2025-2026学年安徽省怀宁县高河中学度第二册期中考试高一数学试题 含答案

/高河中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学试题一、单选题1.在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.【详解】由可得，故复数z对应的点为，位于第二象限.故选：B2.已知向量，向量，则实数x等于A.9 B.4 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】算出的坐标利用可得的值.【详解】，又，故，所以，故选A.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.3.在△ABC中，若三边之比，则等于（）A. B. C.2 D.－2【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理将角化边，再结合已知条件，即可求得结果.【详解】根据正弦定理可得.故选：B.4.在梯形中，，点在对角线上，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可.【详解】根据题意，作图如下所示：由题意得，.故选：A.5.在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.【详解】因为，而，所以，所以，故.故选：A6.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得，两地相距500m，则电视塔的高度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，将用表示，在中，由余弦定理得出关于的方程，求解，即可得到结论.【详解】设，在中，，所以.在中，，所以.在中，，，由余弦定理得，解得（舍去）.故选:D.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，以及计算求解能力，属于中档题.7.已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可.【详解】将的两边同时平方得，展开得，整理得，由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即，即，解得．故选：A.8.在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】由题意，根据余弦定理可得，结合基本不等式和可得，即可求解.【详解】因为，由余弦定理可得，则，则，又，所以，则的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值为．故选：B．二、多选题9.已知复数，为的共轭复数，则（）A. B.的虚部为-2C. D.在复平面内，对应的点在第三象限【答案】ACD【解析】【详解】，，则A正确，B错误．，，C正确．，对应的点在第三象限，D正确．10.（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则有两解【答案】ACD【解析】【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；对于B，，故边最长，角最大.设，则.所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确；对于D，，因为，故，结合可得，根据正弦定理由正弦函数的性质可知有两解，所以有两解，故D正确.故选：ACD.11.如图，在矩形ABCD内(不包含边界)有一动点Q，满足，，，若，其中，，则下列命题中正确的选项为（）A.为定值 B.且C.的最小值为 D.的最大值为【答案】BD【解析】【分析】以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴建，设，，可得，根据已知条件以及向量线性运算的坐标表示可得，，再利用三角函数的性质以及三角恒等变换即可得出正确选项.【详解】如图：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，，，，设，，因为，所以，，，，由可得：，所以，，即，，对于选项A：，的值随的变化而变化，所以不是定值，故选项A不正确；对于选项B：可得，所以，故选项B正确；对于选项C：，因为，可得当时，的最大值为，而不是最小值，故选项C不正确；对于选项D：当时，最大值为，故选项D正确，故选：BD.三、填空题12.___________．【答案】2【解析】【分析】根据复数的乘法法则计算.【详解】．故答案为：213.在△ABC中，，a=c，则=_________.【答案】1【解析】【详解】试题分析：由正弦定理知，所以，则，所以，所以，即．【考点】解三角形【名师点睛】①根据所给等式的结构特点，利用余弦定理将角化边是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．14.如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围.【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，其中，则，，所以，因为，所以，则，故，即的取值范围是.四、解答题15.已知向量，．（1）若，求；（2）若，，求与的夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐标，利用向量模长公式计算即得；（2）利用向量共线求得的值，代入向量坐标，利用向量夹角公式计算即得.【小问1详解】由题意，因为，则，得，则，所以；【小问2详解】由已知，又，，所以，得，则，，故．16.已知复数.（1）若是关于的方程的一个根，求的值；（2）若复数满足，且是纯虚数，求复数.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）将代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得；（2）设，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得.【小问1详解】由是关于的方程的一个根，所以，即有，化简得，则；【小问2详解】设，所以，又，且是纯虚数，所以，解得或，所以或.17.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin2B＝bsinA.（1）求B的大小；（2）若cosC＝，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解；（2）利用计算的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解.【详解】解：（1）由正弦定理得：即∵A，B∈(0，π)∴(*)可化简为∴(2）由(1)知，可得∵，C∈(0，π)∴∵A∈(0，π)∴【点睛】（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析；（2）三角形的问题中有一个隐含条件：，要注意使用.18.如图，在梯形中，，，E为上一点，且．（1）若，求的值；（2）已知．①求的长；②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值．【答案】（1）（2）①；②．【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；（2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案；②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值.【小问1详解】因为，，所以，所以，又，与不共线，所以，，则．【小问2详解】①由（1）知，，，所以．又，所以，解得．②设，则，．又因为∠BAD＝，，，所以．因为，函数的对称轴为，所以时，的最大值为．19.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可；（2）结合余弦定理及基本不等式求解即可；（3）设，利用余弦定理及与互补，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②，求得，代入面积公式求解即可.【小问1详解】因为，所以．整理得：，即，，而,故，又因为，