2021-2025五年高考数学真题分类汇编 专题20 概率与随机变量及分布列7种常见考法归类（学生版+解析版）

五年真题(2021-2025)专题20概率与随机变量及分布列7种常见考法归类五年考情(2021-2025)知识1概率考点01古典概型1.概率部分对古典概型、相互独立事件、条件概率与全概率公式均有考查，且频率较为均匀，说明这些基础概率模型是2.随机变量及分布列部分，求离散型随机变量的均值是高频考点，二项分布、正态分布也时有涉及，体现了对离散型随机变量相关知识的重视，尤其是均值作为反映随机变量取值平均水平的重要指标，是考查量及分布列考点01古典概型1.(2023·全国甲卷·高考真题)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()2.(2023·全国乙卷·高考真题)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()3.(2024·全国甲卷·高考真题)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是()4.(2022·全国甲卷·高考真题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到A.0.3B.0.5C.0.68.(2024全国甲卷·高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为·9.(2022·上海·高考真题)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为;10.(2022·全国甲卷·高考真题)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为__·11.(2022·全国乙卷·高考真题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为·12.(2023·北京·高考真题)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段第1天到第20天++0++0+0++00+0++0++0+0++0+用频率估计概率.(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)13.(2021-新高考全国I卷·高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立14.(2025·上海·高考真题)己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为,事件B发生的概率为,则事件A∩B发生的概率P(A∩B)为()15.(2023·天津·高考真题)把若干个黑球和白球(这些球除颜色外无其它差异)放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_;若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率16.【多选】(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<a<1),收到0的概率为1-α;发送1时，收到0的概率为β(O<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)²B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)²C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)²+(1-β³D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P₁,P₂,P₃,且P₃>P₂>p₁>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛?(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛?19.(2023-全国甲卷·高考真题)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的的概率为()分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为P₁,P₂,判断P₁与P₂的大小(结论不要求证明).若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为;若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X,则期望E(X)=.组距(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间(40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间(40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).26.(2025·上海·高考真题)已知随机变量X的分布则期望E[X]=.27.(2024-新课标I卷·高考真题)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为28.(2022·浙江·高考真题)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=_·29.(2021-浙江·高考真题)袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n=_,E(ξ)=.30.(2025·全国一卷·高考真题)一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X,则数学期望E(X)=._31.(2021-新高考全国I卷·高考真题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.32.(2024·北京·高考真题)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：01234赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.(i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X);(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)33.(2023·上海·高考真题)21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观823内饰，求P(B),P(B|A),并据此判断事件A和事件B是否独立；假设1:每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但假设2:该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。假设3:每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是X,写出X的分布，并求X的数学期望。XP上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X);(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.则P(X>2.5)=A.若X～N(μ,a²),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)B.若X:N(1,2²),Y~N(2,2²),则P(X<1)<P(Y<2)C.|越接近1,相关性越强D.|越接近0,相关性越弱A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5考点07概率与其他知识的综合中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……,该微生(1)已知Po=0.4,p₁=0.3,p₂=0.2,p₃=0.1,求E(X);(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.五年真题(2021-2025)五年真题(2021-2025)专题20概率与随机变量及分布列7种常见考法归类五年考情(2021-2025)知识1概率考点01古典概型1.概率部分对古典概型、相互公式均有考查，且频率较为均匀，说明这些基础概率模型是2.随机变量及分布列部分，求离散型随机变量的均值是高频考点，二项分布、正态分布也时有涉及，体现了对离散型随机变量相关知识的重视，尤其是均值作为反映随机变量取值平均水平的重要指标，是考查量及分布列考点01古典概型1.(2023·全国甲卷·高考真题)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C²=6件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C'C₂=4,所以这2名学生来自不同年级的概率为准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：甲123456123456因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率故选：A3.(2024·全国甲卷·高考真题)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是()【答案】C【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，出场次序共有24种，其中符合题意的出场次序共有8种，故所求概率解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲最后出场共4种方法，同理乙最后出场共4种方法，于是共8种出场顺序符合题意；基本事件总数显然是A⁴=24,根据古典概型的计算公式，所求概率为故选：C4.(2022·全国甲卷·高考真题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()【答案】C【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】[方法一]:【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为[方法二]:有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；5.(2022·新高考全国I卷·高考真题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C²=21种不同的取法，故所求概率6.(2021·全国甲卷·高考真题)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.0.3B.0.5C.0.6【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,1共6种方法，故2个0不相邻的概率为7.(2021·全国甲卷·高考真题)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()DD【答案】C【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C₅=5种排法，若2个0不相邻，则有C²=10种排法，所以2个0不相邻的概率为8.(2024全国甲卷·高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的概率为·【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则a+b-3≤2c≤a+b+3,就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A³=120种，设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则故|2c-(a+b)|≤3,故-3≤2c-(a+b)≤3,故a+b-3≤2c≤a+b+3,若c=1,则a+b≤5,则(a,b)为：(2,3),(3,2),故有2种，当c=3,则3≤a+b≤9,则(a,b)为：故有16种，当c=4,则5≤a+b≤11,同理有16种，当c=5,则7≤a+b≤13,同理有10种，共m与n的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,9.(2022·上海·高考真题)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为;【答案】【分析】【详解】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方 【答案】11.(2022·全国乙卷·高考真题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的 【答案】【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1),(甲，乙，2),(甲，乙，3),(甲，1,2),(甲，1,3),(甲，2,3),(乙，1,2),(乙，1,3),(乙，2,3),(1,2,3),共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率故答案为：解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C³=10甲、乙都入选的方法数为C₃=3,所以甲、乙都入选的概率故答案为：12.(2023-北京·高考真题)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段第1天到第20天++0++0+0++00+0++0++0+0++0+用频率估计概率.(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)【答案】(1)0.4【分析】(1)计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；(2)分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；(3)通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【详解】(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个+,也就是有16天是上涨的，(2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4,0.35,于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C²×0.4²×C₂×0.35×0.25=0.168(3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.考点02相互独立事件13.(2021-新高考全国I卷·高考真题)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】【点睛】判断事件A,B是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立为则事件AnB发生的概率P(AB)为()【答案】B【分析】根据独立事件的概率公式可求P(A∩B).【详解】因为A,B相互独立，故箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为;若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率【答案】0.05【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空.【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n,所以总数为15n,所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n;乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n;丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n;记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以，记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”黑球总共有2n+n+3n=6n个，白球共有9n个，所以，故答案为：16.【多选】(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<a<1),收到0的概率为1-α;发送1时，收到0的概率为β(O<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-a)(1-β)²B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)²C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)²+(1-β³D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB;利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C;求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-β)(1-a)(1-β)=(1-α)(1-β)²,A正确；对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为Cβ(1-β)²+(1-β³=(1-β)²(1+2β),C错误；对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(1-α)²(1+2α),单次传输发送0,则译码为0的概率P=1-α,而0<a<0.5,因此P-P′=(1-a)²(1+2α)-(1-α)=a(1-a)(1-2α)>0,故选：ABD【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.17.(2022·全国乙卷·高考真题)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P₁,P₂,P₃,且P₃>P₂>P₁>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确.解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为则此时连胜两盘的概率为P甲记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为P乙，则P乙=(1-P)P₂P₃+P₁P₂(1-P₃)=P₂(P₁+P₃)-2p₁P₂P₃记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P丙则P丙=(1-P₁)P₃P₂+P₁P₃(1-P₂)=P₃(P₁+P₂)-2p₁P₂P₃则P甲-P乙=p₁(P₂+P₃)-2P₁P₂P₃-[P₂(P₁+P₃)-2p₁P₂P₃]=(PP乙-P丙=P₂(P₁+P₃)-2P₁P₂P₃-[p₃(p₁+P₂)-2P₁P₂P₃]=(P₂-P₃)P₁<0则该棋手在第二盘与丙比赛，P最大.选项D判断正确：选项BC判断错误；P与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛?(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛?【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；(2)(i)首先各自计算出1P=[1-(1-p³]q³,P=[1-(1-4)³]·p³,得到X和Y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率1P=(1-0.6³)(1-0.5³)=0.686.(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P=[1-(1-p³]q³,若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P=[1-(1-4³]·p³,=(q-p)(q²+pq+p²)+(p-q)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3p∴P>P,应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,P(X=0)=(1-p³+[1-(1-p³P(X=5)=[1-(1-p)³]cq-(1-q)²,记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15,同理E(Y)=15(q³-3q²+3q)·p则(p-q)pq(p+q-3)>0,∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.考点03条件概率与全概率公式19.(2023全国甲卷·高考真题)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()A.0.8B.0.6C.0.5【答案】A【分析】先算出同时爱好两项的概率，利用条件概率的知识求解.【详解】同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=0.4,所以20.(2024·天津·高考真题)某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为:已知乙同学参加的3个项目中有“整【答案】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空.【详解】解法一：列举法给这5个项目分别编号为A,B,C,D,E,F,从五个活动中选三个的情况有：则甲参加“整地做畦”的概率为：乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,其中再选择D有3种可能性：ABD,ACD,ADE,故乙参加的3个项目中有“整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为解法二：设甲、乙选到A为事件M,乙选到D为事乙选了A活动，他再选择D活动的概率为故答案为：21.(2022·天津·高考真题)52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为_;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为【答案】【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则故答案为：22.(2024·上海·高考真题)某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，已知小申完成A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是_·【答案】0.85【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，A,B,C题库的比例为：5:4:3,各占比分别为则根据全概率公式知所求正确率故答案为：0.85.23.(2025·北京·高考真题)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为P₁,P₂,判断P₁与P₂的大小(结论不要求证明).【分析】(1)用频率估计概率即可求解；(2)利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及X的分布列，从而可求其期望；(3)根据题设可得关于P,P₂的方程，求出其解后可得它们的大小关系.【详解】(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率(2)设A为“从甲校抽取1人做对”,则P(A)=0.8,P(A)=0.2,设B为“从乙校抽取1人做对”,则P(B)=0.75,P(A)=0.25,设C为“恰有1人做对”,故P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35依题可知，X可取0,1,2,P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.故X的分布列如下表：X012P故E(X)=1×0.35+2×0.6=1(3)设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”,因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，24.(2025·天津·高考真题)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为_;若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X,则期望E(X)=【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解.【详解】设小桐一周跑11圈为事件A,设第一次跑5圈为事件B,设第二次跑5圈为事件C,则P(A)=P(B)P(C|B)+P(B)P(C|B)=0.5×0.6若至少跑11圈为运动量达标为事件D,P(D)=P(A)+P(B)p(CIB)=0.6+0.5×0.4=0.8,故答案为：0.6;3.225.(2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：组距0.0205060708090年龄(岁)(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50]的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间(40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70]},根据对(3)根据条件概率公式即可求出.【详解】(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B|C)=0.023×1则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间(40,50),此人患这种疾病的概率为考点04求离散型随机变量的均值26.(2025·上海·高考真题)已知随机变量X的分布,则期望E[X]=_【答案】6.3【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.【详解】由题设有E[x]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3.故答案为：6.3.27.(2024-新课标I卷·高考真题)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为·【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为X₁,X₂,X₃,X₄,四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率,所以记Pk=P(X=k)(k=0,1,2,3).如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以而X的所有可能取值是0,1,2,3,故Po+P₁+P₂+P₃=1,所以甲的总得分不小于2的概率为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.28.(2022·浙江·高考真题)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=_【答案】【分析】利用古典概型概率公式求P(ξ=2),由条件求ζ分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C³种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有C₄+C₂C²种，所以由已知可得ξ的取值有1,2,3,4,所以故答案为：29.(2021-浙江·高考真题)袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n=,E(ξ)=.【答案】工【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得m,n的值，再根据随机变量ξ的分布列即可求出E(ξ).由于故答案为：1;30.(2025·全国一卷·高考真题)一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X,则数学期望E(X)=·【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得X的分布列，从而求得E(X);法二，根据题意假设随机变量X,利用对立事件与独立事件的概率公式求得E(X,),进而利用数学期望的性质求得E(X).【详解】法一：依题意，X的可能取值为1、2、3,总的选取可能数为5³=125,其中X=1:三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，X=2:恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次),选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60种，X=3:三种不同球被取出，由排列数可知事件X=3的可能情有况5×4×3=60种，故所以E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)故答案为：法二：依题意，假设随机变量X,其中i=1,2,3,4,5:其中由于球的对称性，易知所有E[X;]相等，则由期望的线性性质，得由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为由于抽取独立，三次均未取出球i的概率为因此球i至少被取出一次的概率为：所以故答案为：31.(2021-新高考全国I卷·高考真题)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)B类.【分析】(1)通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.(2)与(1)类似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.【详解】(1)由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.P(X=100)=0.8×0.6=0.48.所以X的分布列为X0P(2)由(1)知，E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100.P(Y=100)=0.8×0.6=0.48.因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.32.(2024·北京·高考真题)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：01234假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X);(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)(2)(i)0.122万元；(ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于(i)中E(【分析】(1)根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；从而可求E(X).(ii)先算出下一期保费的变化情况，结合(1)的结果可求E(Y),从而即可比较大小得解.【详解】(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”,故从而E(X)<E(Y).33.(2023·上海·高考真题)21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观823内饰，求P(B),P(B|A),并据此判断事件A和事件B是否独立；(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设：假设1:每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。假设2:该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。假设3:每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是X,写出X的分布，并求X的数学期望。【答案】(1),事件A,B相互独立；(2)分布列见解析，271元.【分析】(1)根据给定数表，利用古典概率求出P(B),P(B|A),再利用相互独立事件的定义判断作答.(2)求出三种结果的概率，按给定的假设2,3确定奖金额与对应的概率列出分布列，求出期望作答.【详解】(1)由给定的数表知，而,因此事件A,B相互独立，所以,事件A,B相互独立.(2)设事件C:外观和内饰均为同色，事件D:外观内饰都异色，事件E:仅外观或仅内饰同色，因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，奖金额X的可能值为：600,300,150,奖金额X的分布列：XP奖金额X的期望34.(2022·北京·高考真题)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m):甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X);(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【详解】(1)由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A₂,丙获得优秀为事件A3∴X的分布列为X0123P∴(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为,甲获得9.80的概率为乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.35.(2022·全国甲卷·高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.【答案】(1)0.6;(2)分布列见解析，E(X)=13.【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.【详解】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以，P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列为X0P期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.36.(2021·北京·高考真题)在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.(I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II)将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，【答案】(1)①20次；②分布列见解析；期望为(2)E(Y)>E(X).【分析】(1)①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；(2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出E(Y),即可得解.【详解】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20,30,则X的分布列：XP所以E(X)=20×+3×19-320(2)由题意，Y可以取25,30,两名感染者在同一组的概率为不在同一组的概率为考点05二项分布37.(2025·全国二卷·高考真题)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率.(2)由题意q₃=q³,q₄=q³(4-3q),联立p+q=1即可求解；故所求为Pa=C³(1-p)'p³+C(1-p)°p⁴=4p³(2)由(1)得P₃=p³,P₄=p³(4-3p),同理93=q³,q₄=q³(4-3q),由于0<p,q<1,所以p=2q=2(1-p)>0,解得(3)我们有至此我们得到Pzm-Pzm+=C2mP"