2025年河北省高考对口招生考试数学试卷真题（含答案详解）

2025年河北省高考对口招生考试数学试卷真题（含答案详解）2025年河北省普通高等学校对口招生文化考试数学试卷注意事项答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）已知集合A=\{x|-2\leqx\leq3\}，B=\{x|x>1\}，则A\capB（）

A.\\{x|1<x\leq3\}B.\\{x|x>1\}C.\\{x|-2\leqx\leq3\}D.\\{x|x\geq-2\}直线y=2x-4与x轴的交点坐标为（）

A.(0,-4)B.(0,4)C.(-2,0)D.(2,0)已知复数z_1=2+i，z_2=1-2i，则z_1+z_2（）

A.3-iB.3+iC.1-3iD.1+i不等式x^2-3x-4>0的解集在数轴上表示正确的是（）

A.（数轴：-1左侧实心，4右侧实心，中间空心）B.（数轴：-1右侧实心，4左侧实心，中间实心）

C.（数轴：-1左侧空心，4右侧空心，中间实心）D.（数轴：-1右侧空心，4左侧空心，中间空心）

已知\sin\alpha=\frac{3}{5}，\alpha为锐角，则\cos\alpha（）

A.\frac{2}{5}B.\frac{3}{5}C.\frac{4}{5}D.\frac{3}{4}函数f(x)=\frac{\sqrt{5-x}}{x-2}的定义域为（）

A.(-\infty,5]B.(-\infty,2)\cup(2,5]C.(-\infty,2)\cup(2,+\infty)D.[5,+\infty)函数f(x)=2^x+1的图像大致为（）

A.（过点(0,2)，单调递增）B.（过点(0,2)，单调递减）

C.（过点(0,1)，单调递增）D.（过点(0,1)，单调递减）

已知向量\vec{a}=(2,3)，\vec{b}=(1,2)，则\vec{a}\cdot\vec{b}（）

A.2B.4C.6D.8

已知a=\log_28，b=2^2，则a+b（）

A.5B.7C.8D.9

已知数列\{a_n\}、\\{b_n\}均为等差数列，a_1+b_1=3，a_3+b_3=9，则a_5+b_5（）

A.9B.11C.12D.15

如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（）

A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.四棱柱

已知f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+3，则f(1)（）

A.1B.2C.3D.4

已知数列\\{a_n\}是首项为1的等比数列，a_2=2，则\\{a_n\}的前6项和为（）

A.15B.31C.63D.127

在下列四个正方体中，M，N，P，Q分别是其所在棱的中点，则直线PQ与MN共面的是（）

A.（PQ与MN异面）B.（PQ与MN平行）C.（PQ与MN异面）D.（PQ与MN异面）

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为\frac{1}{2}，则该椭圆的标准方程为（）

A.\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1B.\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1C.\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1D.\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1已知随机变量\xi的分布列如下：

\xi：3，5，7；P：a，b，a，且2a+b=1，则\xi的期望为（）

A.3B.4C.5D.6

过圆x^2+y^2=4内一点(1,1)，且被圆截得的弦长最短的直线方程是（）

A.x+y-2=0B.x-y=0C.x+y=0D.x-y+2=0《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》《五曹算经》是我国古代数学的重要著作，将这5部著作排成一排，则《九章算术》与《孙子算经》之间恰有2部著作的排法种数为（）

A.6B.12C.24D.36

已知函数f(x)=x^2-2x+3，则函数f(x)（）

A.在(-\infty,1)上单调递减B.在(-\infty,1)上单调递减

C.在(1,+\infty)上单调递减D.在(-\infty,+\infty)上单调递增

已知奇函数f(x)在R上单调递减，f(2)=0，若实数x满足f(x-1)\geq0，则x取值范围是（）

A.(-\infty,3]B.(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)C.[-1,3]D.[3,+\infty)二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）已知函数f(x)=2x^2-3x+1，则f(2)=______．计算\cos60^\circ+\tan45^\circ______．已知\tan\alpha=2，则\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=______．生肖文化是我国传统文化的重要组成部分。现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______．某圆锥的侧面展开图是一个半圆，其体积的值与侧面积的值之比为\frac{\sqrt{3}}{8}，则该圆锥的高为______．三、解答题（本大题共5小题，共45分。要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤）已知集合A=\{x|x^2-5x+6=0\}，B=\{x|ax-1=0\}，若B\subseteqA且B\neq\varnothing，求实数a的取值范围。记\triangleABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=2，b=3，\cosC=\frac{1}{4}。

（1）求角C；

（2）求c的值。

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA\perp平面ABCD。

（1）求证：BD\perp平面PAC；

（2）若点E,F分别为PA,PC的中点，点G在棱PB上，且PG=\frac{1}{3}PB，求证：EG\parallel平面ABCD。

某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作为样本，已知质量指标值范围为[40,100]，将所得数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出如下频率分布直方图。

（1）求频率分布直方图中的参数a的值；

（2）已知样本质量指标值在[40,50)内产品频数为20，求样本容量；

（3）该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率。

已知双曲线中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点(2,3)在双曲线上，点(2\sqrt{2},0)是双曲线的一个焦点。

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求点(2\sqrt{2},0)到双曲线的渐近线的距离；

（3）过点(2\sqrt{2},0)作与双曲线的渐近线平行的直线，交双曲线于点M，求直线OM（O为坐标原点）的斜率。

2025年河北省高考对口招生考试数学试卷答案详解一、选择题（每小题3分，共60分）【答案】A

【解析】本题考查集合的交集运算。交集是指两个集合中公共元素组成的集合，已知A=\{x|-2\leqx\leq3\}，B=\{x|x>1\}，则两者的公共部分为\\{x|1<x\leq3\}，故选A。

【答案】D

【解析】本题考查直线与x轴的交点求解。直线与x轴交点的纵坐标为0，令y=0，代入y=2x-4，得0=2x-4，解得x=2，故交点坐标为(2,0)，故选D。

【答案】A

【解析】本题考查复数的加法运算。复数加法法则为实部加实部，虚部加虚部，即z_1+z_2=(2+1)+(1-2)i=3-i，故选A。【答案】A

【解析】本题考查一元二次不等式的求解与数轴表示。解不等式x^2-3x-4>0，因式分解得(x-4)(x+1)>0，解得x<-1或x>4，数轴表示为-1左侧、4右侧实心，中间空心，故选A。

【答案】C

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系。由\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1，\alpha为锐角，\cos\alpha>0，代入\sin\alpha=\frac{3}{5}，得\cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}，故选C。

【答案】B

【解析】本题考查函数的定义域求解。分式分母不为0，二次根式被开方数非负，即\begin{cases}5-x\geq0\\x-2\neq0\end{cases}，解得x\leq5且x\neq2，定义域为(-\infty,2)\cup(2,5]，故选B。

【答案】A

【解析】本题考查指数函数的图像与性质。函数f(x)=2^x+1是由y=2^x向上平移1个单位得到，y=2^x过点(0,1)，故f(x)过点(0,2)，且指数函数2^x单调递增，故f(x)单调递增，故选A。

【答案】D

【解析】本题考查向量的数量积运算。向量数量积公式为\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2，代入\vec{a}=(2,3)，\vec{b}=(1,2)，得2\times1+3\times2=2+6=8，故选D。

【答案】B

【解析】本题考查对数与指数的运算。a=\log_28=\log_22^3=3，b=2^2=4，故a+b=3+4=7，故选B。

【答案】D

【解析】本题考查等差数列的性质。若\\{a_n\}、\\{b_n\}均为等差数列，则\\{a_n+b_n\}也为等差数列，根据等差数列性质，2(a_3+b_3)=(a_1+b_1)+(a_5+b_5)，代入得2\times9=3+(a_5+b_5)，解得a_5+b_5=15，故选D。

【答案】A

【解析】本题考查三视图与几何体的对应关系。三个全等的等腰直角三角形作为三视图，说明几何体的三个两两垂直的面均为等腰直角三角形，符合三棱锥的特征，四棱锥、棱柱的三视图不会是三个全等的等腰直角三角形，故选A。

【答案】C

【解析】本题考查一次函数的复合运算。设f(x)=kx+b（k\neq0），则f(f(x))=k(kx+b)+b=k^2x+kb+b，与4x+3对应，得\begin{cases}k^2=4\\kb+b=3\end{cases}，解得\begin{cases}k=2\\b=1\end{cases}或\begin{cases}k=-2\\b=-3\end{cases}，均有f(1)=3，故选C。

【答案】C

【解析】本题考查等比数列的前n项和。首项a_1=1，公比q=\frac{a_2}{a_1}=2，等比数列前n项和公式为S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，代入n=6，得S_6=\frac{1\times(1-2^6)}{1-2}=63，故选C。

【答案】B

【解析】本题考查空间中直线的位置关系。选项B中，PQ与MN平行，平行直线必共面；其余选项中，PQ与MN既不平行也不相交，为异面直线，不共面，故选B。

【答案】A

【解析】本题考查椭圆的标准方程。焦距2c=4，故c=2，离心率e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}，得a=4，b^2=a^2-c^2=16-4=12，焦点在x轴上，标准方程为\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1，故选A。

【答案】C

【解析】本题考查随机变量的期望。由分布列性质2a+b=1，期望E(\xi)=3a+5b+7a=10a+5b=5(2a+b)=5\times1=5，故选C。

【答案】A

【解析】本题考查圆的弦长问题。圆内弦长最短时，直线与圆心和该点的连线垂直，圆心(0,0)与点(1,1)的连线斜率为1，故所求直线斜率为-1，过点(1,1)，方程为y-1=-(x-1)，化简为x+y-2=0，故选A。

【答案】C

【解析】本题考查排列组合。先将《九章算术》与《孙子算经》排列，有A_2^2=2种排法；再在两者之间插入2部著作，从剩余3部中选2部排列，有A_3^2=6种排法；最后将这4部著作视为一个整体，与剩余1部排列，有A_2^2=2种排法，总排法种数为2\times6\times2=24，故选C。

【答案】A

【解析】本题考查二次函数的单调性。函数f(x)=x^2-2x+3的对称轴为x=1，开口向上，故在(-\infty,1)上单调递减，在(1,+\infty)上单调递增，选项A表述正确（与B重复，为题干排版问题），故选A。

【答案】A

【解析】本题考查奇函数的性质与单调性。奇函数f(x)在R上单调递减，f(2)=0，则f(-2)=0；f(x-1)\geq0等价于f(x-1)\geqf(2)或f(x-1)\geqf(-2)，由单调性得x-1\leq2或x-1\leq-2，解得x\leq3，故选A。

二、填空题（每小题3分，共15分）【答案】3

【解析】代入x=2，f(2)=2\times2^2-3\times2+1=8-6+1=3。

【答案】\frac{3}{2}

【解析】\cos60^\circ=\frac{1}{2}，\tan45^\circ=1，故\cos60^\circ+\tan45^\circ=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}。

【答案】3

【解析】分子分母同除以\cos\alpha，得\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3。

【答案】\frac{1}{33}

【解析】总基本事件数为A_{12}^2=12\times11=132；甲选到牛或虎（2种选择），乙选到龙或马（2种选择），符合条件的事件数为2\times2=4，概率为\frac{4}{132}=\frac{1}{33}。

【答案】2\sqrt{3}

【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，侧面展开图为半圆，故2\pir=\pil，得l=2r；圆锥高h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{3}r。体积V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pir^2\cdot\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{3}}{3}\pir^3，侧面积S=\pirl=2\pir^2，由\frac{V}{S}=\frac{\sqrt{3}}{8}，解得r=2，故h=2\sqrt{3}。

三、解答题（共45分）【解析】（本小题满分8分）

第一步，求解集合A：解不等式x^2-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，故A=\{2,3\}。

第二步，分析B\subseteqA且B\neq\varnothing：B=\{x|ax-1=0\}为非空集合，故a\neq0，且x=\frac{1}{a}\inA。

第三步，求a的取值：当\frac{1}{a}=2时，a=\frac{1}{2}；当\frac{1}{a}=3时，a=\frac{1}{3}。

综上，实数a的取值范围为\\{\frac{1}{2},\frac{1}{3}\}。

【解析】（本小题满分9分）

（1）求角C：由余弦定理的推论，\cosC=\frac{1}{4}，且C\in(0,\pi)，故C=\arccos\frac{1}{4}（或保留余弦值表述也可）。（4分）

（2）求c的值：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2ab\cosC，代入a=2，b=3，\cosC=\frac{1}{4}，得：

c^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\frac{1}{4}=4+9-3=10，故c=\sqrt{10}。（5分）

【解析】（本小题满分9分）

（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD\perpAC；（2分）

又∵PA\perp平面ABCD，BD\subset平面ABCD，∴PA\perpBD；（2分）

∵PA\capAC=A，PA,AC\subset平面PAC，∴BD\perp平面PAC。（1分）

（2）证明：取PB的中点H，连接EH、FH，∵E、F分别为PA、PC的中点，∴EH\parallelAB；（2分）

∵PG=\frac{1}{3}PB，H为PB中点，∴G为PH中点，故EG\parallelEH，即EG\parallelAB；（1分）

∵AB\subset平面ABCD，EG\not\subset平面ABCD，∴EG\parallel平面ABCD。（1分）

【解析】（本小题满分9分）

（1）求a的值：频率分布直方图中所有矩形面积和为1，即10\times(0.005+0.010+0.020+a+0.015+0.005)=1，

化简得10\times(0.055+a)=1，解得a=0.045。（3分）