《10.3 频率与概率》复习教案与课后作业

U0.3频率与概率》复习教案

10.3.1频率的稳定性

学习目标核心素养

1.通过对频率和概率联系和区别的学习，培养学

结合实例，会用频率估计概生数学抽象素养.

率.(重点、难点)2.通过利用随机事件的频率估计其概率，培养

学牛数学运算素养.

【自主预习】

知初援五□

1.频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A

发生的频率。(/1)会逐渐稔定壬事件/I发生的概率〃(1),我们称频率的这个性质

为频率的稳定性.

2.频率稳定性的作用

可以用频率。(为估计概率P(A).

思考：频率和概率有什么区别和联系？

［提示］区别：

(1)在相同的条件下重复〃次试验，观察某一事件力是否出现，称〃次试验

中事件月出现的次数修为事件A出现的频数，称事件A出现的比例。(a=0为

n

事件力出现的频率.

(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量

(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某

事件的固有属性.

联系：对于给定的随机事件4由于事件力发生的频率£(用随着试验次数

的增加稳定十概率2(用，因此可以用频率£(用来估计概率P(A).

初试身手

1.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用力表示“正

面朝上”这一事件，则力的()

44

A.概率为wB.频率为三

□□

C.频率为8D.概率接近于8

B［做〃次随机试验，事件力发生了加次，则事件力发生的频率为?如果多

次进行试验，事件力发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件

力的概率.故卷8=£4为事件力的频率.］

2.每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12

道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是/若每题都选择第一个选项，

则一定有3道题的选择结果正确”.这句话（）

A.正确B.错误

C.有一定道理D.无法解释

B［从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，9是指这个事件发生的概

率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因

此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，

12个正确.因此该同学的说法是错误的.］

3.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%,经调查，某

市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（）

A.64个B.640个C.16个D.160个

C［由题意得80义（1一80%）=80X20%=16个.］

【合作探究】

RS型］频率和概率的区别和联系

【例1】下列说法正确的是（）

A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩，则

一定为一男一女

B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2,则摸5张票，一定有一张中奖

C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D.10张票中有1张奖票，10人去摸，尢论谁先斐，摸到奖票的概率都是

0.1

D[一对夫妇生两个小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），

所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时，可能

都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10

张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，

摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确，D正确.]

规律方法

理解概率与频率应关注的三个方面

（1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件月的本质属性，随

机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.

（2）由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次拭验中发生与否是随机的,

但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.

（3）正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题

要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.

颔跟踪训练

1.“某彩票的中奖概率为春”意味着（）

A.买100张彩票就一定能中奖

B.买100张彩票能中一次奖

C.买100张彩票一次奖也不中

D.购买彩票中奖的可能性为看

D[某彩票的中奖率为卷，意味着中奖的可能性为卷，可能中奖，也可能

不中奖.]

&型2用随机事件的频率估计其概率

【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支，该公司对

这些灯管的使用寿命（单位：时）进行了统计，统计结果如下表所示:

分L0,L900,1Li100,1L1300,1L1500,1L1700,1L1900,

组900)100)300)500)700)900)+8)

频

4812120822319316542

数

频

(1)将各组的频率填入表中：

(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.

［思路探究］根据频率的定义计算，并利用频率估计概率.

［解］(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.

(2)样本中使用寿命不足1500小时的频数是48+⑵+208+223=600.

所以样本中使用寿命不足1500小时的频率是黑^=0.6,

即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.

现傅方法

1.频率是事件力发生的次数/〃与试验总次数〃的比值，利用此公式可求出

它们的频率，频率本身是随机变量，当〃很大时，频率总是在一个稳定值附近摆

动，这个稳定值就是概率.

2.解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率

估计概率.

回跟踪训练

2.某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车

辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔偿金额(元)01000200030004000

车辆数(辆)500130100150120

(1)若每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本

车辆中，车主是新司机的占20乐估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000

兀的概率.

［:解］（1）设力表示事件“赔付金额为3000元”，8表示事件“赔付金额

为4000元”，以频率估计概率得。（4）=丁需=0.15,尸（③=丁黑=0.12,

由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4

000元,。与5互斥,所以所求概率为〃（⑷+产（夕=0.15+0.12=0.27.

（2）设。表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆

中车主是新司机的有0.1X1000=100（位）,而赔付金额为4000元的车辆中车

主为新司机的有0.2X120=24（位），

24

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为砺=0.24,由频

率估计概率得夕（。=0.24.

甘型3游戏的公平性

［探究问题］

1.判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？

［提示］如果参加比赛的双方获胜（或失败）的概率是一样的，那么就说明这

个游戏规则是公平的：否则就是不公平的.

2.小明和小红通过抓阉决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如

下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小W片，上面分别写有“参

加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参

加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛.这个游戏规则公平吗？请说明理由.

［提示］公平.因为每个人摸到“参加”的概率都是;.

［例3］某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛

热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派

一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委

员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方

案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时YD班代表

获胜，否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？

［思路探究］计算和为偶数时的概率是否为今概率是:就公平，否则不公平.

［解］该方案是公平的，理由如下:

各种情况如表所示:

和4567

15678

26789

378910

由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6

种，为奇数的也有6种，所以⑴班代表获胜的概率(2)班代表获胜

I乙乙

的概率即机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.

［母题探究］

1.在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，

两个指针指向的两个数字用乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代

表获胜.游戏规则公平吗？为什么？

418

［解］不公平.因为乘积出现奇数的概率为行=可,而出现偶数的概率为

1ZJ1

2

2.若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停

止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜

数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，

则乙获胜，否则甲获胜.清数方案从以下两种方案中选一种：

A.猜“是奇数”或“是偶数”；

B.猜“不是4的整数倍数”.

请回答下列问题：

⑴如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？

(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？

［解］(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是

O

因为“不是4的整数倍”的概率为记=0.8,超过了0.5,故为了尽可能获胜，

选择方案B.

(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A,这是因为方案A是猜“是奇

数”和“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏的公平性.

规律力法

游戏公平性的标准及判断方法

(D游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否

相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的.

(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.

课堂小结

1.概率与频率的区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概

率是一个定值，是某事件的固有属性.

2.概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试

验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事件的频率

来估计其概率.

【课堂达标练习】

1.判断正误

(1)随机事件的频率和概率不可能相等.()

(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化.()

(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能.()

［提示］(1)错误.二者可能相等.

(2)错误.频率会发生变化，是变量，而概率是小变的，是客观存在的.

(3)错误.频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小.

［答案］⑴X(2)X(3)X

2.给出下列3种说法：

①设有一大批产品，已知其次品率为0.1,则从中任取100件，必有10件

是次品；

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的

概率是亍

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.

其中正确说法的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

A［由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确.］

3.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8000件产品中合格品的件数可能

为()

A.160B.7840

C.7998D.7800

B［次品率为2%,故次品约8000X2%=160(件)，故合格品的件数可能为

7840.］

4.试解释下面情况中概率的意义：

(D某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概

率为0.20；

(2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98.

［解］(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%.

(2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.

《10.3.1频率的稳定性》课后作业

[合格基础练]

一、选择题

1.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%,则下列解释正确的是

()

A.明天本地有80%的区域降水，20舫勺区域不降水

B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水

C.明天本地降水的可能性是80%

D.以上说法均不正确

C[选项A,B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%

的区域降水，也不是说有80釉勺时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.]

2.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，

有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1

点，两枚硬币的点数和是几，就选儿班.按照这个规则，当选概率最大的是()

A.二班B.三班

C.四班D.三个班机会均等

B[掷两枚硬币，共有4种结果:(2,2),(2,1),(1,2),(1,1),故选四班

1211

的概率是Q选三班的概率为7=5,选二班的概率为Q故选B.]

3.给出下列四个命题：

①设有一批产品，其次品率为0.05,则从中任取20。件，必有10件是次品；

②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上

的概率是需；

③随机事件发牛.的频率就是这个随机事件发生的概率；

9

④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是示.

□0

其中正确命题有()

A.①B.②

C.③D.@

D[①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针走200件产品来说的;②③

混淆了频率与概率的区别.④iE确.]

4.投掷一枚普通的止方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：

①出现”点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；

②只要连掷6次，一定会“出现1点”；

③投掷前默念几次“出现6点”；投掷结果“出现6点”的可能性就会加大;

④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19.

其中正确的见解有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

B[①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是故①正确；

②“出现1点”是随机事件，故②错误；③概率是客观存在的，不因为人的意念

而改变，故③错误：④连续掷3次，每次都出现最大点数6,则三次之和为18,

故④正确.故选B.]

5.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（）

A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜

C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色

则乙胜

D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

B[对于A,C,D,甲胜、乙胜的概率都是:游戏是公平的；对于B,点数

之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概

率小，游戏不公平.]

二、填空题

6.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测

得每个乒乓球的直径（单位：mm）,将数据分组如下：

分组频数频率

[39.95,39.97)100.10

[39.97,39.99)200.20

[39.99,40.01]500.50

140.01,40.03)200.20

合计1001.00

若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00imn,则这批乒乓

球的直径误差不超过0.03mm的概率约为.

0.90[标准尺寸是40.00mm,并且误差不超过0.03mm,即直径需落在

[39.97,40.03]范围内.由频率分布表知,所求频率为0.20+0.50+0.20=0.90,

所以音径误差不超过0.03mm的概率约为0.90.]

7.小明和小展按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2

支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则.(填“公平”或“不

公平”)

不公平[当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论是第二个人取1

支还是取2支,第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜，

所以不公平.]

8.种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的

百分率.种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随矶取600粒种子置于发芽

床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水

分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽

率.下表是舜猴桃种子的发芽试验结果：

种子粒数100100100100100100

发芽粒数797881798082

发芽率79%78%81%79%80%82%

根据表格分析狒猴桃种子的发芽率约为.

80%[由表格中的数据可知，该擀猴桃种子的发芽率约为80%.]

三、解答题

9.某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：

射击次数〃102050100200500

击中靶心次数m8194492178455

击中靶心的频率坦

n

(1)填写表中击中靶心的频率;

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

［:解］(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概

率约是0.89.

10.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表:

每批粒数251070130700150020003000

发芽的粒数24960116637137017862709

发芽的频率

(1)请完成上述表格(保留3位小数)；

(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？

［解］⑴填入题表中的数据依次为000,0.800,0.900,

0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.

填表如下：

每批粒数251070130700150020003000

发芽的粒

24960116637137017862709

数

发芽的频

1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903

率

(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.

［等级过关练］

1.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要

的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴

奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个

问题，否则回答第二个问题.

由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回

答问题.

如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的答，

则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为()

A.4.33%B.3.33%

C.3.44%D.4.44%

B[因为掷硬币出现上面向上的概率为1大约有150人回答第一个问题，

又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大

约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用兴奋剂.因

此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂.]

2.下面有三种游戏规则：袋/中分别装有大小相同的球，从袋中取球,

游戏1游戏2游戏3

3个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球

任取两个球取1个球任取两个球

取出的球是黑球一甲

取出的两个球同色一甲胜取出的两个球同色一甲胜

胜

取出的两个球不同色一乙取出的球是白球一乙取出的两个球不同色一乙

胜胜月生

问其中不公平的游戏是（）

A.游戏1B.游戏1和游戏3

C.游戏2D.游戏3

D[游戏1中取2个球的所有可能情况有：

（黑1,黑2）,（黑1,黑3）,（黑1,白），（黑2,黑3）,（黑2,白），（黑

31

3,白），所以甲胜的概率为£=5,所以游戏1是公平的.游戏2中，显然甲胜的

概率是0.5,游戏是公平的.游戏3中取2个球的所有可能情况有（黑1,黑2）,

（黑1,白1）,（黑1,白2）,（黑2,白1）,（黑2,白2）,（白1,白2）,所以

甲胜的概率为:，所以游戏3是不公平的.]

3.某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月

的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月（按30天计）仍没

有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是.

19

0.4[由频率的定义可知用电量超过指标的频率为正=0.4,由频率估计概

率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.]

4.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单

位：g)：

492496494495498497501502504496

497503506508507492496500501499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在

497.5〜501.5g之间的概率约为.

0.25［易知袋装白糖质量在497.5〜501.5g之间的袋数为5,故其频率

5

为布=0.25,即其概率约为0.25.］

5.某险种的基本保费为d(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保

人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数0123425

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数0123425

频数605030302010

(1)记力为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求久冷的估

计值.

(2)记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费

的160%”.求P(皮的估计值.

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

［解］(1)事件力发生当且仅当一年内出险次数小于2.

61+50

由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为音一=0.55,故PC4)的

估计值为0.55.

(2)事件8发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.

20-1-40

由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为三导=0.3,

乙UU

故P(而的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查的200名续保人的平均保费为

0.85aX0.30+aX0.25+1.25aX0.15+1.5aX0.15+1.75aX0.10+

2aX0.05=1.1925a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.

10.3.2随机模拟

学习目标核心素养

1.了解随机数的意义.

1.通过对利用随机模拟的方法估计事

2.会用模拟方法（包括计算器产生随机

件的概率，培养学生数学建模素养.

数进行模拟）估计概率.

2.通过学习事件概率的计算，培养学

3.理解用模拟方法估计概率的实

生数学运算素养.

质.（重点、难点）

【自主预习】

匚述i知初探至□

1.产生随机数的方法

（D利用计算器或计算机软件产生随机数.

（2）构建模拟试验产生随机数.

2.蒙特卡洛方法

利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.

思考：用频率估计概率时，用计算机模拟试验产生随机数有什么优点？

［提示］用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试

验具有破坏性，有些试验元法真正进行.因此利用计算矶进行随机模拟试验就成

为•种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试

验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域.

初试身手

1.掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的

整数值随机数中，每儿个数字为一组（）

A.1B.2C.9D.12

B[由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组.]

2.下列不能产生随机数的是（）

A.抛掷骰子试验

B.抛硬币

C.计算器

D.正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正方体

2I

D[D项中，出现2的概率说，出现1,3,4,5的概率均是〜则D项不能产

生随机数.]

3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计

该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的

随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数

为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下23组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15

B[易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,

5

所以P—on25.]

【合作探究】

1类型17随机数的产生方法

【例1】要产生1〜25之间的随机整数，你有哪些方法？

[解]法一:可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3,…，24,25,

放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机

数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1〜25之巨的随机整数.

法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：

⑴选定迷格,输入“=RANDBETWEEN(1,25)"，按Enter键,则在此格中

的数是随机产生的；

(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100,

点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1〜25之间的数，这样我们就

很快得到了100个1〜25之间的随机数，相当于做了130次随机试验.

现律方法

随机数产生的方法比较

方法抽签法用计算器或计算机产生

优点保证机会均等操作简单，省时、省力

耗费大量人力、物力、时间，或不由于是伪随机数，故不能保证完全

缺点

具有实际操作性等可能

领跟踪训练

1.某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到

40个考场中去？

［解］要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成.

(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机.

(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同).

(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的

考试号0001,0002,…，1200,然后0001〜0030为第一考场,0031〜0060

为第二考场，依次类推.

0$型2；1简单的随机模拟试验的应用

【例2】一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，

现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计

一个模拟试验计算恰好笫三次摸到红球的概率.

［解］用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1

到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,

所以每三个随机数作为一组.如下，产生20组随机数：

666743671464571561156567732375

716116614445117573552274114662

就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7,第三个数字

恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别

2

是567和117,共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为诟=0.1.

规傅方法

在设计随机模拟试验时，注意以下两点：

(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件.

(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生.

回跟踪训练

2.在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，

用模拟方法求取到一级品的概率.

［解］设事件4”取到一级品”.

(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整

数随机数，分别用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品，用8,9,10表示取到二级品.

(2)统计试验总次数界及其中出现1至7之间数的次数N.

(3)计算频率£(4)即为事件A的概率的近似值.

&型3较复杂的随机模拟试验的应用

［探究问题］

1.若事件月发生的概率为0.6,如何设计模拟试验的随机数？

［提示］产生10个随机数0到9,可以用数字0,1,2,3,4,5表示事件A发

生，用数字6,7,8,9表示事件不发生.

2.若某随机试验连续进行4次，如何设计随机数？

［提示］产生4组随机数，代表4次随机试验.

【例3】种植某种树苗，成活率为0.9,请采用随机模拟的方法估计该树

苗种植5棵恰好4棵成活的概率.写出模拟试验的过程，并求出所求概率.

［思路探究］用计算机产生10个随机数，用其中9个代表成活，1个代表

没成活，5个随机数一组即可计算.

［解］先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0,9),或计算器的随机函数

RANDT(0,9)产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0

代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果，经随机模拟产生随

机数，例如，如下30组随机数：

698016609777124229617423531516

297472494557558652587413023224

374454434433315271202178258555

610174524144134922017036283005

949765617334783166243034401117

这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0,则表示恰有4

棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这洋的树苗恰有4棵成活的

9

概率近似为前=0.3.

［母题探究］

在例3中若树苗的成活率为0.8,则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少？

［解］利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用

0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8.因为是

种植5棵，所以每5个随机数作为一组，例如，产生23组随机数：

23065370528902134435773213367401456

12346227890245899274226541843590378

392021743763021673102016512328

这就相当于做了20次试验，在这些数组中，如果至多有一个是0或1的数

组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成

活的概率近似为154-20=0.75.

规律力法

利用随机模拟估计概率应关注三点

用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代

表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑:

(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每

个随机数代表一个基本事件；

(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数

字个数及总个数；

(3)当每次试验结果需要〃个随机数表示时，要把〃个随机数作为一组来处

理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.

课堂小结

1.随机模拟试验的步骤：(D设计概率模型；(2)进行模拟试验；(3)统计试

验结果.

2.计算器和计算机产生随机数的方法：构建模拟试验产生随机数或计算机

的随机函数RANDBETWEENQ,6),可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机

数.

【课堂达标练习】

1.判断正误

(1)在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生。〜9之间的随机数,

则可以用4,5,6,7,8,9来代表正面.()

(2)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数逑多，所得的估计值越接

近实际值.()

［提示］(1)错误.正面出现的概率是所以应该用其中的五个数表示正面.

(2)正确.

［答案］⑴X(2)V

2.利用抛硬币产生随机数1和2,出现正面表示产生的随机数为1,出现反

面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为()

1111

A-2B-3C-4D-5

A［抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)

9I

共四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2),(2,1)两种，故所求概率为彳=5」

3.甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6,若采用三局两

胜制举行一次比赛，现采月随机模拟的方法估计乙获胜的概率.先利用计算器或

计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜;6,7,8,9

表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3

个随机数作为一组.例如，产生30组随机数：

034743738636964736614698637162

332616804560111410959774246762

428114572042533237322707360751

据此估计乙获胜的概率约为.

0.367［产生30组随机数，就相当于做了30次试验.如果6,7,8,9中恰

有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是

738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.所以采用三局两胜

制，乙获胜的概率约为得七0.367.］

4.盒中有大小、形状相同的5个白球、2个黑球，用随机模拟法求下列事

件的概率：

(1)任取一球，得到白球；

(2)任取三球，都是白球.

［解］用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球.

(1)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数

一组，统计组数〃；

②统计这〃组数中小于6的组数例

③任取一球，得到臼球的概率估计值是N

n

(2)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数

一组(每组数字不重复)，统计组数a；

②统计这方组数中，每个数字均小于6的俎数

③任取三球，都是白球的概率估计值是9

a

《10.3.2随机模拟》课后作业

［合格基础练］

一、选择题

1.己知某工厂生产的产品的合格率为90%.现采用随机模拟的方法估计4件

产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机

数，指定0表示不是合格品，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示是合格品；再以每4个随

机数为一组，代表4件产品.经随机模拟产生了如下23组随机数：

75270293704098570347437386366947

14174698030162332616804560013661

9597742476104001

据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为（）

3「5,1>4

爪牙B.而C.-D.-

D|?・・4件产品中有1件或2件合格品的有:7040,0301,6001,4001,・••所

44

求概率尸=1-布=3］

2.某种心脏手术，成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术

全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0〜9之间取整数值的随机数，

由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功，4,5,6,7,8,9表示手术

成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下

10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907.由此估计“3例心

脏手术全部成功”的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

A［由10组随机数知，4〜9中恰有三个的随机数有569,989两组，故所求

2

的概率为々历=。・2.］

3.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法

估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0〜9之间取整

数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;

因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果.经随机模拟产

生了20组随机数：

57270293714098570347437386369647141746980371

623326168045601136619597742467104281

据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()

A.0.85B.0.8192

C.0.8D.0.75

D［该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事件的对立事件，故看这

20组数据中含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数，故所求

15

概率为布=0.75.］

4