正方形课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3正方形

人教版(2024)八年级下册第二十一章

四边形学习目标1理解并掌握正方形的判定和推导过程2能熟练运用正方形的判定进行计算和证明知识回顾平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等四条边都相等对边平行，四条边都相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角对称性不是轴对称图形轴对称轴对称轴对称知识回顾2.菱形的性质：（1）角：菱形的对角相等．（2）边：菱形的四条边都相等．（3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.ABCOD新知导入除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？正方形下面开始本节课的学习探究新知除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系吗？有一个直角一组邻边相等矩形？？正方形菱形平行四边形探索新知准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，观察边、角、对角线，推测满足怎样条件的矩形是正方形？思考

如何证明你的猜想？一组邻边相等对角线互相垂直(已证)探索新知猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形

ABCD

中，AC，DB

是它的两条对角线，AC⊥DB

.求证：四边形

ABCD

是正方形.证明：∵四边形

ABCD是矩形.∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ADC＝90°.∵AC⊥DB，∴AD＝AB，∴四边形

ABCD是正方形.ABCDO有一组邻边相等的矩形是正方形．例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD

是正方形，对角线AC、BD

相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO

是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO

都是等腰直角三角形，并且△ABO

≌△BCO

≌△CDO

≌△DAO.图中共有多少个等腰直角三角形？练一练2.从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD,选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)．现有下列四种选法，其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④B任务二：能运用正方形性质和判定方法进行有关的证明和计算．

活动:小组合作解决下列问题，简要说说求解过程中用到的性质.(1)求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.(2)右图中共有

个等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴AB=BC=CD=DA.又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.ABDCFHEG123∴HE=EF=FG=GH.∴四边形EFGH

是菱形.∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3.又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°.∴∠HEF=180°－(∠1+∠3)=90°.∴四边形EFGH

是正方形.1.

如图，在矩形

ABCD

中，∠ABC

的平分线交对角线

AC

于点E，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别是F，G.判断四边形

EFBG

的形状，并证明你的结论.解：四边形EFBG是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°.又EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE=∠BGE=90°，∴四边形EFBG是矩形．∵BE为∠ABC的平分线，∴EF=EG，∴矩形EFBG是正方形．ADBCEFG练习1.（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.

为什么？（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？解：（1）如图，由折叠知AB=AD，∠B=∠ADC=90°.∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD

是矩形，且AB=AD，由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，四边形ABCD

是正方形.（2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.【选自教材第76页练习第1题】ABDC2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A，B，C，D.

李明和张华在边AB

上取了一点E，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？解：如图，连接AC.∵四边形ABCD

是正方形，∴∠B=90°，AB=BC.在Rt△BEC

中，∠B=90°，EB=10m，EC=30m，

【选自教材第76页练习第2题】当堂检测D当堂检测D已知：在菱形ABCD中，AC,BD是两条对角线，且AC=BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，ABDCO∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD.∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，∴△AOB，△BOC是等腰直角三角形，∴四边形ABCD是正方形.∴∠ABC=90〫,归纳对角线相等的菱形是正方形.通过以上证明，我们得到正方形的一个判定：数学语言：在菱形ABCD中，∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形.ABDCO返回D返回4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为________．22.5°4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB=∠CDB；

课堂练习4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(2)当∠ADC=

时，四边形MPND是正方形，并说明理由.

解

当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形