八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理第二课时线段垂直平分线

线段的垂直平分线本课内容本节内容观察如图，人字形屋顶的框架中，A，A′两点是关于CD的对称点.那么线段AA′与线段CD有什么关系？我们把屋顶图简化一下，如图，设A，A′是关于直线l的对称点，连结AA′，交直线l于D点，那么沿直线l折叠后，点A与点A′重合，于是有AD=DA′，∠1=∠2=90°.这表明直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′.

因此对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.

我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

上面的分析表明：如果两点A，A′关于直线l对称，则直线l是线段AA′的垂直平分线.

反过来，设直线l是线段AA′的垂直平分线，那么点A，A′是否关于直线l对称？说明：由于∠1=∠2，因此沿直线l折叠图形后，射线CA与射线CA′重合.又由于CA=CA′，从而点A与点A′重合，因此点A，A′关于l对称.

由此得出：如果l是线段AA′的垂直平分线，则点A，A′关于直线l对称.

设直线L是线段AA′的垂直平分线，那么点A，A′是否关于直线L对称？观察在图中，l是线段AB的垂直平分线，P是l上任意一点，试着量一量PA与PB的长度，你能什么发现？

可以发现，不论P点在直线l上怎样移动，总有PA=PB.实际上，因为l是线段AB的垂直平分线，从而点A与点B关于直线l对称，于是沿l折叠时点A与点B重合.又点P在对称轴l上，所以PA=PB.结论

线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等.

反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段AB的垂直平分线上？结论

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.1.如图

(a)，若点Q不在线段AB的垂直平分线

l上，试问线段QA，QB的长度是否相等？动脑筋（a）QA，QB的长度不相等.如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。（1）求证：PA=PB=PC。（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。例1运用圆规和直尺作出线段AB的垂直平分线.举例分析

因为两点确定一条直线，要作出线段AB

的垂直平分线，只要找出线段AB的垂直

平分线上任意的两点，然后连线即可.根

据“到线段两端距离相等的点在线段的

垂直平分线上”这一性质，可得如下作

法.作法：（1）分别以点A和B为圆心，以大于

的长为

半径作弧，两弧相交于点C和D；（2）作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

E例2如图

(a)，已知三角形ABC和直线l，

作出与三角形ABC关于直线l对称的图形.举例分析

三角形ABC可以由三个顶点的位置确定，

只要能分别作出这三个顶点关于直线l的

对称点，连结这些对称点，就能得到要

作的图形.(a)作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点(想一想，为什么？)；A′O（2）类似地，请你自己在图上分别作出点B，C关于直线l的对称点B′、C′；（3）连结

，

，

，得到的三角形即为所求.A′OB′C′对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.1.如图，在一条笔直的公路的同一侧有两个工厂，现想在公路上建一个中转站，要使它到两个工厂的距离相等，那么中转站应设在何处？答：AB的垂直平分线和公路的交点，即为所求，也就是中转站应设在该处.练习2.利用尺规作图将线段AB分为4等份(不要

求写出作法).3.把图中的图形补成关于直线l对称的图形.中考试题例1如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm解析∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE(线段垂直平分线的点到线段两端点距离相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故，应选择C.C1、如下图△ABC中，AC=16cm