2025-2026学年广东佛山市顺德区国华纪念中学第二册第一次阶段考试高一数学试题 含答案

/国华纪念中学2025-2026学年度第二学期第一次阶段考试高一数学试卷一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案.【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确；对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误；对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误；对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误，故选：A.2.记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【详解】因为，，所以，所以为等腰三角形，所以为等腰三角形是的必要条件；由为等腰三角形，可得或或，所以为等腰三角形是的不充分条件；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.3.已知向量，若，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据向量平行列方程，由此求得，进而求得.【详解】，则，得.故选：A4.已知是第一象限角，则下列一定为正值的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题设可判断终边位置，然后判断三角函数值的符号.【详解】对于A，由题终边可能在第一象限，轴正半轴，或第二象限，则可能为正值，负值或0，故A错误；对于B，终边可能在第一象限或第三象限，则可能为正值或负值，故B错误；对于C，由B分析，可能为正值或负值，故C错误；对于D，由B分析，一定为正值，故D正确.故选：D5.已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（）．A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得，，最后由，求解即可.【详解】解：设的中点为D，则．因为，所以．因为等边的边长为2，则，所以．所以．故选：B.6.若x为锐角，且.则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由题意得或，又因为x为锐角，则，即或，解第一个不等式组得，则，解第二个不等式组得，无解；综上，x的取值范围是.7.如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（）A.5 B.9 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值.【详解】，又，故，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，故.所以，当且仅当，即时取等号.故最小值为，故选：D.8.已知平面向量满足，、为不共线的单位向量.且恒成立，则、夹角的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，由恒成立得出，化简得知对任意的恒成立，由可求得、夹角的取值范围，由此可得出结果.【详解】，由得，，由题意可得，对任意的恒成立，，解得，，.因此，、夹角的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查向量夹角最值的求解，考查二次不等式恒成立问题的求解，考查计算能力，属于中等题.二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列选项中，值为的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断；选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断；选项D利用二倍角的正切公式求解判断.【详解】选项A：，故选项A不符合题意；选项B：，故选项B符合题意；选项C：，故选项C符合题意；选项D：，故选项D符合题意.10.已知向量，则（）A. B.当时，C.当时， D.的最大值为7【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的模的公式判断A；根据判断B；根据向量平行的坐标运算判断C；根据三角不等式判断D.【详解】因为，所以，故A正确；当时，，即，因为，得，B错误；当时，满足，即，C正确；，故的最大值为7，D正确.故选：ACD.11.已知，则（）A.是偶函数B.的图象关于直线对称C.的值域为D.当在有2个不同实根时，的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】A选项，根据奇偶性的定义和诱导公式判断；B选项，根据对称性的性质判断；C选项，分和两种情况讨论；D选项，结合图象得到的范围和，然后判断即可.【详解】的定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，A正确；，所以关于对称，B错；当，时，，，，则，当，时，，，，则，综上可得的值域为，C错；时，，图象如下所示：所以，，则，D正确.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.为圆O的一条弦，且，则的值为_______.【答案】2【解析】【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得.【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图.因为,所以.根据向量数量积的几何意义：13.已知，则______.【答案】##【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出，化简目标式即可得.【详解】由，则，所以.14.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是________．【答案】．【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义，等于在上的投影与的数量积，依据正八边形性质，作出在上的投影再求解即可．【详解】如图，根据向量数量积的几何意义，等于在上的投影与的数量积，因为正八边形，所以每个内角为，所以，即在上投影为，当在上时，设与交点为，为等腰直角三角形，则最小为；同理：最大为，所以的取值范围是．故答案为：．四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在平行四边形中为的中点分别为的一个三等分点，点靠近点点靠近点记.（1）把▱放到平面直角坐标系中，若求点的坐标；（2）用表示；（3）若求.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）利用建立方程组计算可得；（2）由向量三角形法则求解即可；（3）由向量的模长公式求解即可.【小问1详解】设，由题意得，，，所以，解得，即点的坐标为.【小问2详解】由题意得，，，所以，.【小问3详解】由题意得，，所以．

,所以,所以所以=16.已知：、是同一平面内的两个向量，其中．（1）若且与垂直，求与的夹角；（2）若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量垂直的数量积运算得出，进而由得出与的夹角；（2）由数量积的坐标运算得出，解不等式得出实数的取值范围．【小问1详解】解：由得，即，所以，得，又，所以；【小问2详解】解：因为，，所以所以，则，由得，即，因为与的夹角为锐角，所以17.函数（，，）的部分图像如图所示.（1）当时，求的单调递增区间；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的解析式，再求函数的单调区间即可.（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.【小问1详解】由图可得，，所以，且，得，，又因为，所以，所以.又因为，，解得，，所以在上的单调递增区间为.【小问2详解】因为，所以.因为，所以，即，所以.所以.18.．（1）求的值；（2）求在上的值域；（3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数a的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接代入即可求解，（2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域.（3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立，利用基本不等式求a的取值范围．【小问1详解】；【小问2详解】时，，故．即在上的值域为．【小问3详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则，令，因为，所以.则不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，即对任意的恒成立.整理得，因为，所以，则；令，，，，由于，故，则，因此，当且仅当，即时取到等号，所以.所以，即实数的取值范围是.19.已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质．（1）设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由；（2）已知函数具有性质，求函数在上零点的个数；（3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）具有性质不具有性质，理由见解析；（2）2026个；（3）.【解析】【分析】（1）利用给定的定义直接分析判断即可.（2）利用函数具有性质的定义，赋值计算即得的值，进而求出，再借助二倍角的正弦公式求出的零点，结合给定区间求出零点个数.（3）由（2）结合三角函数图象变换求出，探讨在区间上的性质，再利用零点的意义转化为直线与函数的图象交点问题求解.【小问1详解】函数具有性质不具有性质，说明如下：，，对任意，都有，所以具有性质；，，所以不具有性质.【小问2详解】由函数具有性质，得，即，而，则，，若，不妨设，由，得，只要充分大时，将大于1，而的值域为，则上述