2025-2026学年陕西省咸阳市永寿中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年陕西省咸阳市永寿中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在复平面内，复数z=1-i,则=（）A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则=（）

A.- B.- C.+ D.+3.已知，若与共线，则x=（）A.-5 B.-1 C.1 D.54.一物体在力的作用下，由A（16，6）移动到B（10，2）.已知，则对该物体所做的功为（）J.A.-8 B.26 C.8 D.185.已知=（-2，1），=（-2，-3），则在上的投影向量是（）A.（-，-） B.（-，-）

C.（-，） D.（，）6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=1，sinA=2sinC，，则△ABC的面积S=（）A.1 B. C. D.7.已知向量，且的夹角为锐角，则m的取值范围为（）A. B.

C. D.8.记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a,b,c,向量与满足，且，则BC边上的中线长为（）A. B.2 C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数（i为虚数单位），则z=i

B.若复数z满足z2∈R，则z∈R

C.若复数z=3-4i,则z在复平面对应的点在第二象限

D.若复数z满足|z|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆10.如图，△ABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.

B.

C.的最大值为

D.若，则x+y的最大值为

11.已知a,b,c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（）A.若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形或直角三角形

B.在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立

C.若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是

D.若cos2A+cos2B＜1+cos2C，则△ABC为锐角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知单位向量满足与的夹角为，则=

.13.在△ABC中，BC=2，，△ABC的面积为，则AC=

.14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，.

（1）若，求x的值；

（2）若，求向量与夹角的余弦值.16.(本小题15分)

（1）已知复数z=m2-5m+6+（2m2-3m-2）i,m∈R.若z为纯虚数，求m的值；

（2）已知复数z=a+bi（a、b∈R），若z满足，求a、b的值.17.(本小题15分)

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.

（1）求角A；

（2）若a=2，则△ABC的面积为，求b,c.18.(本小题17分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．

（1）若C=，求B；

（2）求的最小值．19.(本小题17分)

设Ox,Oy是平面内夹角成θ（0°＜θ＜180°，θ≠90°）的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对（x,y）叫做向量在此坐标系中的坐标，记.已知，.

（1）若θ=60°.

（ⅰ）求.

（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得​​​​​​​ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由.

（2）若对​​​​​​​恒成立，求的最大值.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】AD

11.【答案】ABC

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】x=22；

．

16.【答案】解：（1）因为z是纯虚数，所以，

解得，

所以m=3．

（2）因为z=a+bi,所以．

=a2+b2-b+ai=15+3i.

所以，

解得或．

17.【答案】

b=c=2

18.【答案】解：（1）∵=，∴==，

化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，

∴cos（B+A）=sinB，

∴-cosC=sinB，C=，

∴sinB=，

∵0＜B＜，∴B=．

（2）由（1）可得：-cosC=sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），

∴C为钝角，B，A都为锐角，B=C-．

sinA=sin（B+C）=sin（2C-）=-cos2C，

=====+4sin2C-5

​​​​​​​≥2-5=4-5，当且仅当sinC=时取等号．

∴的最小值为4-5．

19.【答案】解：（1）（ⅰ）因为=3+，=+，

又单位向量，则=||||cos60°=，

所以=32+2+4=3+1+4×=6；

（ii）不存在，理由如下：假设y轴上存在一点C，使得ABC是以AB为斜边的直角三角形，

依题意得：，

可得=-=m-（3+）=-3+，

=-=m-（+）=-+，

因为AB为斜边，则AC⊥BC，即=0，

所以[-3+][-+​​​​​​​]=32+(m-1)22-4(m-1)=0，

化简可得m2-4m+6=0，

因为Δ＜0，所以方程无解，

即y轴上不存在一点C，使得​​​​​​​ABC是以AB为斜