2025-2026学年河北石家庄敬业中学高二年级质检一考试数学试题 含答案

/高二年级质检一考试数学学科试卷考试范围：导数和计数原理；考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每题5分，共40分）1.已知函数的导函数为，且，则（）A.2 B.-2 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】由导数的定义运算即可.【详解】由题意得，.故选：D2.有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.27 D.24【答案】A【解析】【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法．故选：A.3.已知，则（）A.1 B. C.2026 D.【答案】D【解析】【分析】由题可得，令可得答案.【详解】，令，则.故选：D4.从0，1，2，3，4这5个数字中随机选取3个不同的数字，可以组成比300大的三位数的个数为（）A.12 B.24 C.32 D.36【答案】B【解析】【分析】分百位数是3和百位数是4讨论，结合排列的应用即可求解.【详解】当百位数是3时，则十位和个位共有种排法；同理可得当百位数是4时，十位和个位共有12种排法，所以比300大的三位数的个数为.故选：B.5.已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.B.函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C.函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D.函数的最小值为【答案】C【解析】【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．6.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为在区间恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得.【详解】，因为函数在区间单调递增，所以在区间恒成立，即在区间恒成立，即在区间恒成立，由对勾函数的单调性可得故.故选：D.7.将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（）A.120种 B.150种 C.210种 D.300种【答案】C【解析】【分析】分安排1名同学去A公司实习和安排2名同学去A公司实习，两类情况讨论求解即可.【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习，则有种不同的安排方法；安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习，则有种不同的安排方法；安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法.故满足条件的不同安排方法有种.8.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可.【详解】设，则.因，所以，即，所以在上单调递减.不等式等价于不等式，即.因为，所以，所以.因为在上单调递减，所以，解得.二、多选题（每题6分，共18分.多选或错选不得分，部分选对得部分分）9.下列结论中正确的有（

）A B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据常数的导数为零，判断选项A；利用幂函数的求导法则求导判断选项B；利用对数函数的求导法则求导判断选项C；利用指数函数的求导法则求导判断选项D．【详解】是常数，，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：CD．10.将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（）A.若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15B.若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21C.若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301D.若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15【答案】AC【解析】【分析】对于AB，根据隔板法求解；对于C，先分组，再选球放入；对于D，先分组，再排列盒子即可．【详解】对于A，将7个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A正确；对于B，允许有空盒子，先给每个盒子一个虚拟的球，即10个小球分成3组，每个盒子至少一个，由隔板法得不同的放法种数有种，故B错误；对于C，根据题意，每个盒子里球的个数情况有：；；；，则不同的放法种数有，故C正确；对于D，小球相同、盒子不同，恰有1个盒子放2个球（即只有1个盒子为2个），其余两个盒子至少1个球且不能为2个球：先选放2个球的盒子：，剩余两个盒子共5个球，均不为2的放法只有共2种，总放法，故D错误．11.已知，则下列说法正确的是（）A.在定义域内单调递增B.的对称中心为C.已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为D.若，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解.【详解】因为，所以，则在定义域内单调递增，故A正确；，得，故的对称中心为即，故B正确；因为，为方程的两个不同根，所以，因为，所以，则，故，得，故C错误；因为，所以，则，即，因为，所以，等号成立时，故D正确.三、填空题（每题5分，共15分）12.曲线在处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程.【详解】函数，求导得，则，切点，由点斜式得切线方程为，整理得．故答案为：.13.正整数19600的不同正因数的个数为________．【答案】45【解析】【分析】由，令，结合乘法原理即可求解【详解】易知，设为正整数19600的正因数，故，其中，故有种不同的可能，则正整数19600的不同正因数的个数为45．故答案为：4514.已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意知利用导数分别求出、的最大值得到不等式即可得解.【详解】因为对任意的，总存在，使得，所以，，令，得或（舍去）.当时，，单调递增；当时，，单调递减.故；，则，因为，所以在上恒成立，则在上单调递减，，所以，故故答案为：四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，合计77分）15.7名同学排队照相.（1）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？（2）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用捆绑法即可得解；（2）利用插空法即可得解.【小问1详解】依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法，再将这个整体与其他4人全排列，有种排法，所以一共有种不同的排法.【小问2详解】依题意，先对4名男生进行全排列，有种排法，再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法，所以一共有种不同的排法.16.已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1．（1）求a；（2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案；（2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程.【小问1详解】，因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，解得.【小问2详解】由（1）知，，设切点坐标为，则，切线方程为，又点曲线上，所以，代入得，即，整理可得，故l的方程为，即.17.已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增．（2）最小值为，最大值为．【解析】【分析】（1）先求出导函数结合导函数正负得出函数单调性；（2）根据函数单调性及极值点比较判断最大值及最小值即可.【小问1详解】的定义域为，，令，得，，的变化情况如下表所示：x10单调递减1单调递增所以，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为由于，，所以的最大值为．综上，的最小值为，的最大值为．18.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：．【答案】（1）当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间；（2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立.【小问1详解】由题意可知，函数，的定义域为，导数，当时，，；当时，，；，；综上，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．【小问2详解】由（1）可知，当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减．所以，要证，需证．即需证恒成立，令，则所以函数在区间单调递增，故，所以，恒成立，所以当时，．19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若函数有2个不同的零点，．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：．【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间；（2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题；（ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可.【小问1详解】当时，，则，令，得，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，，所以，所以恒成立，即在上单调递增；故单调递增区间为，无单调递减区间．【小问2详解】（ⅰ）当时，若函数有2个不同的零点，，∴恰有2个正实数根，，令，则与有两个不同交点，∴，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，又，当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则图象如下图所示，∴当时，与有两个不同交点，∴实数a的取值范围为．（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，，∴，，∴，则，不妨设