NOIP2026提高组树形DP与树上问题专项练习题

NOIP2026提高组树形DP与树上问题专项练习题一、树上差分与区间操作（3题，每题10分）题目1（10分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。树上定义一个差分数组d[n+1]，初始全为0。支持两种操作：1.单点加：`add(u,x)`，表示将节点u的差分数组值加x。2.区间查询：`query(l,r)`，表示查询从节点l到节点r的路径上所有节点差分数组的和。请设计算法支持这两种操作，并保证单次操作的时间复杂度为O(logn)。题目2（10分）：一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。树上定义一个差分数组d[n+1]，初始全为0。支持两种操作：1.子树加：`add(u,x)`，表示将节点u及其所有子节点的差分数组值加x。2.祖先查询：`query(u,v)`，表示查询节点u到节点v的路径上所有节点的差分数组的和。请设计算法支持这两种操作，并保证单次操作的时间复杂度为O(logn)。题目3（10分）：一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。树上定义一个差分数组d[n+1]，初始全为0。支持两种操作：1.路径加：`add(l,r,x)`，表示将树上从节点l到节点r的路径上所有节点的差分数组值加x。2.查询最近公共祖先：`lca(u,v)`，表示查询节点u和节点v的最近公共祖先的差分数组值。请设计算法支持这两种操作，并保证单次操作的时间复杂度为O(logn)。二、树上动态规划（3题，每题15分）题目4（15分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个节点有一个权值w[u]。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足以下条件的节点对数量：-节点对(a,b)满足a和b在树上相邻，且w[a]+w[b]>=k。请计算所有节点的f[u]之和，即∑f[u]（u=1到n）。题目5（15分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个节点有一个权值w[u]。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足以下条件的最大值：-对于任意子树内的节点对(a,b)，若a和b在树上相邻，则w[a]+w[b]>=f[u]。请计算所有节点的f[u]之和，即∑f[u]（u=1到n）。题目6（15分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个节点有一个权值w[u]。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足以下条件的最大值：-对于任意子树内的节点对(a,b)，若a和b在树上相邻，则w[a]+w[b]>=f[u]，且a和b的深度差不超过1。请计算所有节点的f[u]之和，即∑f[u]（u=1到n）。三、树上最短路与距离问题（3题，每题12分）题目7（12分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个边有一个权重。定义d[u,v]为节点u到节点v的最短距离。支持两种操作：1.添加边：`add(u,v,w)`，在树上添加一条从节点u到节点v的边，权重为w。2.查询最远距离：`query(u,v)`，表示在当前树上，节点u到节点v的最远距离（即直径）。请设计算法支持这两种操作，并保证单次操作的时间复杂度为O(logn)。题目8（12分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个边有一个权重。定义d[u,v]为节点u到节点v的最短距离。支持两种操作：1.删除边：`remove(u,v)`，在树上删除一条从节点u到节点v的边。2.查询直径：`diameter()`，表示当前树的最大直径。请设计算法支持这两种操作，并保证单次操作的时间复杂度为O(logn)。题目9（12分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个边有一个权重。定义d[u,v]为节点u到节点v的最短距离。支持两种操作：1.修改边权重：`modify(u,v,w)`，将树上从节点u到节点v的边的权重修改为w。2.查询路径和：`query_sum(u,v)`，表示节点u到节点v的路径上所有边的权重之和。请设计算法支持这两种操作，并保证单次操作的时间复杂度为O(logn)。四、树上计数与组合问题（3题，每题18分）题目10（18分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个节点有一个颜色c[u]。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足以下条件的节点对数量：-节点对(a,b)满足a和b在树上相邻，且c[a]!=c[b]。请计算所有节点的f[u]之和，即∑f[u]（u=1到n）。题目11（18分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个节点有一个颜色c[u]和一个权值w[u]。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足以下条件的最大值：-对于任意子树内的节点对(a,b)，若a和b在树上相邻，则c[a]!=c[b]且w[a]+w[b]>=f[u]。请计算所有节点的f[u]之和，即∑f[u]（u=1到n）。题目12（18分）：给定一棵包含n个节点的树，节点编号为1到n。每个节点有一个颜色c[u]和一个权值w[u]。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足以下条件的最大值：-对于任意子树内的节点对(a,b)，若a和b在树上相邻，则c[a]!=c[b]且w[a]+w[b]>=f[u]，且a和b的深度差不超过1。请计算所有节点的f[u]之和，即∑f[u]（u=1到n）。答案与解析一、树上差分与区间操作题目1：解：-使用线段树维护差分数组。线段树的每个节点表示一个区间的差分数组和。-对于`add(u,x)`操作，将节点u的差分数组值加x，即对线段树进行单点更新。-对于`query(l,r)`操作，查询从节点l到节点r的路径上所有节点差分数组的和，即对线段树进行区间查询。-时间复杂度为O(logn)。题目2：解：-使用树剖+差分。树剖可以将子树操作转化为区间操作。-对于`add(u,x)`操作，将节点u及其所有子节点的差分数组值加x，即对线段树进行区间更新（u到u的子节点）。-对于`query(u,v)`操作，查询节点u到节点v的路径上所有节点的差分数组的和，即对线段树进行区间查询（u到根的路径和v到根的路径的并集）。-时间复杂度为O(logn)。题目3：解：-使用重链剖分+差分。重链剖分可以将树上路径操作转化为区间操作。-对于`add(l,r,x)`操作，将树上从节点l到节点r的路径上所有节点的差分数组值加x，即对线段树进行区间更新（l到r的路径）。-对于`lca(u,v)`操作，查询节点u和节点v的最近公共祖先的差分数组值，即查询u和v在树上的路径的并集。-时间复杂度为O(logn)。二、树上动态规划题目4：解：-使用树上动态规划。定义f[u][0]为以节点u为根的子树中，满足条件的节点对数量（不选u），f[u][1]为选u的情况。-递推关系：-f[u][0]=∑(f[v][0]+f[v][1])（v是u的子节点）-f[u][1]=∑f[v][0]（v是u的子节点且w[u]+w[v]>=k）-最终答案为∑f[u][0]（u=1到n）。题目5：解：-使用树上动态规划。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足条件的最大值。-递推关系：-f[u]=max(max(f[v],w[u]+w[v]))（v是u的子节点）-最终答案为∑f[u]（u=1到n）。题目6：解：-使用树上动态规划。定义f[u][0]为以节点u为根的子树中，满足条件的最大值（不选u），f[u][1]为选u的情况。-递推关系：-f[u][0]=∑max(f[v][0],f[v][1],w[u]+w[v])（v是u的子节点且深度差为0）-f[u][1]=∑max(f[v][0],w[u]+w[v])（v是u的子节点且深度差为1）-最终答案为∑f[u][0]（u=1到n）。三、树上最短路与距离问题题目7：解：-使用树剖+LCA。树剖可以将树上路径操作转化为区间操作。-对于`add(u,v,w)`操作，在树上添加一条从节点u到节点v的边，权重为w。-对于`query(u,v)`操作，查询在当前树上，节点u到节点v的最远距离（即直径）。可以使用双端BFS或倍增+树上差分计算直径。-时间复杂度为O(logn)。题目8：解：-使用重链剖分。重链剖分可以将树上路径操作转化为区间操作。-对于`remove(u,v)`操作，在树上删除一条从节点u到节点v的边。-对于`diameter()`操作，查询当前树的最大直径。可以使用双端BFS或倍增+树上差分计算直径。-时间复杂度为O(logn)。题目9：解：-使用树剖+线段树。树剖可以将树上路径操作转化为区间操作。-对于`modify(u,v,w)`操作，将树上从节点u到节点v的边的权重修改为w。-对于`query_sum(u,v)`操作，查询节点u到节点v的路径上所有边的权重之和。-时间复杂度为O(logn)。四、树上计数与组合问题题目10：解：-使用树上动态规划。定义f[u][0]为以节点u为根的子树中，满足条件的节点对数量（不选u），f[u][1]为选u的情况。-递推关系：-f[u][0]=∑(f[v][0]+f[v][1])（v是u的子节点且c[u]!=c[v]）-f[u][1]=∑f[v][0]（v是u的子节点且c[u]!=c[v]）-最终答案为∑f[u][0]（u=1到n）。题目11：解：-使用树上动态规划。定义f[u]为以节点u为根的子树中，满足条件的最大值。-递推关系：-f[u]=max(max(f[v],w[u]+w[v]))（v是u的子节点且c[u]!=c[v]）-最终答案为∑f[u]（u=1到n）。题目12：解：-使用树上动态规划。定义f[u][0]为以节点u为根的子树中，满足条件的最大值（不选u），f