2025-2026学年广东东莞市嘉荣外国语学校度高一下册3月月考数学试题 含答案

/2025-2026学年度高一下学期3月月考数学试题时间：120分钟一、单选题（每题5分，共40分）1.已知复数，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的加法运算法则求解即可.【详解】因为，所以.故选：B2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】AB⃗3.若中，角的对边分别为若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理直接求解.【详解】在中，由及余弦定理，得.故选：B4.已知向量，，若与共线，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【详解】，因为与共线，故，故.5.已知平面向量满足，，且，则（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果.【详解】因为，所以，即，因为，所以，，又，所以.故选：C.6.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在中用表示出，然后在中利用正弦定理求出，再在中用表示出，即可得解.【详解】由题意知，，，∴．在中，．在中，由正弦定理得，∴．在中，．7.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】设两个向量的夹角为，则，所以向量在向量方向上的投影数量为，所以投影向量为.8.在直角梯形中，,,,,分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后将每个点用坐标的形式表示出来，根据条件，列出等式，并化简，最后求出的取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则设,.则.因为，所以.化简得：.解得：.所以.因为，所以.所以.故选：B.二、多选题（每题6分，共18分）9.若，则（）A. B.C. D.在复平面内对应的点在第二象限【答案】BCD【解析】【分析】根据复数的基本概念，复数的模，以及复数的乘法运算和复数的几何意义，逐项判定，即可求解．【详解】由复数，则，所以A错误；由，所以B正确；由，所以C正确；由在复平面内对应的点为位于第二象限，所以D正确．故选：BCD10.已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则．B.若，，则三角形有一解．C.若，则一定为等腰直角三角形．D.若面积为，，则．【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式即可判断C，由面积公式及余弦定理判断D.【详解】对于A，由正弦定理得，因为，所以，则，故A正确；对于B，因为，，由正弦定理得，则，因为，所以，则，所以只有一解，则三角形只有一解，故B正确；对于C，因为，所以，即，又，所以，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为面积为，，又，所以，所以，显然，则，因为，所以，故D正确．故选：ABD．11.如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，，过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则（）A. B.C. D.的最小值为2.【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A，B，C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D.【详解】对于A，B，C，因，依题意，代入，得，因为三点共线，且三点共线，所以，得，所以A对，B错；由可得，故，故C正确；对于D，，，，则，因为M、G、N三点共线，则，即，由，当且仅当，即时取得等号．所以D正确．故选：ACD．三、填空题（每题5分，共15分）12.设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解.【详解】由，由三点共线，得，则，又不共线，因此，解得，所以实数的值为.故答案为：13.如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________．【答案】【解析】【分析】设，，以为基底，表示出，，利用平面向量数量积的有关运算求与的夹角即可.【详解】设，，与的夹角为，则，，因为，．所以，又，，所以．又因为，所以，即向量，的夹角．故答案为：14.在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式化简求值即可求，利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】由，可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，由余弦定理可得，因为是的中点，所以，所以，由正弦定理可得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.四、解答题（共77分）15.已知复数，，是虚数单位．（1）若复数z是纯虚数，求m的值：（2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值；（2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值.【小问1详解】因为复数是纯虚数，所以m2+由，解得或.当时，，符合要求；当时，，不符合要求，舍去，所以m的值为1；【小问2详解】当时，复数，由题意知复数是关于x的方程的一个根.因为方程的系数为实数，所以方程的另外一个根是的共轭复数z=−2−3i所以由韦达定理可得−2+3i解得.16.已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，．（1）求A；（2）求；（3）求的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根据余弦定理进行求解即可；（2）利用第（1）问所求的角，结合正弦定理进行求解即可；（3）直接根据三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】由余弦定理，可得，因为，所以；【小问2详解】由（1）可知，.在中，由正弦定理，可得，解得；【小问3详解】由（1）可知，.由的面积公式，可得．17.已知向量与的夹角为，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求向量与向量的夹角.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解；（3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解.【小问1详解】因为向量与的夹角为，且，则.【小问2详解】因为向量与的夹角为，且，且.可得.【小问3详解】设向量与向量的夹角为，可得，因为，可得，所以向量与向量的夹角为.18.记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若点在上，平分，，，求的长；（3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简条件即可求解角的大小；（2）在中，根据余弦定理解得，又，得，从而得解；（3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围.【小问1详解】依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，即，即，所以．又，则，所以；【小问2详解】在中，根据余弦定理，得，即，解得或（舍去），依题意，，即，化简得，则，所以；【小问3详解】依题意，的面积，所以．又为锐角三角形，且，则，所以．又，则，所以．由正弦定理，得，所以，所以，即，所以a的取值范围为．19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2），（3）存在，【解析】【分析】（1）根据题意，得到相伴函数，得到，再利用两角差的正弦函数，即可求解；（2）由，得到的相伴特征向量，结合单位