2025-2026学年江苏南通市海安市实验中学高一下册4月阶段检测数学试题 含答案

/江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题一、单选题1．在中，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用正弦定理即可.【详解】在中，由正弦定理：，即，解得：.故选：B2．计算的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.3．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，“”是“是锐角三角形”的______条件.（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据余弦定理，结合充分，必要条件的定义，即可判断.【详解】若，则，则角为锐角，但不能说明角也是锐角，所以不能推出为锐角三角形，反过来，若为锐角三角形，则角是锐角，则，即，所以“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件.4．函数的最小正周期为（

）A．4π B．2π C．π D．【答案】C【分析】使用二倍角公式化简即可.【详解】，所以.5．在边长为3的等边三角形中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的数量积计算．【详解】，．故选：C．6．若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据大边对大角，只需边长对应的角为锐角，由余弦定理即可求出.【详解】因为三角形是锐角三角形,所以最大边长对应的角为锐角，设该角为,所以,即,解得或（舍去）.故选：C.7．已知，，则（

）A． B．2 C． D．-2【答案】D【详解】由，，得...8．如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x，y均为正，设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题二、多选题9．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案.【详解】对于A，根据平面向量加法的平行四边形法则，则，故A正确；对于B，在平行四边形中，，则，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，在平行四边形中，，，故D正确.故选：ACD.10．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（

）A．若是锐角三角形，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若是等边三角形，则【答案】ACD【分析】根据是锐角三角形，得，再根据正弦函数的单调性可得，可得A正确；对于B、C、D分别根据余弦定理角化边，可判断B、C、D.【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，所以，即，故A正确；对于B，由及余弦定理，可得，化简得，得或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由及余弦定理得化简得，所以等腰三角形，故C正确；对于D，由是等边三角形，所以，，所以，所以，故D正确．故选：ACD11．已知，则下列说法中正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D．是函数图象的一个对称中心【答案】ABD【分析】先利用三角恒等变换的公式化简，然后再逐项进行分析即可.【详解】因为，所以，所以，A．，故正确；B．因为，所以，由在上单调递减可知在上单调递减，故正确；C．函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数，不是，故错误；D．令，所以，当时，，所以是函数图象的一个对称中心，故正确；故选：ABD.三、填空题12．已知向量，，若与垂直，则的值为_____.【答案】1【详解】已知，，因此：，由题意，即，解得.13．已知，则_____________．【答案】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式求解即可．【详解】故答案为：14．点P是边长为1的正方形内一点，则的最小值为______.【答案】【分析】以为原点平面直角建立坐标系，设，利用向量数量积的坐标表示得出所求表达式，再配方求最值即可．【详解】如图，以为原点平面直角建立坐标系，则，设，，则当时，取得最小值，最小值为．四、解答题15．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)证明：；(2)若，边上中点为D，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据正弦定理，将边化为角，求得角，即可证明；（2）根据（1）的结果，再结合，再根据余弦定理求和，再根据余弦定理求的值.【详解】（1）由正弦定理可知，，即，则（舍）或，又，所以，即；（2）由条件可知，，且，中，，即，中，.16．已知（1）求的值；（2）已知，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先化简，算出，即可齐次化求解.（2）先求出，进而求出，再通过即可求解.【详解】（1）由已知得，所以（2）由，可得，则因为，所以，又，则因为，，则，则，所以.【点睛】关键点点睛：本题的关键是缩小角的范围，要注意和一些特殊角的三角函数值比较大小，从而缩小角的范围.17．已知向量，，，.(1)若，求的值；(2)若与的夹角为锐角，求的取值范围；(3)若，求的最大值及对应的.【答案】(1)(2)(3)，对应.【分析】（1）根据向量共线的坐标公式求解即可.（2）把与的夹角为锐角，转化为数量积大于0，再结合角的范围求解即可.（3）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．【详解】（1）因为向量，，且，所以，即.因为，所以.（2）因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线.化简得.因，故，时，.由（1）知共线时，需舍去.故的取值范围为.（3）.因，故，的最大值为，此时，的最大值为.故最大值为，对应.18．在菱形中，，，，.(1)若，求的值；(2)求的值；(3)若在线段上的动点，问是否为定值?若是，求该定值；若不是，求的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)不是定值，取值范围为.【分析】（1）以，为基底，利用向量线性运算表示，对比即可得出与的值；（2）利用数量积的定义结合第一问的结论可求的值；（3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据在线段上，可得，，结合坐标计算即可得出范围.【详解】（1）因为，，所以,又因为，所以，，所以；（2）因为，所以，在菱形中，，所以，所以（3）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.由菱形边长为，，得，，，，因为，易得，由可得，在线段上，则，.，，所以，又，所以，又因为，所以.故不是定值，取值范围为.19．设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量.(1)设函数求函数的友好向量；(2)若向量的友好函数在处取得最大值，求；(3)设向量的友好函数，方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用两角差的正弦公式对展开，结合题目中的定义即可得解；（2）利用辅助角公式及正弦函数图象求出，再利用倍角公式即可求出答案；（3）将方程