2025-2026学年下学期山东省德州高三数学4月二模试卷（含答案）

高三年级4月学习质量综合评估数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={xA.A∩B=⌀B.A∪2.设复数z满足z+z−2A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i3.已知向量a,b满足a=1A.2B.23C.4D.4.已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍,圆柱的高是圆锥高的12A.6B.3C.2D.15.一组不全相等的数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为x,方差为s1A.x>yB.y>x6.已知a,b为正实数，则“aA.ac>bcC.a+17.已知sin50∘+θA.33B.−33C.8.若存在a>0,对任意的x∈0,+∞,都有lnx+2a−bA.1+ln2B.2+ln2二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量y(单位:亿吨)与年份代码x(1-5分别对应2021-2025)的相关数据.根据表中数据求得y关于x的经验回归方程为y=bA.x与y正相关x12345y1218253034B.回归直线过点3C.bD.预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨10.如图,函数fx=2sinωx+A.φ=−πC.fx在区间π3,5π611.正三棱锥S−ABC中,AB=32,SA=3,点M在底面△ABC内运动(含边界),M到棱SAA.S−ABC的体积为92B.S−C.MS=5D.M的运动路径的长度为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知2x−x213.已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F12,0,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q14.从1,2,3,⋯,49这49个数中取25个数,使得任意两个数之和既不等于四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)在凸四边形ABCD中,已知AB=5,(1)求tan∠ACB(2)求cos∠CDA16.(本小题满分15分)如图,三棱锥A−BCD的体积为33,△BCD是边长为2的等边三角形,AD⊥AC,O是棱CD(1)证明:平面ACD⊥平面BCD(2)若直线OP与平面ABC所成角的正弦值为427，求λ17.(本小题满分15分)已知函数fx(1)求fx在(0(2)证明:sin118.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,点T到点0,22的距离是它到直线y=2距离的2倍,记点T(1)求C的方程；(2)设点A为C的下顶点，直线l过点P0,t且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间),过P的直线交C于G,H两点,直线AG,AH分别交(i)证明:OM⋅ON(ii)是否存在实数t使得O,A,N,M四点共圆?若存在,求出t19.(本小题满分17分)某社区举行乒乓球比赛,现有甲、乙等2nn≥2,n∈N∗名选手参加.规则如下,将所有选手随机编号为1,2,3,⋯,2n,第一轮1号与2号对战,3号与4号对战,以此类推,共决出2n−1名胜者进入第二轮;第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战,以此类推,决出2n−2名胜者进入第三轮;(1)若n=2(2)记qk为甲和乙恰在第k1≤k≤n(3)记Pn,p为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求高三年级4月学习质量综合评估数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BACACDDA二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ACABCACD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.240;13.23四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(1)过A,D分别作直线BC的垂线，垂足分别为E,F，易知因为AB=5，所以AE=1所以CE=CB在直角△AEC中,tan∠ACE(2)在直角△AEC中,由勾股定理知A在直角△DCF中,因为cos∠BCD=35于是有AD2在△ACD中,由余弦定理可知cos∠所以cos∠CDA的值为21016.(1)设点A到平面BCD的距离为h，则VA又因为三棱锥A−BCD的体积为33,所以又DA⊥AC,O是线段CD所以OA⊥平面BCD又OA⊂平面ACD,所以平面ADC⊥平面BDC(2)以O为坐标原点，OB,OD,OA分别为x轴、y轴、建立空间直角坐标系，7分则O0所以BC=设平面ABC的法向量为n=x则n⋅BC=0n取x=1,则y=z=3因为AP=λAC,OP=OA+AP=OA+λ则sinθ=cos<OP,故λ的值为12.1517.(1)由题意可知f′因为x∈(0,1],所以所以fx在(0所以fx所以fx在(0,1(2)由(1)知∀x∈(0,1],sin1−x+lnx≤0则sin1i所以sin1=ln2nn18.(1)设Tx,y,由题意可知x2+y−222y−2=(2)(i)由题意可知A0,−2，设则直线AG:y=y1因为M在直线l上,所以yM=t,代入直线AG方程,可知故点M的坐标为t+同理可得点N的坐标为t+2当直线GH斜率不存在时,显然不符合题意,故设直线GH:y=kx+t可得k2所以x1+又y=k所以OM⋅ON(ii)由O,A,N,又∠MOP+∠AOM=π故tan∠ANM即−kAN=1−k所以kOM=ty1+2t+2x1整理可得t+2所以t+故t=2−t,即t=1,所以点P19.(1)记:事件A为“甲获得冠军”，事件B为“乙获得冠军”，则PA=0.62因此PA+