2025-2026学年下学期河南省百师联盟高三数学高三4月联考试卷（含答案）

数学时间120分钟,满分150分一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=3A.-5B.-6C.5D.62.若全集U={x∈N∣0<x≤7A.{1,2,43.一组从小到大排列的数据:2，8，x，18，22.若它们的第60百分位数比平均数大2，则x的值为A.10B.11C.12D.134.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A.2√2B.2C.22D.5.已知点Pcosα,sinα到点A4m,3m-10A.4B.5C.6D.76.已知数列an是等比数列,a1>0,则“对任意的正整数n都有an<an+2”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知fx是定义在R上的函数,fx+2=fx+1-fx,当A.-3B.-1C.1D.38.已知函数fx=abx2-xlnA.0,12B.0,二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fx=2A.函数fx的最小值为B.点-5π8,0C.函数fx在区间π8D.函数fx的图象可由y=2cos2x10.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，H，N分别为CC1A.正方体ABCD-A1BB.B,MC.直线HN与HB1所成角的余弦值为D.过直线HB1的平面截正方体ABCD-A1B11.已知F1,F2是椭圆C:x2+y2m2=1m>0的两个焦点,点A12,3在椭圆C上,B是椭圆C上的动点,BN⊥x轴,垂足为N,且点P为BNA.AF1+AF2C.△POA面积的最大值为134D.△POQ三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=1,2与向量b=m,313.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点A，B都在抛物线C上，抛物线C的准线与x轴交于点D14.将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余,逆序排列法.步骤是:用2整除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此进行下去,直到商小于1为止;最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来.例如,将十进制数5转化成二进制数5÷2=2⋯⋯1,2÷2=1⋯⋯0,1÷2=0⋯⋯1,即十进制数5转化成二进制数为101;十进制数13转化成二进制数:13÷2=四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3个小球标号的最大数字.(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)已知取出的3个小球的标号和为偶数,求ξ=616.(15分)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，且a1=sin2θ(1)求公差d及θ的值；(2)设数列bn=ansinnπ2，数列bn的前n17.(15分)如图1，AC为半径为2的圆O的直径，点D，B为圆O上的两点，且AD⏜=2DC⏜，AB⏜=BC.如图2,将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点,连接OB，OD(1)若BC⊥CD，E为BD的中点，证明:OE(2)若平面ADC⊥平面ABC,求二面角A-DB图1图218.(17分)若(3+22)n=xn+yn2(1)写出P1，P2的坐标，并证明:对任意n∈N*，点Pn(2)设直线PnPn+1与双曲线C的两条渐近线分别交于点An和点Bn，记△OAnBn的面积为Sn(参考公式:设三角形的三个顶点分别为Ax1,y1,(3)证明:yn19.(17分)已知函数fx=lnx+1-(1)讨论函数fx(2)若对∀x>0,gx(3)已知n∈N*，证明:数学参考答案及评分意见1.B∵z=5-62.D∵∁UA3.A∵5×0.6=3,∴这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数,即4.B由正弦定理,得bsinB=5.D由题意得,点P的轨迹方程为x2+y2=1,点゛圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径,∴d的最小值是-4036.C∵an是等比数列,∴a∵an是等比数列,a1>0,∴“对任意的正整数n都有an<an+2”是“an7.D∵fx+2=fx+1-fx,∴fx+18.A由题意f'∵fx有两个极值点,∴f'x有两个异号零点,即令ax=t,则2bt-lnt-1=0,∴若直线y=2bt-1与gt=lnt的图象相切，则设切点为t0,ln∴切线方程为y-lnt0=1t0t-t∵要使直线y=2bt-1与gt=lnt9.AB对于A,当2x+π4=3π2+2kπ,k∈Z时,函数fx取得最小值,为-2,故A正确.对于B,当x=-5π8时,f-5π8=2sin-π=0,故B正确.对于C,令2x+π4=t,∵x10.AC对于A，正方体ABCD-A1B1C1D1对于B,设BC的中点为P.因为H,N,M,P四点共面,点B不在平面HNMP内,所以对于C,如图,连接NB1,HB,D1B1,则HN=HD2+DN2对于D,如图,连接DB1,记O为DB1的中点,过点O作HB1的垂线,交在△HDB1中,HD=1,DB1=过直线HB1的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的所有截面圆中,半径最小为EB1=5311.ACD对于A,∵点A12,3在椭圆C上，∴14+3m2∴AF1+AF对于B,设点Px,y,则Bx,2y.将点B的坐标代入椭圆的方程即x2+y2=1,∴点P的轨迹方程为x2+y2=1即OA-1=122对于C,由B可知,OP=1,OA=132,则当OP⊥为S=12OPOA=12对于D,由椭圆对称性,设点Bp,q在第一象限,∴S∵p2+q24=1≥pq∴△POQ面积的最大值为38,故D正确.12.152∵a//b,∴213.83∵AF=2,∴点A到准线的距离为2.∵2DA=DB,∴∴点B到准线的距离为4,∴∵O为线段DF的中点,∴OA为△BDF的中位线,在等腰三角形AOF中,点Ap4,4-p216.将点∴p14.192数1表示成二进制为12,出现数字1的个数为数1,2,3表示成二进制为12,102,112数1,2,3,4,5,6,7表示成二进制为12,102,112,......；数1,2,3,⋯,2n-1所以f115.解:(1)随机变量ξ的所有可能取值为3,4,5,6,则PξPξ=所以ξ的分布列为ξ3456P13315分所以Eξ=(2)记事件A为“取出的3个球的标号和为偶数”,事件B为“ξ=由题意得,PA=PAB=由条件概率公式,得PB∣16.解:(1)∵d∴S4∴cos2θ∵0∴2θ(2)由(1)得，a1=sin2π6又∵y=sinnπ2∴当n=4k+1时,sinnπ2=1;当n=4k+2当n=4k+4时,sinnπ2∴在一个周期内,b4b4k∵数列bn的前20项为5个完整的周期,∴T17.(1)证明:取BC的中点F，连接EF，OF.∵E,O分别为DB∴EF//又∵AC是圆O的直径,∴∵BC⊥又∵EF∩OF=F,EF,OF⊂∵OE⊂平面OEF(2)解:∵AB故以O为坐标原点,分别以OB,OC所在直线,过点O且垂直于平面ABC的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系则A0∴AB=2,2,0,AD则AB⋅n=0,AD⋅n=0∴n=设平面OBD的法向量为m=则OB⋅m=0,OD⋅m=0∴m=∴cos⟨n由图知二面角A-DB-O为锐二面角,∴二面角A-DB18.(1)解:当n=1时，∴P1当n=2时,∴P2∵x∴xn∴x∴任意n∈N*,点Pn在双曲线C:(2)证明:由(1)知x设直线PnPn+1则直线PnPn+1的方程为y-y不妨设AnxAn,yAn是直线BnxBm,yBn是直线联立x-2y=0,联立x+2y=0,∵y∴yA∵x∴S即△OAnBn的面积S(3)证明:yn+2+ynyn+119.(1)解:由题意可得fx的定义域为-1,+∞，当x∈-1,0,f'x∴fx在区间-1,0上单调递增,在区间0∴fx有最大值f0=0(2)解:由题意，gx=sinx+ax3-x∴g'x=cosx+令hx=cosx+3ax2-1令Ix=-sinx+6ax,则I'①当6a-1≥0，即a≥16时，有∴h'x>h'0=0,∴∴gx在0,+∞上单调递增,∴gx②当0<a<16时，I'π2=6a>0∴∃x0∈0,π2,有I'x0=0,∴当∴g'x在0,x0上单调递减∴gx<g0=0③