2025-2026学年江苏省无锡梅村高级中学高三下册4月阶段检测数学试题 含答案

/高三数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】直接根据复数乘除法、复数模的知识点求解即可．【详解】由，可得，所以．故选：B．2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式分别求得集合，然后由集合交集的定义求得结果.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，即或，所以.故选：A.3.已知等比数列满足，，则的公比为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【详解】等比数列满足，则，解得或，而，当时，，与矛盾；当时，，所以数列的公比.4.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（）A.72 B.84 C.96 D.108【答案】B【解析】【分析】利用先选后排的方法进行解题即可.【详解】选个空盒：种，分配个小球到个非空盒情况一（分法）：种情况二（分法）：种总分配方法;种，总放法数：种故选：5.正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正六棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将正六棱台还原成正六棱锥，再利用正六棱锥的结构特征及体积公式计算得解.【详解】将正六棱台还原成正六棱锥，则正六棱锥的下底面是边长为4的正六边形，侧棱长为，其高，以正六棱台上底面为底面的正六棱锥底面边长为2，侧棱长为，其高，因此该正六棱台的体积.故选：C6.设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B7.已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，求得，得到两两的夹角相等，且为，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】设，因为，则，又因为向量夹角的范围为，所以两两的夹角相等，且为，所以.故选：B.8.已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示：因为，、分别为、的中点，则，又因为，，故，所以，由题意可知，故为钝角，所以，，故，在中，，，，由余弦定理可得，解得．故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期 B.的图象关于点中心对称C.在上单调递增 D.的图象关于直线对称【答案】BD【解析】【分析】结合余弦型函数的周期、对称中心、单调区间、对称轴依次分析选项即可.【详解】对于A：的最小正周期，故A错误；对于B：令，，得，，即的图象关于（）对称，当时，得对称中心为，故B正确；对于C：令，，解得，，取得，即在上单调递减，故C错误；对于D：令，，解得，，即的图象关于对称，当时，得对称轴为，即的图象关于直线对称，故D正确.故选：BD.10.已知某软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（）月份x12345利润y58101215A.B.可以估计10月份的利润为26.8（万元）C.1到5月份的利润数据的第60百分位数为10（万元）D.5月份利润的残差为（万元）【答案】AB【解析】【分析】先求得，的值，代入回归方程，可得a值，即可判断A的正误；将代入回归方程，可判断B的正误；根据百分位数的求法，可判断C的正误，根据残差的求法，即可判断D的正误.【详解】选项A：根据表中数据可得，则，故A正确；选项B：估计10月份的利润（万元），故B正确；选项C：由，则1到5月份的利润数据的第60百分位数为（万元），故C错误；选项D：5月份利润的估计值为，则残差为（万元），故D错误.故选：AB11.某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（）A.该几何体可能是三棱锥B.该几何体可能是四棱柱C.用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱D.用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱【答案】AC【解析】【分析】先明确各选项中几何体的表面三角形数量特征：因为三棱锥表面有4个三角形面，所以先分析8块全等三角形能否拼接成三棱锥；分析四棱柱的表面构成：因为四棱柱表面是4个四边形和2个多边形底面，若要由三角形拼接，需将四边形面拆分为三角形，结合8块全等三角形的条件，判断是否可行；针对三棱柱的拼接，分别考虑等腰三角形和直角三角形的情况：若用等腰三角形拼接三棱柱，需考虑三棱柱的面的数量和形状匹配度；若用直角三角形拼接，需结合直角三角形的特性，分析能否对应三棱柱的面的拼接需求.【详解】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确；对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误；对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面，要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起，必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可，实际上，当时，，在中，，则，则，即可得，即此时即可满足题意，C正确；对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形，设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a，因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱，则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______．【答案】【解析】【分析】将分解质因数，取质因数的不同组合即可求解.【详解】将分解质因数：，而1,2025也为因数，则所有正因数为：，共个.13.已知函数，则的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】导数法．令，得，即在区间内单调递增；令，得，即在区间内单调递减．则．故答案为：.［方法二］：三元基本不等式的应用因为，所以．当且仅当，即时，取等号．根据可知，是奇函数，于是，此时．故答案为：.［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式，，当且仅当，即时，．根据可知，是奇函数，于是．故答案为：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩，当且仅当时等号成立．故答案为：.［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值设，则可化为，当时，；当时，，对分母求导后易知，当时，有最小值．故答案为：.［方法六］：配方法，当且仅当即时，取最小值．故答案为：.［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法因为，所以，即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．当时，，当时，因为，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为：.【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解．14.已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，，，，则的最小值为______（请用表示）．【答案】【解析】【分析】设，，由抛物线焦半径公式得，再由，结合基本不等式即可求解；【详解】根据题意，圆，可得，所以该圆的圆心为，所以，，所以，设点，，易知斜率不为0，设方程为，联立抛物线方程消去可得，所以，又，两式相乘可得，所以，因，当且仅当时等号成立．即时，取得最小值.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.数列中，，前n项和满足．（1）证明：为等差数列；（2）求．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题中递推关系推出，然后推出，结合等差数列的定义，即可证明结果．（2）由（1）可知是以1首项，2为公差的等差数列，可得是以为首项，2为公差的等差数列，然后通过求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和，再将两者和相加，即可得到结果．【详解】解：（1）∵①，∴②，①②：③，∴④，④③：，∴，∴是以1首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）得是以1首项，2为公差的等差数列，同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，又，故，∴前101项的偶数项和为，前101项的奇数项和为，∴．【点睛】关键点点睛：在解决第二问时，由（1）得是以首项，2为公差的等差数列，同理得到是以为首项，2为公差的等差数列，为后面求求解前101项的偶数项和，前101项的奇数项和奠定了重要的基础，是解决这个问题的关键点和突破点.16.在中，内角的对边分别为．已知．（1）求的值；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解；（2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解.【小问1详解】由，得，整理，得.在中，由余弦定理，得.把代入上式，得，因为，所以.在中，由正弦定理，得【小问2详解】在中，由余弦定理，得因为，所以.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证明见解析【解析】【小问1详解】因为，，则当时，，所以，在上单调递增.当时，由，解得，所以在上单调递增，由f'x=1−axx<0综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】当时，，欲证fx<e即证fx设，，则g'x=而和在上都是单调递减，则g'x=又因为g'13则∃x0∈14当时，，单调递增；当时，，单调递减.则极大值为gx.设hx=ln则h'而x∈14,13时，，则，所以hx<h1所以，即fx<18.在正三棱台中，，，分别是，的中点．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）延长，，交于点，过点作平面，垂足为，接着依次证明四边形是平行四边形和即可得证；（2）法一：根据线面角定义作出直线与平面所成角的平面角，求得正弦值即可；法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法直接计算即可；（3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，由全概率公式可得，再由等比数列定义证明数列是首项为，公比为的等比数列，可求得.【小问1详解】证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结.在正三棱台中，，是正三角形，因为，分别是，的中点，所以，且，又，且，所以，且，四边形是平行四边形.因为几何体是正三棱台，所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以.又平面，平面，所以.因为，，平面，所以平面，又平面，所以，所以.在正三棱台中，，是的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，.所以.所以四边形是矩形.【小问2详解】法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结.由（1）可知，平面，即平面，因为平面，所以，又，，，平面，所以平面.所以为直线与平面所成角.在正三棱台中，，，不妨设，则，，.在等腰中，.在中，.所以直线与平面所成角的正弦值为.法二：过作.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.在正三棱台中，，，不妨设，则，，，.设上底面的中心为，在直角梯形中，，，，所以.故，又，所以,.设为平面的法向量，即，取，得，