【吃透中考数学29个几何模型】模型24 字母型解直角三角形

专题24字母型解直角三角形

一、单选题

1.如图，在4处测得点，在北偏东60,方向上，在8处测得点尸在北偏东30“方向上，若43=2米，则点

夕到直线AB距离PC为（）.

A.3米B.米C.2米D.1米

【答案】B

【分析】

设点尸到直线A8距离PC为x米，根据正切的定义用x表示出AC、8C，根据题意列出方程，解方程即

可.

【详解】

解：设点。到直线A8距离PC为x米,

PCr-

在Ri/XAPC中，AC=----------=s/3x

tanZ.PAC

在RiZXBPC中，RC=———=—r,

tanNPBC3

由题意得，43X--X=2,

3

解得，x=6（米），

故选：B.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键.

2.一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部。地测得旗杆顶部A的仰角为

45°,然后上到斜坡顶部。点处再测得旗杆顶部4点仰角为37°（身高忽略不计）.已知斜坡CQ坡度i=l：

2.4,坡长为2.6米，旗杆A8所在旗台高度E尸为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上.则

请问旗杆自身高度AB为（）米.

（参考数据：sin37°M.6,cos37°-0.8,tan37°~0.75）

A.10.2B.9.8C.11.2D.10.8

【答案】B

【分析】

如图，作交代的延长线于，，延长A3交C”的延长线于7,作。@于J.设“£x=,

在RlAADJ中，根据lan/AOJ=W,构造方程解决问题即可.

【详解】

解：如图，作O，_LbC交尸C的延长线于从延长/W交CT的延长线干7,作D/_LAT于/.

由题意四边形七口从四边形OH7：/是矩形,

：.BT=EF=\A^tJT=DH,

DHJ

在RiADCH中，CD=2.6米，——=—

CH2.4

：.DH=\（米），CH=2A（米），

VZACr=45°,NT=90°,

：.AT=TC,

设4P=7C=x.jllijDJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（A-1）米,

在ADZ中，VtanZADJ=—=0.75,

DJ

：.']=0.75,

xi2.4

解得x=2,

：.AB=AT-BT=AT-EF=\\.2-1.4=9.8（米），

故选:B.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决

问题，耍熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型.

二、解答题

3.二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑

物.学完三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量二七纪念塔的高度.如

图，CD是高为1米的测角仪，在D公测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端

A的仰角为60。，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据

sin40°x0.64,cav40°r0.77,/。〃40c«0.84,百。1.73).

【答案】二七纪念塔AB的高度约为64米

【分析】

由题意根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG,进而根据DG-EG=3S列出算.式求出AG的长，ilU

即可.

【详解】

4G

解：在RAEG中，tan^AEG=—

EG

EG=一——=—AG*O.58AG，

tanZAEG3

AG

在凡ADG中，tanZADG=——,

DG

AGAG

：.DG=1.2AG,

~tanZADG084

DG-EG=3S,

...1.24G—0.584G=38.

「.AGa61.3,

.•.AB=61.3+I=64.

答：二七纪念塔AB的高度约为64米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的定义是解

题的关键.

4.如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛。在北偏东60。方向，之后轮船继续向正东方

向行驶1.5〃到达8处，这时小岛。在船的北偏东30°方向36海里处.

（1）求轮船从A处到3处的航速.

（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛。的东南方向？

【答案】（1）24海里/小时.（2）3+3—小时.

4

【分析】

（1）过。作OC_LA8,利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB

的长，再根据速度=路程+时间解答即可：

（2）如图，根据题意可判断4OCD为等腰直角三角形，贝IJCD=OC,进而可得BD的长，再由时间二路程除

速度求解即可.

【详解】

（1）过。作OC_LA3，

由题意得。8=36海里，NQ3C=60。，ZOAC=30°,

OC=OBsin60°=18>/3（海里）・

BC=OBcos60°=18（海里）,

“OC18百3

八。二埼二者二54（海里），

T

.•.AB=AC-3c=54-18=36（海里），

•••速度：/船=°=24（海里/小时）•

1.5

（2）如图，

由题意，/COD=45。，。点在0的东南方向,

/.△OCD为等腰直角三角形，

**.OD=OC-tan45°=18x/3（海里），

.•.BD=BC+CD=18+18K（海里），

18+1863+36-i

:.t=---------=--------（小时），

244

..经过3-3豆小时后到达.

4

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角

形是解答的关键.

5.如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——10飞机在点A发现航展观礼台。在俯角为21。方向上.飞机

继续向前飞行了800米到达3点.此时恻得点。在点3俯角为45。的方向上.请你计算当飞机飞到。点的正上

方点C时（点A、4、。在同一直线上），竖直高度CO约为多少米？（结果保留整数，参考数值：

sin21°®0.36,cos21°»0.93>tan21°®0.38）

【答案】竖直高度CO约为490米.

【分析】

根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可.

【详解】

解：如图：ZCBD=45°ZBCD=90。，CD=CB

CDCDCD

ZL4=210・'tan21°=-----

ACAB+BCAB+CD

CD

A8=800・..a0.38

800+CD

ACD=490.32^490.

答：竖直高度CO约为490米.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可.

6.科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变.某数学兴趣小组要测量5G信号塔的高度，

如图，在起点M处用高1米（DM=1米）的测量仪测得信号塔A8的顶端B的仰角为30。，在同一剖面沿水

平地而向前走20米到达F处，测得顶端B的仰角为63.4°,求信号塔AB的高度约为多少米?（精确到1米.参

考数据：5/7763.4°x0.89,c、os63.4。*0.45,心〃63.4。«2.00,百。1.73)

B

【答案】该信弓•塔A6的高度约为17米

【分析】

本题首先假设AB的长度为x,继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE,进一步表示CE,最后再

次利用正切三角函数列式求解.

【详解】

由已知得：CD=20»DM=AE=I»

设48为x米.则“行=（工-1）米，

Dp

在R2EB中，tan30=——，

DE

:.DE=y［3（x-］）,

;.CE=DE-CD=6（X-1）-23

BE

在RACER中，tan63.4=—.

CE

c工一［

/.2«—f=----------------,

V3（x-l）-20

求解得：x»17（米）.

故该信号塔AB的高度约为17米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并结合具体图形情况，适

时选取合适的三角函数以提升解题效率.

7,中国“蛟龙''号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米，某天该深潜器在海面下1800米的点A处作业（如

图），测得正前方海底沉船C的俯角为45。，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到点4,此时测

得海底沉船。的俯角为60。.沉船。足否在“蛟龙”号深潜极限范围内？请说明理由.（6。1.732，

V2«1.414)

海面

--八

、\

、、

\\

、\

\\

、、

【答案】沉船。在“蛟龙”号深潜极限范围内，理由详见解析

【分析】

过点C作CDJ.AB交AB的延长线于点D,设CD=x米，根据已知条件可以得到关于x的方程，解方程

可得CD的值，加上1800即得点C的深度，把深度与7062.68米相比较即可得到题目最终解答.

【详解】

解：沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内.理由如下：

如图，过点。作8-1只6交A3的廷长线丁点。.

海而

F■飞飞沛・丁

、\•

、、、1

、、\;

\\:

、、\;

、、I

7

设CD=x米，在Rt88中，tanZCBD=—,RItan60°=—,BD=-x.

BDBD3

x

CD_j

在RtAACO中,tanZ.CAD=-----,即

AD2000+—x

3

解得XP4732，.•.8^4732米.

•••沉船C距离海面1800+4732=6532（米）.

6532V7062.68.

沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内.

【点睛】

本题考查解直角三角形及其应用，通过建立包含所求量的直角三角形求解是解题关键.

8.如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60。方向；

半小时后，渔船到达3处，此时测得小岛C在渔船的北偏东300方向.已知以小岛C为中心，周围18海里

以内为军事演习着弹危险区.如果这四渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？

北北

【答案】如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险，详见解析

【分析】

根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与18的大小.因此作CD_LAB于D点，求CD的长.

【详解】

有若弹危险.

理由如下：作CD_LA8于。，

・••ZACB=/CBD-/CAB=30°，

•*.BC=AB=20•

在RfABCO中，ZBCD=90°-60°=30°,

BC=2BD，

***BD=10»

•*-CO=>/z?C2-Z?Z>2=>/202-102=5/366<18

答：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险.

【点睛】

本题考查了方位角问题，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质,

勾股定理的应用等，掌握方位角的概念、熟记含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.

9.图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC,支架BC

与立柱MN分别交于A,8两点，灯臂AC与支架4c交于点C,已知/MAC=60。，ZACB=\50,

AC=40cm,求支架8c的长.（结果精确到1cm,参考数据：0=1.414,6。1.732,76«2.449）

【答案】49cm

【分析】

过点C作CD_LMN,垂足为D,分别解△ACD和ABCD,即可得到结果.

【详解】

解：过点C作CD_LMN,垂足为D,

VZMAC=60°,NACB=15。，

/.ZABC=60o-15°=45°,ZACD=30",

.二△BCD是等腰口角三角形，

VAC=40cm,

在RtAACD中，AD=—AC=20cm,

2

•*-CD="()2-2()2=2(X/3cm,

.•.在RsBCD中，BC=>/2CD=20^«49cm.

••・支架BC的长为49cm.

M

【点睛】

本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30。的直角三角形的性质，解题的关键

是添加辅助线，构造特殊直角三角形.

10.如图，王刚想测量楼CD的高度，楼在围墙内，王刚只能在围墙外测量，他无法测得观测点到楼底的距

离，于是王刚在A处仰望楼顶，测得仰角为37。，再往楼的方向前进3。米至B处，测得楼顶的仰角为53。

（A,B,C三点在一条直线上）,求楼CD的高度（tan53"L33,tan37°«0.75.结果精确到1米，王刚

的身高忽略不计）.

【答案】楼CD的高度为52米

【分析】

设CD=xm,根据AC=BC-AB,构建方程即可解决问题:

【详解】

解：设CD=xm,

,,DC

在R/ACD中，tanZA=，

AC

AC=-----,

tan37°

x

同法可得：BC=——

tan53°

VAC—BC=AB,

Xx

—:---------------=30,

tan37°tan53°

解得x=52,

答：楼CD的高度为52米.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题.能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.

11.小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旅杆AB的高度.小明站在点。处利用冽倾

器测得旗杆顶端A的仰角为45。，小华在B。之间放置一个镜子，并调整镜子的位置，当镜子恰好放在点E

处时，位于点〃处的小明正好在镜了中看到旗杆顶端A,此时。£的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.75

米.请你根据以上信息，计算旗杆A8的高度.

BED

【答案】旗杆A8的高度为15.75米

【分析】

过点。作。凡L/1B于点凡可得四边形FBOC是矩形，根据入射角等于反射角可得，NCED=NAEB,所以

tanZCED=tanZ/4EC»进而可求4"的长，最后求出A3的长.

【详解】

解：如图，

过点C作。RLAB于点凡

可得四边形尸8DC是矩形,

J£6=00=1.75,

FC=BD=BE+\A,

根据题意，得

/AC/=45°,

：.AF=CF,

根据入射角等于反射角可知：

NCED=NAEB,

tanCED=tanZ.AEB,

.CD_AB

'~DE=~BE'

,1.75AF+1.75

"TT-FC-1.4-

,：AF=FC,

・•・解得Ab=14,

：.AB=AF+FB=14+1.75=15.75（米）.

答：旗杆AB的高度为15.75米.

【点睛】

本题考查J'解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理解正切的含义是解题的

关键.

12.如图，某楼房人8顶部有一根天线砥，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C,。，

A，在点。处测得天线顶端E的仰角为60。，从点C走到点。，测得。。=5米，从点。测得天线底端5的

仰角为45°，己知A，B,£在向一条垂直于地面的直线上，A6=25米.

（1）求A与C之间的距离；

（2）求天线跖的高度.（参考数据：6。1.73,结果保留整数）

【答案】（I）4C之间的距离为30米；（2）天线BE的高度约为27米.

【分析】

(1)根据题意，ZBAD=90°,ZBDA=45°,故AD=AB,己知CD=5,不难算出A与C之间的距离.

(2)根据题意，在R/zMCE中，Z4CE=60%利用三角函数可算出AE的长，又已知AB,故EB即可

求解.

【详解】

(1)依题意可得，在RtAABO中，Z4DB=45°,

AD=47=25米，

CD=5米，.•.AC=AO+C£)=25+5=30米.

即AC之间的距离为30米.

(2)在心"。石中，NACE=600,AC=3()米，

AE=30un60°=30>/3(米)，

A8=25米，.•.BE=AE-AB=(306-25)米.

由JJ=1.73.并精确到整数可得BEp27米.

即天线班的高度约为27米.

【点睛】

(1)本题主要考瓷等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键.

(2)本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键.

13.如图，在港口A处的正东方向有两个相距6k〃的观测点B、C,一艘轮船从A处出发，北偏东26°方

向航行至D处，在B、C处分别测得NA8O=45。，NC=37。求轮船航行的距离AD(参考数据：

sin26°»0.44,cos26°»0.90,tan26°»0.49,sin37°»0.60,cos370no.80,tan37°«0.75)

北

【答案】20km

【分析】

过点。作O〃_L4C，垂足为〃，通过解RfADCH和RADBH得CH=卫3和BH=也工,根

tan37°tan45°

据BC=CH—BH求得DH,再解RAZM”求得AD即可.

【详解】

解：如图，过点。作。H_LAC,垂足为H

在RADCH中，ZC=37°

tan37°=—

CH

:.CH=DH

tan37°

在RM)BH中,/DBH=45。

DH

tan45°

BH

DH

BH=

tan450

BC=CH-BH

DHDH,

tan370tan45°

在RAZM“中，ZADH=26°

cos26°=—

AD

：.AD=------»20(km)

cos26°

因此轮船航行的距离AO约为20km

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理.作出辅助线构造直角三角形是解

题的关键.

14.“南入柱''是张家界"三T奇峰''中的座，位丁世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2D10

年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中

向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景.在A处测得“南天一柱”底部。的俯角为37°,继续飞行6s

到达8处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45"已知''南天一柱"的高为150m,问这架航拍无人机继

续向正东飞行是否安全?(参考数据：sin37°«0.60»cos37°»0.80，tan37°«0.75)

【答案】安全

【分析】

设无人机距地面xm,直线AB与南天一柱相交于点D,根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的

高度比较即可.

【详解】

解：设无人机距地面xm,直线AB与南天一柱相交于点D,由题意得/CAD=37。，ZCBD=45".

在R2ACD中，

CDx

VtanZCAD==——=().75,

ADAD

AD=—.r.

3

在R：ABCD中,

CDx

/lanZCBD=------=——=1，

BDBD

•・BD=X.

.,AD-BD=AB,

4

—x-A=9x6,

3

\x=l62,

.•162)150,

••这架航拍无人机继续向正东飞行安全.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问

题，学会用构建方程的思想思考问题.

15.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面•条水平步道

闻尸上架设测角仪,先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22。，然后沿MP方向前进16m到达点N处,

测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6/〃，

(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到参考数据：

sin220右0.37,cos22°»0.93,"722c工O4o,72

(2)“景点简介”显示,观星台的高度为12扁”.请计算本次测量结果的谩差.并提出一条减小误差的合理化

建议.

【答案】(1)12.3m：(2)0.3m,多次测量，求平均值

【分析】

(1)过点A作AE_LMN交MN的延长线于点E,交BC的延长线于点D,根据条件证出四边形BMNC为

矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形,设AD的长为xm,则CD=AD=xm,

BD=BC+CD=(16+x)m,在ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可；

(2)根据(1)中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值.

【详解】

解：(1)如图，过点A作AE_LMN交MN的延长线于点E,交BC的延长线于点D,

设AD的长为xrn,

VAE1ME,BC〃MN,

.・.AD_LBD,ZADC=90°,

VZACD=45°,

.*.CD=AD=xm,BD=BC+CD=(16+x)m,

由题易得，四边形BMNC为矩形，

VAE1ME,

・•・四边形CNED为矩形，

DE=CN=BM=1.6/??•

Al)丫

在RsABD中，tanNABD=——=——=0.40,

BD16+x

解得：x«10.7,

即AD=IO.7m,AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m,

答：观星台最高点A距离地面的高度为12.3m.

(2)本次测量结果的误差为：12.6・12.3=0.3m,

减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值.

【点睛】

本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

16.如图，垂直于地面的灯柱A8被一钢缆CO固定，现需要在点C的上方2m的E处增加一条钢缆石。进

行加固.己知NCZ)B=45。，NEDB=53。,求OE的长(结果取整数).参考数据：

sin53°»0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33.

DB

【答案】10m

【分析】

在RlZXCBO中，根据NCDB的正切函数得到BC=BD,在RtEDB中,根据/EDB的正切函数和余弦函

RD2

数得到£B=4/7・tan53。，DE=-------,最后根据石8=£C+3。，得到80=----------------，即川求

cos53°lan530-1

解.

【详解】

解:根据题意，EC=2.

Be

在中，tanNCDB=——,：.BC=BDtan450=BD.

BD

在RlEDB中,tan/EDB=里,conZEDB=—,

BDDE

BD

・•・£8=3力tan53°,DE=----------.

cos53’

2

EB=EC+BC,ABDtan530=24-BD.:.BD=---------------.

tan530-I

BD_______2_______

DE=alO

cos53°(tan530-l)cos53°

答：DE的长度约为10m.

【点睛】

此题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题关健.

17.学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔的高度.如图,

CO是高为1m的测角仪，在。处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前进40m在E处测得塔顶端\的

仰角为63.4。，求纪念塔A8的高度（结果取整数）.

参考数据：sin40、0.64.cos40ao.77,tan40«0.84,tan63.4、2.00.

【答案】纪念塔A8的高度约为59m.

【分析】

根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG,再在在RtZkAEG中列出算式求出AG的长，计凫即可.

【详解】

解：根据题意，ZADG=40",ZAEG=63.4°,Z)E=CF=40,CD=BG=\.

在RlA0G中，tanZA£)G=—

DG

•nr-AG

tan40

AG

...EG=DG-DE=---------40.

tan40

AG

在RtAAEG»tanZAEG———

EG

AG=EGtan63.4°=tan63.4°---------40

Itan40

.„40xtan63.4xtan4040x2.00x0.84

AG=------------:---------:-«--------------------«57.9

tan63.4-tan402.00-0.84

/.AB=AG+BG^57.9+1«59.

答：纪念塔八B的高度约为59m.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题

的关键.

18.如图，是一座人行天桥示意图，天桥离地面的高是10〃?，坡面AC的倾斜角NCA8=45。，在距离A

点12m处有一建筑物HQ.为方便行人过天桥,市政部门决定降低坡度，便新坡面CD的倾斜角/CDB=37,

若新坡面下。处需留至少4/〃人行道，则该建筑物〃。是否需要拆除？请通过计算说明理由.（参考数据：

【答案】不需要拆除，理由见解析.

【分析】

在RZABC、RtADBCqj,利用锐角三角函数分别计算DB、AB,然后计算DH的长，根据DH与4的关

系，得出结论.

【详解】

解：结论：该建筑物”。不需要拆除

由题意知,AH=12m,BC=10/n,

在R2A8C中，VZC4«=45°,

:.AB=BC=\()m,

在R-.AQBC中，VNCDB=37。,

BC1040/、

..DB=-------------«—=—(m)

t^nZCDB33'，'

4

"：DH=AH-DA

=AH-(DB-AB)

40

=12-(-------10)

3

26

T

~8.6(/〃)，

V8.6>4,

・••该建筑物〃。不需要拆除.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大.利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键.

19.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31。，再向

东继续航行20m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45。,根据测得H勺数据，计算:这座灯塔的高度CD.(结

果保留整数)参考数据：sin保%0.52,cos310^0.86,tan31°^0.60

【答案】CD约为30m

【分析】

CDCD

根据锐角三角函数可得AD=——=——.BD=CD,然后根据AD-BD=AB列出方程即可求出结论.

tan4ran3i°

【详解】

解:在RtAADC和RtABDC中，ZA=31°,ZCBD=45°

CDCD

/.AD=,BD=CD

tanAtan31°

VAD-BD=AB

CD

-CD=2()

tan31°

解得：CD-30

答：这座灯塔的高度CD约为3()m.

【点睛】

此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

20.如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，是二楼楼顶，MN〃PQ,点C在

MN上，且位于自动扶梯顶端8点的正上方，8C_LMM测得A8=10米，在自动扶梯底端八处测得点。的

仰角为50。，点5的仰角为30。，求二楼的层高8C(结果保留根号)

(参考数据:sin500=0.77,cos50°=0.64,tan500=1.20)

【答案】(6x5-5)米

【分析】

延长C8交PQ于点。，在RQADB中，求出BO,八。的长，然后在直角△CZM中利用三角函数即可求得

C。的长，则8C即可得到.

【详解】

解：延长C8交尸。于点O.

,JMN//PQ,BC1MN,

：.BC±PQ.

在RSA8。中，•・Y8=10米，N/M/)=30。,

/.BD=^AB=5（米），AD=5x5（米），

在RsCQA中，ZCDA=90°,ZCAD=50°,

CD=ADtanZCAD=5x/3x1.2=6>/3（米），

•••BC=6y/3-5（米）.

【点睛】

本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.

21.如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A处运往正东方向的M处，在点4处测得某岛。在北

偏东60。的方向上.该货船航行30分钟后到达8处，此时再测得该岛在北偏东30。的方向上，

（2）已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.

（参考：△°1.414、1.732）

【答案】（1）30°；（2）货船继续向正东方向行驶无触礁危险.

【分析】

（1）在AABP中，求出NCAB、/CBA的度数即可解决问题：

（2）作CD_LAB于D.求出CD的值即可判定.

【详解】

(1)ZCAB=30°，ZABC=120°，

•**ZACB=180'-ZCAB-ZABC=30".

(2)过点C作C£)_LAB于

:.ZACB=ZCAB.

・•・BC=AB.

：.BC=AB=24x-=\2（海里），

2

CD

在Rt86中，cosNBCD=—.

BC

，CE>=BCcos30c=12x—=6>/30.392,

2

V10392>9.

所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角

三角函数的概念是解题的关键.

22.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度,如果标杆BE长1.2m,测得AB=1.6m,BC=8.4m,楼高CD是

多少？

【答案】楼高CD是7.5m

【分析】

先根据题意得出^ABE-AACD,再艰据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值.

【详解】

解：VEB1AC,DC1AC,

AEB/7DC,

:.AABE^AACD,

BEAB

~CD~~^C'

VBE=1.2,AB=I.6,BC=8.4,

.*.AC=10,

1.21.6.

/.=■•CD=7.5.

CD10

答:楼高CD是7.5m.

【点睛】

考点：相似三角形的应用.

23.某风景管理区为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶改善，把倾角由45。减至30。,

已知原台阶坡面AB的长为5&米（BC所在地面为水平面）.

（1）改善后的台阶坡面AD氏多少米？

（2）改善后的台阶会多占多长一段水平地面？（结果保留根号）

【答案】（1）10米⑵573-5（米）

【分析】

（1）根据题意得，在RSABC中，AC=BC=ABxsin45°,解方程可求得AC与BC的长，在RsADC中,

因为AD=-----r，即可求得AD的长度.

sm3（）

AC

（2）苜先由在RSACD中，CD=-----求得CD的长，又由BC=5米，即可得出问题的结论BD的长