云南楚雄龙江中学等校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页云南楚雄龙江中学等校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=xx−3x−2≤0,B=A.1,3 B.1,5,8 C.1,8 D.5,82.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,4)，则i⋅z=(

)A.3+4i B.3−4i C.4−3i D.−4+3i3.若sinπ3−α=1A.79 B.−79 C.24.下列说法正确的是(

)A.函数y=1x+x的最小值是2

B.函数fx=cosx+4cosx,x∈0,π5.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN的斜率为正数，且与圆A:x2+y2−6x+6=0相切，过点N作A.23 B.4 C.46.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=30，E为A.24 B.18 C.122 7.已知在平面直角坐标系xoy中，A−2,1,B−2,2，动点P满足PAPB=22，点Q为抛物线C:y2=4x上一动点，且点A.10 B.25 C.28.定义在R上的奇函数fx满足f1=−1，若fx+1为偶函数，则A.−20242025 B.−20262025 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知2017−2024年中国体育产业规模(单位：万亿元)数据如表所示：年份20172018201920202021202220232024体育产业规模(单位：万亿元)2.202.662.942.703.123.303.673.89则这8个数据的(

)A.极差为1.69 B.中位数为2.94

C.80%分位数为3.67 D.平均数大于310.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<πA.ω=3

B.fx在区间−2π,0上的最小值为−3

C.−π2,0是fx图象的一个对称中心

D.将f11.如图，有一个直三棱柱ABC−A1B1C1容器，AC⊥AB，AC=6，AB=8，AA1=3，A.异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为36573

B.AE+C1E的最小值为337

C.三棱锥A1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=−x+3−3a,x<0ax,x≥0(a>0且a≠1)是−∞,+∞上的单调递减函数，则a13.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，关于原点对称的两点P，Q均在14.已知函数f(x)=x3+ax，且曲线E:y=f(x)上有且仅有两个不同的点满足：存在过该点的两条曲线E的切线，且它们相互垂直，则a的值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}满足a(1)证明：数列{an+2(2)设bn=nan+2n16.(本小题15分)

如图①，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB//CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图②，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)(1)证明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE=2AE，求平面CBQ与平面ABQ夹角的余弦值．17.(本小题15分)在锐角▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bcos(1)求A的大小；(2)若a=3，求b+c18.(本小题17分)

已知曲线C的方程为x24+y23=1，曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点．

(1)求曲线C的离心率；

(2)设直线EP，EQ的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2=−94，证明直线l恒过定点；

(3)若l过点F19.(本小题17分)在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的n棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第n棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前k(1≤k<n)棵甘蔗，自第k+1棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为P1，乙选到最粗的甘蔗的概率为P(1)若n=5,k=3，求P1和P(2)若最粗的甘蔗是第k+m棵1≤m≤n−k，求P2(3)当n趋向于无穷大时，从理论的角度(即k∈R)，求P2的最大值及P2取最大值时k的值.(取i=k参考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.BCD

11.BCD

12.(0,213.(14.−415.解：(1)因为an+1=3an+2n，

所以an+1+2n+1=3(an+2n)，

又a1+21=1+2=3≠0，

所以an+1+2n+1an+2n=3，

所以数列{an+2n}是以3为首项，316.(1)解法一(几何法)

证明：取OO1的中点为F，连接AF，PF；

∴PF/​/OB，

∵AQ//OB，

∴PF//AQ，

∴P、F、A、Q四点共面，

又由图1可知OB⊥OO1，

∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，

且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1，

∴OB⊥平面ADO1O，

∴PF⊥平面ADO1O，

又∵OD⊂平面ADO1O，

∴PF⊥OD．

在直角梯形ADO1O中，OF=O1D，∠AOF=∠OO1D，

∴△AOF≌△OO1D，

∴∠FAO=∠DOO1，

∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90°，

∴AF⊥OD．

∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ，

∴OD⊥平面PAQ．

解法二(向量法)

由题设知OA，OB，OO1两两垂直，

所以以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，

则相关各点的坐标为O(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,6,0)，

C(0,3,6)，D(3,0,6)，Q(6,m,0)．

∵点P为BC中点，

∴P(0,92,3)，

∴OD=(3,0,6)，AQ=(0,m,0)，PQ=(6,m−92,−3)，

∵OD⋅AQ=0，OD⋅PQ=0，

∴OD⊥AQ，OD⊥PQ，且AQ与PQ不共线，

∴OD⊥17.解：(1)因为bcos由正弦定理得sinB即sinB+C因为在▵ABC中，sinB+C所以cosA=又0<A<π2，所以(2)因为A=π3，a=所以b=2sinB，在▵ABC中，sinC=所以b+c=2sin因为▵ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<C=则π3所以sinB+所以b+c∈3,2

18.12

证明：由E(−2,0)，设直线l：x=my+n，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

直线EP，EQ的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2=−94，

联立x=my+nx24+y23=1，

得(3m2+4)y2+6mny+3n2−12=019.解：(1)由题意可知P1依题意，5棵甘蔗的位置从第1棵到第5棵排序，有A5最粗的甘蔗是第4棵，其他的甘蔗随意在哪个位置，有A4最粗的甘蔗是第5棵，第二粗的甘蔗在第1个或第2个或第3个位置，其他的甘蔗随意在哪个位置，有3A因此，P2故P1(2)法1：若考虑全部这一列甘蔗排序，最粗的甘蔗是第k+m棵，共有n−1!先从其余n−1棵甘蔗中选(k+m−1)棵甘蔗出来，其中最粗的甘蔗在前k个位置，剩下的全排列，共有Cn−1k+m−1k所以P==k法2：若最粗的甘蔗是第k+m棵，则乙游客能选到最粗的甘蔗，只需要前k+m−1棵甘蔗中最粗的那棵排在前k棵，所以P2(3)记事件A表示最粗的甘蔗被乙游客取到，事件Bi表示最粗的世