华东师大版初中数学八年级下册函数及其图象教案

华东师大版初中数学八年级下册函数及其图象教案

一、教材与学情分析

本章内容隶属于“数与代数”领域，是学生数学学习历程中的一次重大飞跃。在小学阶段，学生已经接触了简单的变量关系（如正比例关系）和用字母表示数，在七年级及本册前期，系统学习了平面直角坐标系，掌握了用有序实数对表示点的位置的方法，这为本章学习奠定了必要的认知基础。

函数是描述现实世界中变量之间依赖关系的核心数学模型，是贯穿初等数学乃至高等数学的主线。本章首次正式引入函数的一般性概念，从具体实例中抽象出函数的本质特征——“一个变量随着另一个变量的变化而变化，并且对于每一个确定的自变量值，因变量有唯一确定的值与之对应”。随后，重点研究两类最基本、应用最广泛的函数：一次函数（含正比例函数）及其图象与性质。

从思维发展角度看，本章学习要求学生实现从静态的、具体的算术思维向动态的、抽象的代数思维，特别是函数思维的转变。学生需要理解“变化过程”，并用解析式、列表、图象等多种方式表征这一过程，体会数形结合思想的威力。八年级学生正处于抽象逻辑思维发展的关键期，具备一定的归纳概括能力，但对“任意性”、“唯一性”等抽象概念的理解，以及将多种表示方式建立联系的能力仍存在挑战。教学中需通过大量源自生活、科技、自然等跨学科领域的生动实例，搭建从具体到抽象的桥梁，引导学生在探索中自主建构函数概念，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。

二、核心素养与教学目标

（一）核心素养培育指向

1.数学抽象：从大量具体实例中，剥离非本质属性，抽象概括出函数概念的本质特征，形成函数定义。

2.逻辑推理：在探究函数图象性质的过程中，经历从特殊到一般的归纳推理和依据定义进行说理的演绎推理。

3.数学建模：识别现实问题中的变量关系，选择或建立适当的函数模型进行刻画、分析与预测。

4.直观想象：通过绘制和观察函数图象，获得函数性质的直观感知，建立数与形之间的紧密联系。

5.数学运算：熟练进行涉及函数表达式的代数运算，特别是求函数值、确定解析式等。

（二）单元教学目标

1.理解函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否为函数关系，并能用解析法、列表法、图象法表示简单实际问题中的函数关系。

2.理解并掌握平面直角坐标系中描点法作图的一般步骤，能画出简单函数的图象。

3.理解一次函数（包括正比例函数）的概念，能根据已知条件确定一次函数的解析式。

4.理解并掌握一次函数（包括正比例函数）的图象（一条直线）及其性质（增减性、与坐标轴交点等），理解比例系数k和常数项b的几何意义。

5.能利用一次函数的图象和性质解决简单的实际问题，如最优方案选择、运动行程问题等，初步体会函数思想的应用价值。

6.经历函数概念的抽象过程、函数图象的探索过程，体会数形结合思想、模型思想，提升发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

三、教学重点与难点

教学重点：

1.函数概念的建构与理解。

2.一次函数的概念、图象与性质。

3.用待定系数法确定一次函数解析式。

4.利用一次函数模型解决简单的实际问题。

教学难点：

1.函数概念中“变化”与“对应”的深刻理解，尤其是“对于自变量每一个确定的值，因变量有唯一确定的值与之对应”这一本质特征的把握。

2.从函数图象中有效获取信息，并根据性质反过来推断解析式中参数的特征，实现“数”与“形”的自由转换与相互印证。

3.在实际问题情境中识别函数关系，并建立相应的函数模型。

四、教学策略与方法

1.情境驱动与问题链引导：创设贯穿始终的真实、跨学科问题情境（如新能源汽车续航、弹簧伸长、地形坡度、经济增长等），设计环环相扣的问题链，激发学生探究欲望，驱动概念的自然生成和深化。

2.探究发现与归纳概括：在函数概念引入和一次函数性质探究环节，采用小组合作探究模式，让学生通过操作（列表、描点、画图）、观察、比较、归纳，自主发现规律，教师进行精准点拨与升华。

3.信息技术深度融合：充分利用动态几何软件（如Geogebra）或图形计算器，动态演示变量间的依赖关系、函数图象的生成过程以及参数变化对图象的影响，将抽象的“变化”与“对应”直观化，突破教学难点。

4.大概念统整与跨学科联系：以“变化与关系”为大概念统整本章教学，明确函数作为刻画现实世界变化规律的基本数学模型这一核心地位。加强与物理（匀速运动、欧姆定律）、地理（气温变化）、经济（成本收益）等学科的联系，展现函数的普适性。

5.变式教学与分层练习：设计概念辨析、图象识别、参数讨论、模型构建等多层次的变式练习，满足不同层次学生的学习需求，促进知识的深度理解与灵活迁移。

五、教学资源与工具准备

1.教师准备：多媒体课件（包含丰富的情境素材、动画演示、探究问题）、动态数学软件（如Geogebra）、实物投影仪、导学案。

2.学生准备：预习教材内容，准备坐标纸、直尺、铅笔、计算器（或装有数学学习APP的平板电脑）。

3.环境准备：具备小组讨论条件的教室布局，支持无线投屏的多媒体教学环境。

六、教学过程设计（分课时详案）

第一课时：初识函数——变化中的对应关系

（一）创设情境，感知“变化”

情境一：新能源汽车行驶。

显示一段新能源汽车仪表盘动画：车辆行驶，里程表读数s（km）随时间t（h）变化。记录一组数据：t=0,s=0;t=0.5,s=40;t=1,s=80;t=1.5,s=120;t=2,s=160。

问题链1：

（1）在这个变化过程中，有哪些量？哪些量是变化的？哪些量是固定不变的？（速度v=80km/h）

（2）你能写出里程s与时间t之间的关系式吗？（s=80t）

（3）当t取0.5,1,1.5时，s的值是多少？t的值确定时，s的值是否唯一确定？

（4）如果时间t取任意一个值，s的值是否都唯一确定？

情境二：水库水位变化。

展示某水库24小时内水位记录图（曲线图），横轴为时间t（时），纵轴为水位h（米）。

问题链2：

（1）水位是变化的吗？随时间变化吗？

（2）对于图中的每一个确定的时刻t（如t=6，t=12），是否都有唯一确定的水位高度h与之对应？

（3）你能根据图象说出上午8时和下午4时的水位大约是多少吗？

（二）合作探究，抽象本质

活动：分析下列问题中的变量关系。

1.某地一天的气温T随时间t的变化而变化。

2.圆的面积S随半径r的变化而变化，S=πr²。

3.某电影票售价60元，票房收入y元随售出票数x张的变化而变化，y=60x。

4.一个数值转换机：输入一个数x，输出数y遵循规则：y=2x+1。

5.小明身高变化记录：年龄增长，身高增加。（强调：对于一个年龄，身高唯一吗？可能存在测量误差，但理论上在某一精确时刻，身高是唯一的。也可引出“非函数”例子对比，如一个x对应多个y的情况）。

小组讨论：

（1）以上各问题中，分别有哪些变量？

（2）一个变量变化时，另一个变量是否随之变化？

（3）当其中一个变量取定一个值时，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应？

（三）归纳定义，明晰概念

引导学生用数学语言描述以上各例的共同特征。

教师板书函数定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。

关键点辨析：

1.“一个变化过程”：强调动态背景。

2.“两个变量”：主角是变量。

3.“x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”：这是函数概念的核心。通过反例（如y=±√x，在实数范围内，当x>0时，一个x对应两个y）强化理解。

4.自变量的“取值范围”（定义域）的初步认识：根据实际意义或数学规则确定。如s=80t中，t≥0；S=πr²中，r>0。

（四）多元表示，深化理解

以y=2x+1为例，展示函数的三种常用表示方法：

1.解析式法：y=2x+1。简洁、精确，便于推导计算。

2.列表法：选取自变量x的一些值，算出对应y值，列成表格。直观显示对应值。

x…-2-1012…

y…-3-1135…

3.图象法：将表格中的每一组对应值作为点的坐标，在坐标系中描点。直观显示变化趋势。

演示描点过程：(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5)。观察这些点的分布特征（位于一条直线上）。

强调：三种方法各有优势，相辅相成，本质是同一函数关系的不同表现形式。

（五）巩固练习，初步应用

1.判断下列关系是否是函数关系（若是，指出自变量）：

（1）匀速运动中，路程s与时间t的关系（s=vt）。

（2）等腰三角形的底角度数y与顶角度数x的关系（y=(180°-x)/2）。

（3）某人身高与体重的关系。

（4）一个数x的平方根是y。

2.已知函数y=3x-5，完成表格，并求当x=10时y的值；当y=7时x的值。

x…-1012…

y……

3.根据给出的图象（简单的折线图或曲线图），回答：y是x的函数吗？为什么？从图象中你能读取哪些信息？

（六）课堂小结与作业

小结：本节课我们通过丰富的实例，经历了从具体现象中抽象出数学概念的过程，认识了函数这一刻画变量间依赖关系的强大工具。理解了函数的本质是“对应”，并初步了解了函数的三种表示方法。

作业：

1.基础作业：教材配套练习，巩固函数概念。

2.探究作业：寻找生活中三个不同的函数关系实例，尝试用语言、解析式、表格或草图中的至少两种方式描述它。

第二课时：一次函数的概念

（一）复习回顾，引入新知

复习提问：什么是函数？函数的表示方法有哪些？

呈现上节课的部分实例：s=80t，y=60x，y=2x+1。

引导学生观察这些函数解析式的共同结构特征。

（二）观察归纳，形成概念

将上述解析式与更多例子并列：

1.某弹簧原长10cm，每挂1kg重物伸长0.5cm，挂重物后弹簧总长y(cm)与所挂重物质量x(kg)的关系：y=0.5x+10。

2.某辆汽车油箱原有汽油50升，汽车每行驶1千米耗油0.1升，油箱剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)的关系：y=50-0.1x或y=-0.1x+50。

3.正方形周长C与边长a的关系：C=4a。

4.某通讯公司手机月租费20元，通话费每分钟0.2元，本月话费y(元)与通话时间x(分钟)的关系：y=0.2x+20。

小组合作：对上述所有函数解析式进行结构分析。

引导性问题：

1.这些解析式是关于自变量的几次式？（一次）

2.自变量的系数有什么特点？（常数）

3.常数项有什么特点？（常数）

4.你能用一个统一的形式来表示它们吗？

归纳得出：这些函数都可以表示为形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的形式。

给出定义：一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。其中x是自变量，y是x的函数。

特别地，当b=0时，一次函数y=kx（k是常数，k≠0）也叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。

强调：k≠0的重要性。若k=0，则y=b，这是常函数，其图象是平行于x轴的直线，它虽然也是函数，但不属于一次函数范畴（在本章定义下）。

（三）概念辨析，深化理解

1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？指出k和b的值。

（1）y=-3x（2）y=2/x（3）y=0.5x+7（4）y=2x²+1

（5）y=1-4x（6）C=2πr（7）y=5（8）3x+2y=6（需变形）

2.若函数y=(m-2)x^(|m|-1)+3是关于x的一次函数，求m的值。（强调k=m-2≠0，且自变量指数为1）

3.写出一个满足条件：图象经过点(0,-2)的一次函数解析式。（答案不唯一，如y=x-2，强调b=-2）

（四）联系实际，建立模型

例题：我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于5000元的部分不收税；月收入超过5000元但低于8000元的部分征收3%的税……试写出月收入高于5000元但低于8000元时，应缴所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式，并判断它是否为一次函数。

分析：应纳税所得额=x-5000，税率3%，故y=0.03(x-5000)=0.03x-150(5000<x<8000)。

这是一次函数，k=0.03，b=-150。

引导学生讨论自变量x的取值范围（5000<x<8000）的实际意义。

（五）拓展思考

思考：正比例函数y=kx的图象可能经过哪些象限？这与比例系数k有什么关系？为下节课画图象作铺垫。

（六）课堂小结与作业

小结：本节课我们从具体实例中抽象出了一次函数（含正比例函数）的数学模型，理解了其解析式的结构特征，并能够识别和构造简单的一次函数。

作业：

1.基础作业：教材练习，巩固一次函数概念。

2.应用作业：调查你家用电、用水或燃气情况，尝试建立月度费用与使用量之间的一次函数模型（需要考虑阶梯定价吗？如何分段处理？）。

第三、四课时：一次函数的图象与性质（一）（二）

（一）温故知新，动手操作

复习：函数图象的概念（点的集合）。正比例函数y=kx是最简单的一次函数，我们从它开始研究。

活动1：画正比例函数y=2x的图象。

步骤：

1.列表：选取自变量x的一些值（建议包含负数、0、正数），计算对应y值。

x…-2-1012…

y…-4-2024…

2.描点：在直角坐标系中，以表中各对值为坐标描点。

3.连线：观察所描点的排列趋势，用平滑的直线连接这些点。

提问：这些点在同一条直线上吗？为什么？（可通过计算斜率验证，或由解析式y=2x知，任意两点纵坐标之比等于横坐标之比，满足共线条件）

结论：正比例函数y=2x的图象是一条经过原点(0,0)和点(1,2)的直线。

活动2：分组合作，画下列正比例函数的图象。

第一组：y=-2x

第二组：y=0.5x

第三组：y=-0.5x

各组完成列表、描点、连线，并将所画直线画在同一坐标系（课前准备好的坐标纸或使用Geogebra共享文件）中进行比较。

（二）观察比较，归纳性质

引导全体学生观察四个函数的图象（使用实物投影或屏幕共享展示各组结果）。

问题链：

1.这些图象都是什么图形？（直线）是否都经过原点？（是）

2.哪些直线从左向右呈上升趋势？哪些呈下降趋势？

上升：y=2x,y=0.5x；下降：y=-2x,y=-0.5x。

3.直线的上升/下降趋势与解析式中的哪个参数有直接关系？是什么关系？

归纳：当k>0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大（增函数）；当k<0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小（减函数）。

4.观察k=2和k=0.5的直线，哪个更“陡峭”？k=-2和k=-0.5呢？

归纳：|k|的大小反映了直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，越靠近y轴；|k|越小，直线越平缓，越靠近x轴。k称为斜率。

5.所有这些直线都经过哪个特殊的点？（原点(0,0)）这由解析式的什么特点决定？（b=0）

（三）探究一般一次函数y=kx+b的图象

提问：一次函数y=kx+b（b≠0）的图象又会是什么形状？它与正比例函数y=kx的图象有什么关系？

活动3：在同一直角坐标系中画出函数y=2x,y=2x+1,y=2x-1的图象。

（学生独立或小组完成列表、描点、连线，或由教师用Geogebra动态演示）

观察与发现：

1.三条直线的倾斜程度一样吗？（一样，因为k相同，都是2）

2.它们的位置关系如何？（平行）

3.直线y=2x+1和y=2x-1可以看作是由直线y=2x怎样移动得到的？

（向上平移1个单位得到y=2x+1；向下平移1个单位得到y=2x-1）。

4.直线y=2x+1与y轴的交点坐标是什么？(0,1)直线y=2x-1与y轴的交点坐标是什么？(0,-1)。这个交点坐标与解析式中的b有什么关系？（b就是直线与y轴交点的纵坐标，称为截距）

猜想：对于一次函数y=kx+b，其图象是一条直线，它与y轴交于点(0,b)。当b>0时，直线交于y轴正半轴；当b<0时，交于y轴负半轴；当b=0时，即为正比例函数，过原点。

这条直线与正比例函数y=kx的图象平行。直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（b>0向上，b<0向下）。

（四）验证猜想，总结“两点法”作图

通过几何画板动态演示，改变k和b的值，验证上述关于图象位置、倾斜度、平移关系的猜想。

总结一次函数图象的特征：

1.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，我们称之为直线y=kx+b。

2.画一次函数图象只需确定两个点，因为两点确定一条直线。通常选取直线与两坐标轴的交点（0,b）和（-b/k,0），但计算简便为原则，也可选其他易算点。

3.性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

（2）|k|决定直线的倾斜程度：|k|越大，直线越陡。

（3）b决定直线与y轴交点的位置。

（4）两直线位置关系：若k1=k2，则两直线平行；若k1≠k2，则两直线相交。

（五）综合应用，数形互译

例题：已知一次函数y=(2m+1)x+m-3。

（1）当m为何值时，函数图象经过原点？

（2）当m为何值时，y随x的增大而减小？

（3）当m为何值时，函数图象与y轴交点在x轴下方？

（4）当m为何值时，函数图象平行于直线y=3x-5？

（5）若函数图象不经过第二象限，求m的取值范围。

分析：将函数性质的条件翻译为关于参数m的不等式（组）进行求解。

（1）过原点⇒b=m-3=0且k=2m+1≠0⇒m=3。

（2）y随x增大而减小⇒k=2m+1<0⇒m<-0.5。

（3）与y轴交点在x轴下方⇒b=m-3<0⇒m<3。

（4）平行于y=3x-5⇒k=2m+1=3⇒m=1。

（5）不经过第二象限⇒图象可能过一、三、四象限或一、三象限。⇒k>0且b≤0⇒2m+1>0且m-3≤0⇒-0.5<m≤3。

（六）课堂小结与作业

小结：本节课我们通过“描点作图-观察比较-归纳猜想-验证应用”的过程，探索了一次函数的图象特征及其性质，掌握了“两点法”作图，并学会了从“数”（解析式）和“形”（图象）两个角度理解和研究函数，这是重要的数学思想方法。

作业：

1.基础作业：用两点法画出指定一次函数的图象，并根据图象指出其增减性、与坐标轴交点。

2.拓展作业：尝试用Geogebra等软件，通过滑动条改变k和b的值，动态观察一次函数图象的变化，写一份简短的观察报告。

第五、六课时：用待定系数法求一次函数解析式

（一）问题导入，激发需求

情境：某科研团队监测一种微生物的繁殖数量。已知其数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：天）近似成一次函数关系。他们测得两组数据：第2天有5百万个，第4天有9百万个。

问题：你能据此求出y与x之间的函数关系式吗？并预测第7天的数量。

（二）探究方法，形成策略

学生尝试解决。

引导：既然y是x的一次函数，可设其解析式为y=kx+b(k≠0)。

现在的目标是确定k和b这两个未知常数。已知条件是什么？当x=2时，y=5；当x=4时，y=9。

如何利用这两个条件？

将这两组对应值代入所设解析式，得到关于k和b的二元一次方程组：

2k+b=5

4k+b=9

解这个方程组，得k=2,b=1。

所以函数解析式为y=2x+1。

验证：当x=7时，y=2×7+1=15（百万个）。

教师归纳：像这样，先设出含有未知系数的函数解析式，再根据已知条件列出方程（组），求出未知系数，从而得到函数解析式的方法，叫做待定系数法。

关键步骤：一设、二代、三解、四写。

（三）典例剖析，掌握类型

类型一：已知两点求解析式。

例1：已知一次函数图象经过点A(3,5)和B(-2,-5)，求这个一次函数的解析式。

解：设一次函数解析式为y=kx+b。

将A(3,5)，B(-2,-5)代入得：

3k+b=5

-2k+b=-5

解得：k=2,b=-1。

∴函数解析式为y=2x-1。

类型二：已知图象的斜率和一点求解析式。

例2：已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x平行，且经过点(1,-1)，求其解析式。

分析：平行⇒k相同，即k=2。再代入点(1,-1)求b。

解：∵图象与y=2x平行，∴k=2。

设解析式为y=2x+b。

将(1,-1)代入得：2×1+b=-1⇒b=-3。

∴函数解析式为y=2x-3。

类型三：已知截距和一点求解析式。

例3：已知一次函数图象与y轴交点的纵坐标为-3，且经过点(2,1)，求其解析式。

分析：与y轴交点纵坐标即为b的值，b=-3。

解：由题意，b=-3。

设解析式为y=kx-3。

将(2,1)代入得：2k-3=1⇒k=2。

∴函数解析式为y=2x-3。

（四）变式练习，灵活运用

1.已知y是x的正比例函数，且当x=-2时，y=4，求这个正比例函数解析式。

2.已知一次函数图象经过点(0,3)和(1,2)，求其解析式。

3.若一次函数y=kx+b，当x=1时y=5；当x=-1时y=1。求k和b。

4.将直线y=3x-2向上平移5个单位长度，求平移后直线的解析式。（两种方法：待定系数法；利用平移规律“上加下减”）

5.某一次函数的图象过点(0,-4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求此函数的解析式。（综合题，注意多解情况）

（五）联系实际，建模求解

回到导入问题，进行变式：如果发现第6天的数量是13百万个，与用y=2x+1算出的结果一致吗？如果不一致，说明什么？（可能存在误差或并非严格一次函数）我们应如何处理实际数据？（用更精确的测量或更复杂的模型）

（六）课堂小结与作业

小结：待定系数法是求函数解析式的一种通用且重要的方法。其核心思想是方程思想。对于一次函数，需要两个独立条件来确定两个未知系数。解题时要善于根据条件特点，灵活设置解析式形式（如正比例函数设y=kx，已知斜率设y=kx+b其中k已知等）。

作业：

1.基础作业：完成不同条件下的待定系数法求解析式练习题。

2.实践作业：记录自己连续5天完成某项学习任务（如背诵单词）的累计数量，假设它符合一次函数增长模型，用待定系数法求出函数解析式，并预测未来两天的数量。

第七、八课时：一次函数的应用

（一）复习巩固，构建联系

快速回顾：一次函数解析式、图象、性质（增减性、与坐标轴交点）、待定系数法。

强调：函数的价值在于应用。应用的关键在于将实际问题“数学化”，即建立函数模型。

（二）典型应用问题解析

类型一：方案比较与决策问题。

例题：某学校计划购买若干台电脑。市场有两家供应商：甲店报价每台2000元，并承诺提供免费运输和安装；乙店报价每台1950元，但不承担运输，需学校另付运输费，总计约800元（视为固定费用）。问学校应如何选择供应商？

分析：

1.设学校购买x台电脑，在甲、乙两店的总费用分别为y甲元、y乙元。

2.建立函数模型：

y甲=2000x。

y乙=1950x+800。

3.这是一个比较y甲和y乙大小的问题。可以解不等式，也可以从函数图象角度分析。

方法一（代数法）：

令y甲=y乙，即2000x=1950x+800，解得x=16。

当x<16时，y甲<y乙，选甲店划算。

当x>16时，y甲>y乙，选乙店划算。

当x=16时，两家费用相同，任选。

方法二（图象法）：

在同一坐标系中画出y甲=2000x和y乙=1950x+800的图象（两条直线）。

找到交点（16,32000）。观察图象，在交点左侧，y甲的图象在下，费用低；在交点右侧，y乙的图象在下，费用低。

4.结论：根据学校计划购买的数量做出决策。

延伸：若乙店也推出优惠，如超过20台后每台再降50元，应如何建模？（分段函数）

类型二：行程问题（与图象结合）。

例题：甲、乙两人沿相同路线从A地到B地。图中给出甲的路程s（千米）与时间t（小时）的函数关系（一条过原点的直线）。乙晚出发1小时，图中给出乙的路程s与时间t的函数关系（一条从(1,0)开始的直线）。根据图象解决：

（1）求甲、乙的速度。

（2）求乙的s与t的函数关系式。

（3）乙出发后几小时追上甲？此时距A地多远？

分析：此问题关键在于从图象中准确提取信息。

（1）甲图象过原点，是正比例函数。从图象上取一点（如t=4,s=24），得v甲=24÷4=6（千米/时）。

乙图象起点为(1,0)，说明t=1时出发。取乙图象上一点（如t=5,s=24），从出发到此时用时4小时，走24千米，v乙=24÷4=6（千米/时）？等等，发现与甲速度相同。但图象中乙线更陡？仔细看：乙在t=1到t=5期间（共4小时）走了（24-0）=24km，速度是6km/h。甲在同样时间段（t=1到t=5）走了（30-6）=24km？需要从甲线读取t=1时s=6km。说明甲先走了1小时6km。速度也是6km/h。原来两人速度相同！那为什么乙能追上甲？因为甲先走，但乙在后面追。速度相同则永远追不上。但图象显示乙线在t=3时与甲线相交？这提示我们需要精确读图或重新审视。

（此例题设计需确保图象准确，通常会让乙的速度大于甲，才能追上。假设修正：乙图象经过点(3,24)，则乙从出发到此时用2小时走24km，v乙=12km/h。）

（2）设乙的解析式为s=kt+b。因其过(1,0)和(3,24)，代入解得k=12,b=-12。∴s乙=12t-12(t≥1)。

（3）追及时，s甲=s乙。甲的函数为s甲=6t（从其图象过原点得）。由6t=12t-12，解得t=2。即乙出发后t-1=1小时追上甲。此时s=6×2=12千米。

类型三：最大利润或最低成本问题（简单情形）。

例题：某工厂生产某种产品，每日固定成本为200元，每生产一件产品，成本增加5元。该产品出厂价为每件8元。设每日生产x件（x为正整数）。

（1）写出每日总成本C（元）与产量x（件）的函数关系。

（2）写出每日销售额R（元）与产量x（件）的函数关系。

（3）写出每日利润L（元）与产量x（件）的函数关系，并求日产量为多少时，每日利润最大？最大利润是多少？（假设产品全部售出）

分析：

（1）C=固定成本+可变成本=200+5x。

（2）R=单价×销量=8x。

（3）L=R-C=8x-(200+5x)=3x-200。

由于L是x的一次函数，且k=3>0，L随x增大而增大。但在实际问题中，x受生产能力等限制。若没有其他限制，从数学角度看，x越大L越大，无最大值。若规定x≤100，则当x=100时，L最大=3×100-200=100元。

此例可引出对自变量取值范围的讨论，以及一次函数在闭区间上的最值问题（在端点取得）。

（三）综合实践与建模

项目式学习任务（小组合作）：

背景：为班级春游选择租车公司。

信息收集（模拟或真实）：A公司：45座大巴，每辆每天租金500元；B公司：30座中巴，每辆每天租金400元。班级共有师生若干人（如180人）。

任务：

1.分别写出租用A公司车和B公司车所需总租金y（元）与车辆数x（辆）的函数关系。注意：车辆数必须是整数，且座位数需大于等于人数。

2.在同一坐标系中画出两个函数的图象（离散点图）。

3.设计几种租车方案（可以混租），计算每种方案的总租金和空座位数。

4.从经济性和舒适性（空座率）等角度，为班级提出建议方案。

5.