2025-2026学年福建厦门沧江高级中学高二下册4月考试数学试题 含答案

/厦门沧江高级中学2025-2026学年高二下学期4月考试数学试题试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1（）A.110 B.98 C.124 D.148【答案】A【解析】【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解.【详解】.故选：A.2.下列导数运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据求导法则及求导公式判断ABC，再由复合函数的求导判断D.【详解】因为，，，，所以ACD错误，B正确.故选：B3.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若，则()X01PA. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离散型随机变量X的分布列求得，根据方差的性质求得.【详解】由离散型随机变量X的分布列，得，所以，所以.4.小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（）种.A.48 B.72 C.216 D.432【答案】D【解析】【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.【详解】先将个将军俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，将个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，将个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，再将所得个元素作全排，有种排法，所以不同的排法共有种.故选：D.5.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（）A.0.67 B.0.58 C.0.51 D.0.37【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果.【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”，则.设“获得冠军”，则.由全概率公式.故选：C.6.设为两个随机事件，若，则（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为，且，则，求得,.故选：D.7.的展开式中的系数为（）A.100 B.60 C.40 D.20【答案】B【解析】【详解】因为，其中展开式的通项为，所以的展开式中含有的项为，所以展开式中的系数为60.8.已知函数，若函数在上单调，则实数a取值范围是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立，设，，函数在区间上单调递减，函数的值域是，所以或.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A.二项展开式中无常数项B.二项展开式中第3项为C.二项展开式中各项系数之和为D.二项展开式中二项式系数最大的项为【答案】BC【解析】【分析】由二项式系数之和为64，可得，可求得，从而可得二项式的通项公式为，然后逐个分析判断即可【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，所以，得，所以二项式的通项公式为，对于A，令，则，所以二项式展开式的第5项为常数项，所以A错误，对于B，令时，，所以B正确，对于C，令，则二项展开式中各项系数之和为，所以C正确，对于D，因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式的系数最大为，所以D错误，故选：BC10.下列说法正确的是（）A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种B.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法C.6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法D.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84【答案】ABD【解析】【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A正确；对于B，从10人中任选4人有种，若4人全是男生有种，若4人全是女生有1种，所以共有种选法，故B正确；对于C，先选2本有种，从余下的书再选2本有种，进而分给甲、乙，余下的2本分给丙、丁有，所以共有种，故C错误；对于D，将4个不同的小球分成两组有种分组方法，再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故D正确.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．【详解】对于A．，解得，所以A正确；对于B．，当时，，当时，或，所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有______个（用数字作答）【答案】52【解析】【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，根据排列计数问题列式，再根据分类计数原理求和即可求解．【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，有两种情况：第一种，0在个位，有个；第二种，0不在个位，排个位有种方法，排百位有种方法，排十位有种方法，此时共有个，所以符合题意的三位偶数共有个．故答案为：5213.袋子中有6个大小相同小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为__________；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为__________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用古典概型和条件概率公式计算即可.【详解】两次都摸到红球的概率为，第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出.故答案为：；14.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】将转化为，构造函数，利用导数判断的单调性从而得到，再构造函数，利用导数判断的单调性从而求出的最小值，即可求解.【详解】关于的不等式恒成立，即恒成立，令，，则，，在单调递增，，即，，令，，则，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）求的单调区间与极值．【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间为，；单调递减区间为；函数的极小值，极大值为.【解析】【分析】（1）由题意可得，，求解即可；（2）求导，利用导数可求函数的单调区间及极值.【小问1详解】在中，令，则，所以，所以，所以，所以，又因为直线的斜率为-2，所以，解得，所以；【小问2详解】因为，所以，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为；所以当时，函数取极小值，为，当时，函数取极大值，为.16.为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案：（1）男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；（2）男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；（3）男选手小钱和男选手小周至少一人参加.【答案】（1）300（2）240（3）2160【解析】【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解.【小问1详解】因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可，所以排法种数为：种.【小问2详解】完成这件事可以分两步：第一步：先选人，有种选法；第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：.由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：.【小问3详解】完成这件事的方法可以分两类：第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种；第二类：小钱和小赵都参加，方法有.由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：.17.某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人．（1）求该机器人是甲品牌合格品的概率；（2）求该机器人是合格品的概率；（3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；（2）结合应用条件概率公式及全概率公式计算求解；（3）根据对立事件概率及条件概率公式计算求解.【小问1详解】用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则，所以该机器人是甲品牌合格品的概率．【小问2详解】用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，【小问3详解】由（2）知，该机器人是不合格品的概率，若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率．18.某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球．规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球．（1）求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率；（2）设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列；（3）求（2）中X的均值与方差．【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3），【解析】【分析】（1）先求出总的情况，再求出红球个数多于白球个数的情况，即可得答案;（2）由题意可得，求出每一种情况所对应的概率，即可列出分布列;（3）根据均值公式、方差公式求解即可.【小问1详解】从9个球中摸出3个球，共有种，其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况，所以一共有种可能，所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为【小问2详解】由题意可得，且，，，，所以的分布列如下：0123【小问3详解】由题意可得，19.已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）试讨论函数的单调性；（3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值．【答案】（1）（2）答案见详解（3）4【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值；（2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间；（3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值.【小问1详解】当时，则，可知的定义域为，且，令，解得；令，解得，可知的单调递减区间是，单调递增区间是，所以函数的最小值为.【小问2详解】由题意可知的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.【小问3详解】当时，不等式恒成立，即，整理可得