人教版八年级下学期数学第20章勾股定理单元知识点+单元练习题以及答案

第二十章勾股定理单元知识点及其练习题知识点（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.（2）公式变形：a=c2－b2

b=(3)利用勾股定理进行计算:①.已知两边求第三边：已知两条直角边求斜边，直接代入公式计算斜边长度.已知斜边和一条直角边，求另一条直角边.②.解决实际问题中的应用：比如在建筑、测量等领域。如要测量一个池塘两点间的距离，可构造直角三角形，通过测量直角边长度利用勾股定理计算斜边（两点间距离）.③.勾股定理的变形形式：a2=c2−b2,b2=c2−a2这些变形在计算直角边时很有用.（4）勾股定理应用的常见类型：①已知直角三角形的任意两边长求第三边；②已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长；③证明包含由平方(算术平方根）关系的几何问题；④求解几何体表面上的的最短路径问题；⑤构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产，生活中的实际问题.（5）求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.（6）利用勾股定理表示无理数的方法:①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.②以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点.在原点左边的点表示是负无理数；在原点右边的点表示是正无理数.（7）折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:①设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；②用已知含x的代数式表示出其他线段长；③在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；④解这个方程，从而求出所求线段长.（8）勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（9）特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.（10）满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.（11）常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.（12）勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.(13)题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.(14)判断三角形形状①.若已知一个三角形三边的长度，可通过勾股定理的逆定理来判断它是否为直角三角形.②.对于一些复杂的边长表达式，同样可先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，看是否相等来判断形状.若相等是直角三角形；若较短两边平方和大于最长边平方，是锐角三角形；反之是钝角三角形.第二十章勾股定理单元测试题（满分100分时间40分钟）一、选择题（每小题５分，共４０分）１．下列各组数据中，不是勾股数的是（）Ａ．３，４，５Ｂ．７，２４，２５Ｃ．８，１５，１７Ｄ．５，７，９２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，若三边长分别是ａ，ｂ，ｃ，则下列结论不可能成立的是（）Ａ．ａ＝３ｋ，ｂ＝４ｋ，ｃ＝５ｋ（ｋ≠０）Ｂ．∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ＝３∶２∶２Ｃ．ａ∶ｂ∶ｃ＝１∶１∶2Ｄ．∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｃ３．如图，网格中每个小正方形的边长均为１，以Ａ为圆心，ＡＢ为半径画弧，交网格线于点Ｄ，则ＥＤ的长为（）Ａ．5Ｂ．2Ｃ．３Ｄ．无法确定４．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＡＣ⊥ＢＤ，若ＡＤ＝２，ＢＣ＝４，则ＡＢ２＋ＣＤ２的值为（）Ａ．８Ｂ．１４Ｃ．２０Ｄ．２６５．如图，高速公路上的Ａ，Ｂ两点相距１０ｋｍ，Ｃ，Ｄ为两村庄，已知ＤＡ＝４ｋｍ，ＣＢ＝６ｋｍ．ＤＡ⊥ＡＢ于Ａ，ＣＢ⊥ＡＢ于Ｂ，现要在ＡＢ上建一个服务站Ｅ，使得Ｃ，Ｄ两村庄到服务站Ｅ的距离相等，则ＥＡ的长是（）Ａ．４ｋｍＢ．５ｋｍＣ．６ｋｍＤ．25ｋｍ６．如图，在长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３ｃｍ，ＡＤ＝９ｃｍ，将此长方形折叠，使点Ｂ与点Ｄ重合，折痕为ＥＦ，则△ＡＢＥ的面积为（）Ａ．３ｃｍ２Ｂ．４ｃｍ２Ｃ．６ｃｍ２Ｄ．１２ｃｍ２７．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＢＣ＝６，ＡＤ平分∠ＣＡＢ交ＢＣ于点Ｄ，点Ｅ为边ＡＢ上一点，则线段ＤＥ长度的最小值为（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．２Ｄ．３８．如图所示的是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ＡＢＣＤ，连接ＡＥ，ＤＥ，若ＡＤ＝ＡＥ，ＤＥ＝22，则正方形ＡＢＣＤ的边长是（）Ａ．210Ｂ．42Ｃ26Ｄ．25二、填空题（每小题５分，共２０分）９．一个三角形的三边长的比为３∶４∶５，且其周长为２４ｃｍ，则它的面积为cm２．１０．如图所示的是由相同的小正方形组成的网格，点Ａ，Ｂ，Ｐ是网格线的交点，则∠ＡＰＢ＝．１１．如图，教室的墙面ＡＤＥＦ与地面ＡＢＣＤ垂直，点Ｐ在墙面上．若ＰＡ＝ＡＢ＝１０米，点Ｐ到ＡＤ的距离是６米，有一只蚂蚁要从点Ｐ爬到点Ｂ，它的最短行程是米．１２．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ｐ在ｘ轴的正半轴上，点Ａ的坐标为（３，４）．连接ＯＡ，ＡＰ，若△ＡＯＰ是等腰三角形，那么所有满足条件的点Ｐ的坐标为．三、解答题（共４０分）１３．（１２分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ为ＡＣ上一点，连接ＢＤ，ＢＣ＝２０，ＣＤ＝１２，ＢＤ＝１６．（１）试判断△ＡＢＤ的形状，并说明理由．（２）求ＡＤ的长．14.（１４分）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下记录表：数据处理组得到测量数据以后做了认真分析，他们发现根据测量组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度ＡＤ．请完成以下任务：（１）求风筝离地面的垂直高度（ＡＤ的长）．（２）如果小明想要风筝沿ＤＡ方向再上升１２米，ＢＣ长度不变，则他应该再放出多少米风筝拉线？１５．（１４分）如图，长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１０，在边ＣＤ上取一点Ｅ，使得将△ＡＤＥ沿ＡＥ折叠后点Ｄ恰好落在ＢＣ边上的点Ｆ处．（１）求ＣＥ的长．（２）在（１）的条件下，ＢＣ边上是否存在一点Ｐ，使得ＰＡ＋ＰＥ的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．答案１．Ｄ２．Ｂ３．Ａ４．Ｃ５．Ｃ６．Ｃ７．Ｃ８．Ｄ９．２４１０．135°１１．85１２．（５，０）或（６，０）或（256，0）１３．解析（１）△ＡＢＤ是直角三角形．理由：∵ＣＤ２＋ＢＤ２＝１２２＋１６２＝４００，ＢＣ２＝２０２＝４００，∴ＣＤ２＋ＢＤ２＝ＢＣ２，∴△ＢＣＤ是直角三角形，且∠ＢＤＣ＝９０°，∴∠ＡＤＢ＝１８０°－∠ＢＤＣ＝９０°，∴△ＡＢＤ是直角三角形．（２）1414.解析（１）∵在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝１５米，ＡＢ＝１７米，∴ＡＣ＝ＡＢ2又∵ＡＤ＝ＡＣ＋ＣＤ，ＣＤ＝１.７米，∴ＡＤ＝８＋１.７＝９.７（米）．答：风筝离地面的垂直高度为９.７米．（２）∵风筝沿ＤＡ方向再上升１２米后，风筝拉线的长为（８＋１２）２＋１５２＝２５（米），∴他应该再放出２５－１７＝８（米）风筝拉线．１５．解析（１）∵四边形ＡＢＣＤ是长方形，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１０，∴∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝９０°，ＣＤ＝ＡＢ＝８，ＡＤ＝ＢＣ＝１０，由折叠知ＥＦ＝ＤＥ，ＡＦ＝ＡＤ＝１０，∴在Ｒｔ△ＡＢＦ中，根据勾股定理得ＢＦ＝ＡＦ2∴ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝４，设ＣＥ＝ｘ，则ＥＦ＝ＤＥ＝ＣＤ－ＣＥ＝８－ｘ，在Ｒｔ△ＥＣＦ中，