提公因式为多项式的因式分解（课件）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.2提公因式法

第2课时

提公因式为多项式的因式分解预习检测1.将3x(a－b)＋9y(a－b)因式分解，应提的公因式是(

D

)A.3x－9yB.3x＋9yC.a－bD.3(a－b)2.若(p－q)2－(q－p)3＝(q－p)2E，则E是(

C

)A.1－q－pB.q－pC.1＋p－qD.1＋q－pDC3.把b2(x－2)＋b(2－x)因式分解的结果为(

C

)A.b(x－2)(b＋1)B.(x－2)(b2＋b)C.b(x－2)(b－1)D.(x－2)(b2－b)C4.因式分解：(1)3a(b－c)－3(b－c)；解：原式＝3(b－c)(a－1).(2)(2x－1)(3x－7)－(3x－7)(x＋2).解：原式＝(3x－7)(x－3).解：原式＝3(b－c)(a－1).解：原式＝(3x－7)(x－3).5.已知x＋y＝5，xy＝6，求

x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2的值.解：原式＝－2xy(x＋y).∵x＋y＝5，xy＝6，∴原式＝－2×6×5＝－60.素养目标1.理解公因式的意义；(重点)2.会用提公因式(多项式)法因式分解.(难点)复习导入问题1：多项式

ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式？若有，公共的因式是什么？ma，mb，mc依次为

m，a；m，b；m，c有，为

m新知探究探究点一：确定公因式问题

观察下列多项式，它们有什么共同特点?mb2

+

nb－b相同的因式

b3x2＋

x相同的因式

x

ab

+

bc相同的因式

b我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.新知探究【想一想】尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.(1)

ab

+

bc；(2)

3x2

+

x；(3)

mb2

+

nb－b.b(a

+

c)x(3x

+

1)b(mb

+

n－1)探究点一：确定公因式新知探究

(1)多项式

2x2+6x3

中各项的公因式是什么？系数：最大公约数2字母：相同的字母x

所以公因式是

2x2.指数：相同字母的最低次幂2(2)你能尝试将多项式

2x2+6x3

因式分解吗?2x2+6x3＝2x2(1+3x)【尝试·交流】探究点一：确定公因式新知探究正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.【归纳总结】探究点一：确定公因式新知探究1.写出下列多项式的公因式.（1）x-x2；（2）4abc+2a；（3）abc-b2+2ab；（4）a2+ax2.x2aba【练一练】探究点一：确定公因式新知探究2.

先化简，再求值：(x＋2y)(x－2y)－(2y－x)2，其中

x＝2，y＝－1.解：原式＝(x＋2y)(x－2y)－(x－2y)2＝(x－2y)(x＋2y－x＋2y)＝4y(x－2y)＝4xy－8y2.当

x＝2，y＝－1时，原式＝4×2×(－1)－8×(－1)2＝－8－8＝－16.探究点1：整体提公因式法新知探究探究点2：变形后提公因式法下面的多项式有公因式吗？与同伴交流思考．(1)5(a－b)－m(b－a)；(2)3(m＋n)＋2a(－m－n)；(3)m(x－y)2－n(y－x)2；(4)c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3.思考：a－b和

b－a，m＋n和

－m－n，(x－y)2和(y－x)2，(b－a)3和(a－b)3有什么关系？a－b＝－(b－a)，m＋n=(－m－n)，(x－y)2＝(y－x)2，(b－a)3＝－(a－b)3.新知探究探究点2：变形后提公因式法问题：仿照5(a－b)－m(b－a)＝5(a－b)＋m(a－b)＝(5＋m)(a－b)，将其他3个多项式因式分解．解：3(m＋n)＋2a(－m－n)＝3(m＋n)－2a(m＋n)

＝(3－2a)(m＋n)．c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3＝c2(b－a)3－(c－1)(b－a)3

＝(c2－c＋1)(b－a)3.m(x－y)2－n(y－x)2＝m(x－y)2－n(x－y)2

＝(m－n)(x－y)2.新知探究【归纳总结】两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：(2)

当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数.

如：a-b

和

b-a，则

a-b=-(b-a).(1)

当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等.

如：a-b

和

-b+a，则

a-b=-b+a.探究点2：变形后提公因式法新知探究由此可知规律：(1)a-b

与

-a+b

互为相反数.

(a-b)n

=(b-a)n

(n是偶数)

(a-b)n

=-(b-a)n

(n是奇数)(2)

a+b与

b+a

相等，a-

b

与

-b+a

相等.

(a±b)n

=(±b+a)n

(n是整数)a+b

与

-a-b

互为相反数.

(-a-b)n

=(a+b)n(n

是偶数)

(-a-b)n=-(a+b)n(n

是奇数)探究点2：变形后提公因式法新知探究【针对训练】在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：(1)(a-b)=___(b-a)；(2)(a-b)2=___(b-a)2；(3)(a-b)3=___(b-a)3；(4)(a-b)4=___(b-a)4；(5)(a+b)

=___(b+a)；(6)(a+b)2=___(b+a)2；+--+++(7)(a+b)3=__(-b-a)3；-(8)(a+b)4=__(-a-b)4.+探究点2：变形后提公因式法新知探究例2

把下列各式因式分解：(1)a(x－y)＋b(y－x)；(2)6(m－n)3－12(n－m)2.解：(1)a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)＝(x－y)(a－b)(2)6(m－n)3－12(n－m)2

＝6(m－n)3－12(m－n)2＝6(m－n)2[(m－n)－2]＝6(m－n)2(m－n－2)探究点2：变形后提公因式法新知探究例3

下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？说明理由．若不正确，请写出正确的结果．(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．探究点2：变形后提公因式法新知探究解：(1)不正确，理由：公因式没有提完全；正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”；正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；探究点2：变形后提公因式法新知探究(3)不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，且因式是多项式时要最简；正确的是：x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝x(a－b)3·(a＋b)＋(a－b)3y＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．探究点2：变形后提公因式法新知探究【思考·交流】

利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验?与同伴进行交流。1.在提取公因式时，各项公因式相同时，直接提取；各项公因式互为相反数时，需先变符号，再提取。2.括号前面是“+”号，括号里的各项都不变号。3.括号前面是“-”号，括号里的各项都变号。探究点2：变形后提公因式法新知探究【尝试·思考】如图

，有三张不同型号的长方形卡片。(1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗?(2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗?(3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解?你是怎样想的?nanba+bm①②③探究点3：提公因式法的应用新知探究nanb(1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗?①②nanb①②

将

②

旋转90°，然后把两个长方形长度为

n

的边拼在一起即可得到一个新的长方形。根据拼组前后面积相等：a×n+b×n=(a+b)×n.探究点3：提公因式法的应用新知探究a+bm(2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗?anb①②③

把(1)得到的长方形和

③

两个长方形长度为

a+b

的边拼在一起得到一个新的长方形。根据拼组前后面积相等：a×n+b×n+(a+b)×m=(a+b)×n+(a+b)×m=(a+b)×(m+n).探究点3：提公因式法的应用新知探究【练一练】3.如图，边长为

a，b

的长方形的周长为

10，面积为

6，则

a2b＋ab2

的值为