江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)的定义域是（）（2分）A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,+∞)【答案】B【解析】函数f(x)=ln(x+1)的定义域为x+1>0，即x>-1，故定义域为(-1,+∞)。2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{-1,1}D.{0,3}【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0，得x=1或x=2，即A={1,2}。B为所有形如2k+1的整数集合，其中只有x=1符合条件，故A∩B={1}。3.若复数z满足|z|=1，则z^2可能等于（）（2分）A.1B.-1C.2D.i【答案】A【解析】|z|=1表示z在复平面上对应的点在单位圆上，z^2对应的点在单位圆的平方位置，z=±1时，z^2=1。4.函数y=sin(2x)的图像关于直线x=π/4对称，则k的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=sin(2x)图像关于x=π/4对称，需满足2x=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/4，k=2时满足条件。5.已知向量a=(1,k)，b=(2,3)，若a∥b，则k=（）（2分）A.2B.3C.6D.9【答案】C【解析】a∥b，则(1,k)∥(2,3)，存在λ使(1,k)=λ(2,3)，解得λ=1/2，k=6。6.函数f(x)=|x-1|在区间[0,3]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】f(x)=|x-1|表示x=1处取得最小值0，在[0,3]区间内最小值为1。7.不等式|x|+|x-2|>3的解集为（）（2分）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)∪(1,3)【答案】A【解析】分情况讨论，x<0时|x|=-x，x-2<0，得-x+x-2>3，解得x<-1；0≤x<2时，x-x+2>3无解；x≥2时x+x-2>3，解得x>3。综上解集为(-∞,-1)∪(3,+∞)。8.抛掷一枚均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】基本事件总数36，点数和为5的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，概率为4/36=1/9。修正参考答案为A。9.直线y=mx+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=1相交于两点，则m的取值范围是（）（2分）A.m>0B.m<0C.m∈R且m≠1D.m∈R【答案】C【解析】直线过定点(0,1)，当m=1时直线与圆相切，故m≠1；当m≠1时，直线与圆总相交两点。故m∈R且m≠1。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-n，则a_5=（）（2分）A.16B.31C.32D.63【答案】B【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，a_5=2^4-1=31。二、多选题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）（4分）A.y=2^xB.y=ln(x+1)C.y=x^2D.y=1/x【答案】A、B、C【解析】指数函数y=2^x在(0,+∞)单调递增；对数函数y=ln(x+1)在(0,+∞)单调递增；幂函数y=x^2在(0,+∞)单调递增；y=1/x在(0,+∞)单调递减。2.已知z是复数，则下列命题正确的是（）（4分）A.|z|^2=z^2B.|z_1z_2|=|z_1||z_2|C.|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|D.z^2为实数的充要条件是z为实数【答案】B、C【解析】|z|^2=|z|^2，故A错误；由复数模的性质，B正确；|z_1/z_2|=|z_1||z_2|/|z_2|^2=|z_1|/|z_2|，故C正确；z=±i时z^2=-1为实数，但z不是实数，故D错误。3.函数y=f(x)具有以下性质：①f(x)为奇函数；②f(x)在(-∞,0)上单调递增；③f(x)的周期为2。则下列结论正确的是（）（4分）A.f(x)在(0,+∞)上单调递增B.f(x)在x=π处取得极大值C.f(x)在x=-π处取得极小值D.f(x)在(π,2π)上单调递减【答案】A、D【解析】由奇函数性质，f(x)在(0,+∞)上单调递增；f(x)周期为2，f(x+2)=f(x)，故f(x)在(π,2π)上与(-π,0)上单调性相同，为单调递减。4.在△ABC中，若A=60°，a=2，b=1，则下列结论正确的是（）（4分）A.△ABC只有一个解B.△ABC有两个解C.c^2=a^2+b^2D.c^2>ab【答案】B、D【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，sinB=bsinA/a=1sin60°/2=√3/4，B=π/3或2π/3，故△ABC有两个解；由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosA=4+1-221cos60°=3>2=ab。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则（）（4分）A.f(x)在x=1处取得极大值B.f(x)在x=1处取得极小值C.f'(x)=0的根有且仅有三个D.f(x)的图像与x轴有三个交点【答案】A、D【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，f'(1)=0，且x<1时f'(x)>0，x>1时f'(x)<0，故x=1处取得极大值；f(x)=x^3-3x^2+2=(x-1)^2(x+2)，有三个零点x=1（二重根），x=-2，故与x轴有三个交点。三、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.函数f(x)=√(4-x^2)的定义域为__________。（4分）【答案】[-2,2]【解析】4-x^2≥0，解得-2≤x≤2。2.设集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤0或x≥2}，则A∪B=__________。（4分）【答案】(-∞,0]∪(1,+∞)【解析】A∪B为所有不在(0,1)区间内的x。3.若复数z=1+i，则z^2=__________。（4分）【答案】2i【解析】(1+i)^2=1+2i+i^2=2i。4.函数y=cos(π/3-x)的最小正周期是__________。（4分）【答案】2π【解析】cos函数周期为2π，平移不改变周期。5.若向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，则a·b=__________。（4分）【答案】-5【解析】3(-1)+(-1)2=-5。6.不等式|2x-1|<3的解集为__________。（4分）【答案】(-1,2)【解析】-3<2x-1<3，解得-1<x<2。7.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a:b:c=3:4:5，则cosA=__________。（4分）【答案】3/5【解析】由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(16+25-9)/(245)=3/5。8.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2n，则a_5=__________。（4分）【答案】31【解析】a_2=a_1+2=3，a_3=a_2+4=7，a_4=a_3+6=13，a_5=a_4+8=21。四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1.若a>b，则a^2>b^2。（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1>b=-2，但a^2=1<b^2=4。2.函数y=1/x在(-∞,0)上单调递减。（）（2分）【答案】（√）【解析】x1<x2<0时，1/x1>1/x2，故单调递减。3.若复数z满足|z|=1，则z^2一定是实数。（）（2分）【答案】（√）【解析】z=cosθ+isinθ，z^2=cos2θ+isin2θ，若z^2为实数，则sin2θ=0，即θ=kπ，z=±1。4.函数y=sin(2x+π/4)的图像关于原点对称。（）（2分）【答案】（√）【解析】y=sin(2x+π/4)为奇函数，图像关于原点对称。5.不等式x^2-3x+2>0的解集为R。（）（2分）【答案】（×）【解析】解得(x-1)(x-2)>0，解集为(-∞,1)∪(2,+∞)。五、简答题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调区间。（4分）【答案】解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。当x<0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故单调递增区间为(-∞,0)∪(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a+b和a-b的坐标。（4分）【答案】a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)；a-b=(1-3,2-(-4))=(-2,6)。3.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-2ax+a^2-1=0}，若B⊆A，求实数a的取值范围。（4分）【答案】解：A={x|x^2-5x+6=0}={2,3}。B⊆A，分情况讨论：①若B=∅，Δ=4a^2-4(a^2-1)<0，得a^2>1，即a>1或a<-1；②若B={2}，Δ=0，得a=±1，代入方程x^2-2ax+a^2-1=0得x=2，符合条件；③若B={3}，Δ=0，得a=±1，代入方程x^2-2ax+a^2-1=0得x=3，符合条件；④若B={2,3}，Δ>0，得a^2<1，即-1<a<1，但此时方程x^2-2ax+a^2-1=0解为2和3，符合条件。综上，a的取值范围为(-∞,-1]∪{1}∪[-1,1)。六、分析题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于直线x=π/4对称，求φ的取值集合。（10分）【答案】解：f(x)图像关于x=π/4对称，则sin(2π/4+φ)=±1，即sin(π/2+φ)=±1。π/2+φ=kπ+π/2，得φ=kπ，k∈Z。又由周期性，φ=kπ+2kπ=k(2k+1)π，故φ的取值集合为{kπ|k∈Z}。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求a_n的表达式，并判断数列的单调性。（10分）【答案】解：当n=1时，a_1=S_1=1^2+1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。故a_n=2n（对n=1也成立）。a_n-a_{n-1}=2n-2(n-1)=2>0，故数列{a_n}单调递增。七、综合应用题（本大题共1小题，共25分）已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，（1）求f(x)的最小值及取得最小值时的x值；（2）解不等式f(x)<5；（3）若关于x的方程f(x)=k有四个不同的实数根，求实数k的取值范围。（25分）【答案】（1）f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x点到1和-2距离之和，最小值为两定点间距离3，取得最小值时x在[-2,1]区间内任意取值。（2）f(x)<5，分情况讨论：①x<-2时，1-x-x-2<5，得x>-4；②-2≤x≤1时，1-x+x+2<5，得x<2；③x>1时，x-1+x+2