【《保角变换在求解复杂电势中的应用分析案例》3000字】

保角变换在求解复杂电势中的应用分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u17322保角变换在求解复杂电势中的应用分析案例 1105501.1金属导体柱二面角 1244321.2两平板电容器 340541.3两导体平面组成的直角角域 4118591.4带电圆柱与接地导体 6金属导体柱二面角在一个无尽长的金属圆柱导体柱身上挖去一个扇形柱体，剩下一有一个二面角的长金属导体（如REF_Ref102656352\h图3.1），角的大小为30°，在二面角的二等分面上有一带电细导线，平行于二面角的顶角线，相距为a，导线每单位长度带电量为Q。现将导体充电到电势V0，试求该二面角内电场中的电势分布。分析：由对称性可知，每一个垂直于柱轴的横截面内电场和电势的分布相同，所以作垂直于柱轴的Z平面（如REF_Ref102656359\h图3.2）。aa图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s11无尽长圆柱图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s12截图面a解题步骤：（1）先做幂变换ζ1=z6让顶角放大六倍成π，导线则位于正虚轴处，此时平面（如REF_Ref102656381\h图3.3所示），在ζ1在ζ1平面上，电势满足∂（2）步作分式线性变换ζ将ζ1平面的实轴变成ζ平面的圆ζ=R，而ζ1平面的点ζ1=ia6变成ζ平面的圆心。（如REF_Ref102656391\h图3.4所示）图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s13变换后图像图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s14圆心位置（3）确定α、β由ζ1=ia6变换成ζ=0，可得α=ia6，根据分式线性变换保对称点的特性，ζ1=ia6相对于实轴的对称点，即ξ1=－iζ（4）计算半径圆|ζ|=R是由ζ1平面实轴η1=0ζ于是，ζ1平面的实轴变换成了ζ平面的单位圆ζ上述定解问题变为∂表示一个半径等于1的空心圆柱，其轴线上有一均匀带电的导线。柱内电势易知为U二面角内电场中的电势为U由于无尽长圆柱平面静电场的电场强度分布沿柱身方向是均匀的，因此可转将其化为垂直于柱轴的二维平面场问题[12]。保角变换法就可以在静电场问题中展现他的作用，其思路为：通过解析函数的变换，将复杂的边界形状问题变换为简单形状且易于求解的边值问题，再通过逆变换求得原问题的解。两平板电容器设两平板电容器底部的电势为u0（a）图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s15施瓦兹-克里斯多菲变换解题步骤：（1）确定定解问题根据题意得解定解问题为∂(2)根据平面场涉及区域确定使用何种变换本题从图（a）可知该情况属于多角形区域情况，可作施瓦兹-克里斯多菲保角变换：把带形区域实轴上方区域，且0<x<a的带形区域，作为具有顶点A（即原点）、C、B（即z=a）的三角形（如REF_Ref102656507\h图3.5所示），且C沿y轴方向趋于无限远处的极限情况[14]，由于本题多角形为三角，故对于本例施瓦兹—克里斯多菲变换可表示为Z式中，若指定三个对应点：b1=−1对于点A=0，b2=1对应于点B=a，b3±∞对应于C=∞,偏转角Z=Z=(3)常数z0利用对应关系来确定式（3.12）中常数z0和z故0=(4)解出w平面的电势解出z0=a,z=a−即cosω=作施瓦兹—克里斯多菲变换为ω=cosð−ðza#3.16

式（3.12）作变换后即把已给的区域变换成ω平面上的上半平面[14],其边界条件在η=0时，ξ<1处保持电势为u=利用（3.15）求得原平面的电势应为u两导体平面组成的直角角域设由两个平面组成的夹角为直角的角域，有一电荷线密度为λ的无限长直线置于二面角导体角域内，该无限长直线的电荷线密度为λ，导体上的电位为零（如REF_Ref102656656\h图3.6所示）。求解该静电场的电势分布。图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s16直角角域图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s17变换过程解题步骤：上述问题实际上是平面场问题（如REF_Ref102656709\h图3.7所示）。创建Z平面坐标系，λ位于(x0,y(1)确定定解问题静电场的电势满足如下的定解问题：∇2（2）作幂变换如REF_Ref102656709\h图3.7所示，将原角域作保角变换即通过幂变换就可把二面角导体角域变成W平面的上半平面，在此过程中无尽长线电荷密度λ不变，但它的位置变到u0（3）在W平面上求得电势φ因为v易求得平面上半平面的电势为[15]φ（4）作逆变换求得原平面电势由（3.21）可将W平面上半平面的电势返回到Z平面，有φ对式（3.19）进行整理，得到φ如此一来，便可很容易的直接得到最终想要的求解结果。除了像直角这类特殊角外，其他的一般角也可以算得[16]带电圆柱与接地导体分析使用保角变换法变数法对于带电圆柱位于接地导体附近时的电势的求解图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s18z平面图STYLEREF1\s3.SEQ图\*ARABIC\s19ζ平面分析：在这个题型中，虽然是三维空间，保角变换无法适用，但是由于垂直于圆柱横截面电场分布相同，所以我们可以只取其中一个横截面进行讨论。将圆柱的剖面设为圆C，平板的剖面为直线并设为实轴，从而建立Z平面[17]。（如REF_Ref102656776\h图3.8所示）做变换，将圆C和实轴变为同心圆，先找A和B两点，它们既对于C是对称点，也对于实轴是对称点。设A和B在Z平面上的坐标分别为y1i和−b解得y作分式线性变换式（2.6）变为ζ=经过这个变换，Z平面的A点与ζ平面的原点对应，B点与ζ平面的无穷远点对应．圆C则变成ζ平面上的圆C1，由于A和B对于圆C是对称点，故ζ平面上的原点和无穷远点对于圆C1也为对称点。即圆C1是以ζ=O为圆心，半径为R1的圆．同理可得实轴变为ζ平面上的圆C2，并且圆C2也是以ζ=0为圆心半径为R2的圆．圆C1在Z平面的圆C上取一点z=(b−a)i，代入式（3.23）得