级(1)班参加竞答活动的有20人.

(2)

解：360°x(l-60%-15%-10%)=54°

答：表示“C类”扇形的圆心角为54。

(3)

A类人数为：20X15%=3.C类人数为：20x15%=3,

从类男生人数为：3-1=2、C类女生人数为：3-1=2,

所以A类男生人数为2人，C类女生人数为2人，补全图形如图:

【点拨】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解某部分扇形所对应的圆心角

的大小，补全条形统计图，熟练从条形图与扇形图中获取互相关联的信息是解本题的关键.

30.（1）2；0.125；（2）见分析；（3）获一等奖的有9人，获二等奖的有20人.

【分析】

（1）先算出总人数，再用总人数乘。所对应的频率，即可得〃的值，再用力所对应的

频数除总人数，即可得〃的值；

（2）用总人数减去直方图上已有的人数即川得49.5—59.5的人数，即口J补全直方图;

（3）设获一等奖的有工人，获二等奖的有人，根据等量关系列出二元一次方程组即

可得.

解：（1）总人数是：9・0.225=40（人），

则。=40x0.050=2,/?=—=0.125.

40

故答案为：2；0.125.

（2）40-9-10-14-5=2（人）

补全频数分布直方图如图所示：

（3）设获一等奖的有x人，获二等奖的有N人，根据题意得

x+y=29,

15.r+10y=335»

x=9,

解得：，

y=20.

答：获一等奖的有9人，获二等奖的有20人.

【点拨】本题考查了频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，二元一次方程组，解

题的关键是掌握频数（率）分布表，频数（率）分布直方图所给的信息，根据题意能正确列

出方程组.

31.（1）295、0.58；（2）0.6：（3）36°

【分析】

（1）利用频率乘以次数得到。的值，利用，〃除以外即可求出力的值；

（2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的

概率：

（3）根据扇形统计图和表格中的数据可以估计表示“手工作品''区域的扇形的圆心角至

少还要增加的度数.

解：（1）由题意可得：«=500x0.59=295,^=232^400=0.58.

故答案为:295,0.58；

（2）由表格中的数据可得，当n很大时，频率将会接近0.6,假如你去转动该转盘

一次，你获得“书画作品”的概率约是06

故答案为：0.6；

（3）由题意可得，要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，

则表示“手工作品''区域的扇形的圆心角至少还要增加：360。乂0.5-360。乂0.4=36°,即要使获得

“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角

至少还要增加36度.

【点拨】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明

确题意，利用数形结