数字信号处理期末考试题及详细答案

第第页数字信号处理期末考试题及详细答案考试时间：120分钟满分：100分说明：本试卷侧重基础知识点与实际应用结合，避免偏题、怪题，答案详细且贴合课堂讲解思路，无冗余表述。一、填空题（每空2分，共20分）数字信号的特点是______和______，与模拟信号相比，其核心优势是抗干扰能力强、易于存储和处理。线性时不变（LTI）系统的两个核心性质是______和______，可通过单位脉冲响应完全描述。离散傅里叶变换（DFT）的频域分辨率Δf=______，其中Fs为采样频率，N为DFT的点数。FIR滤波器的特点是______，IIR滤波器的特点是______。采样定理要求，采样频率Fs必须大于等于信号最高频率fm的______倍，否则会产生______现象。二、选择题（每题3分，共15分）下列关于离散时间信号的说法，错误的是（）

A.离散时间信号的自变量是离散的，幅值可以是连续的

B.序列x(n)=sin(3n)是周期序列

C.单位脉冲序列δ(n)的特点是n=0时为1，n≠0时为0

D.因果序列是指n<0时，x(n)=0的序列对于线性时不变系统，若输入为x(n)，单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)为（）

A.x(n)+h(n)B.x(n)*h(n)（乘积）C.x(n)⊗h(n)（卷积和）D.x(n)/h(n)DFT与DTFT的关系是（）

A.DFT是DTFT的连续采样B.DFT是DTFT在频域的离散采样

C.DTFT是DFT的连续采样D.两者无直接关联下列哪种滤波器可以通过窗函数法设计（）

A.IIR低通滤波器B.FIR高通滤波器C.非线性滤波器D.自适应滤波器采样频率Fs=1000Hz，对信号x(t)=2sin(100πt)进行采样，得到的离散序列x(n)的周期为（）

A.10B.20C.5D.15三、简答题（每题5分，共15分）简述离散傅里叶变换（DFT）的局限性，以及快速傅里叶变换（FFT）是如何解决这些局限性的。简述FIR滤波器与IIR滤波器的核心区别（至少3点）。什么是频谱泄漏？如何减小频谱泄漏现象？四、计算题（每题15分，共30分）已知离散序列x(n)={1,2,3,4}（n=0,1,2,3），h(n)={1,1,1}（n=0,1,2），求：

（1）x(n)与h(n)的卷积和y(n)=x(n)⊗h(n)；

（2）x(n)的4点DFT变换X(k)（k=0,1,2,3）。已知模拟信号x(t)=3sin(200πt)+sin(400πt)，采样频率Fs=1000Hz。

（1）求该模拟信号的最高频率fm；

（2）判断采样是否满足采样定理，并说明理由；

（3）求采样后离散序列x(n)的表达式及周期。

五、设计题（每题10分，共20分）设计一个FIR低通滤波器，要求：截止频率fc=100Hz，采样频率Fs=500Hz，采用矩形窗设计，滤波器阶数N=8（提示：阶数N=窗长-1），写出滤波器的单位脉冲响应h(n)。已知某线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)=(0.5)^nu(n)（u(n)为单位阶跃序列），输入序列x(n)=u(n)-u(n-3)，求系统的输出y(n)，并画出y(n)的波形示意图（标注n的取值范围和对应幅值）。详细答案一、填空题（每空2分，共20分）离散性；量化性（顺序可互换）线性；时不变性（顺序可互换）Fs/N单位脉冲响应有限长；单位脉冲响应无限长（顺序可互换）2；混叠二、选择题（每题3分，共15分）B（解析：sin(3n)的角频率ω=3，周期T=2π/ω=2π/3，不是有理数，因此不是周期序列）C（解析：LTI系统的输出是输入与单位脉冲响应的卷积和）B（解析：DFT是DTFT在频域[0,2π)上的N点等间隔采样）B（解析：窗函数法是FIR滤波器的主要设计方法，IIR滤波器常用冲激响应不变法、双线性变换法设计）B（解析：模拟信号周期T0=2π/(100π)=0.02s，采样周期Ts=1/Fs=0.001s，离散序列周期N=T0/Ts=20）三、简答题（每题5分，共15分）答：DFT的局限性：①计算量巨大，直接计算N点DFT需要N²次复数乘法和N(N-1)次复数加法，当N较大时，计算效率极低；②只适用于有限长序列，对无限长序列需先截断，易产生频谱泄漏。（3分）

FFT的解决方式：FFT基于DFT的周期性和对称性，将N点DFT分解为多个短序列的DFT，通过分治思想，将计算量降低至Nlog₂N次复数乘法和Nlog₂N次复数加法，大幅提高计算效率；同时，可通过合理选择N（如2的整数次幂），进一步优化计算速度，间接减少截断带来的误差。（2分）

答：核心区别：

①单位脉冲响应：FIR滤波器h(n)有限长，IIR滤波器h(n)无限长；（2分）

②稳定性：FIR滤波器只要h(n)有限长，且幅值有界，必稳定；IIR滤波器可能存在不稳定情况；（1分）

③设计方法：FIR滤波器常用窗函数法、频率采样法；IIR滤波器常用冲激响应不变法、双线性变换法；（1分）

④相位特性：FIR滤波器易实现线性相位，IIR滤波器很难实现线性相位。（1分）

答：频谱泄漏：当对无限长序列或非周期序列进行截断（乘以窗函数）时，原本集中在单一频率的频谱会扩散到相邻频率，导致频谱模糊的现象，称为频谱泄漏。（2分）

减小方法：①选择合适的窗函数，优先选用旁瓣低、主瓣窄的窗函数（如汉宁窗、汉明窗），替代矩形窗；②增加窗长，窗长越长，主瓣越窄，频谱泄漏越弱；③使采样点数N与信号周期成整数倍关系，减少截断带来的误差。（3分）

四、计算题（每题15分，共30分）解：（1）卷积和y(n)=x(n)⊗h(n)，卷积公式：y(n)=Σ（k=-∞到+∞）x(k)h(n-k)

已知x(n)非零区间：n=0,1,2,3；h(n)非零区间：n=0,1,2

因此y(n)非零区间：n=0+0=0到n=3+2=5

n=0：y(0)=x(0)h(0)=1×1=1

n=1：y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=1×1+2×1=3

n=2：y(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=1×1+2×1+3×1=6

n=3：y(3)=x(1)h(2)+x(2)h(1)+x(3)h(0)=2×1+3×1+4×1=9

n=4：y(4)=x(2)h(2)+x(3)h(1)=3×1+4×1=7

n=5：y(5)=x(3)h(2)=4×1=4

综上，y(n)={1,3,6,9,7,4}（n=0,1,2,3,4,5）（8分）

（2）4点DFT：X(k)=Σ（n=0到3）x(n)e^(-j2πkn/4)，k=0,1,2,3

k=0：X(0)=x(0)+x(1)+x(2)+x(3)=1+2+3+4=10

k=1：X(1)=1×e^0+2×e^(-jπ/2)+3×e^(-jπ)+4×e^(-j3π/2)=1+2(-j)+3(-1)+4(j)=-2+2j

k=2：X(2)=1×e^0+2×e^(-jπ)+3×e^(-j2π)+4×e^(-j3π)=1+2(-1)+3×1+4(-1)=-2

k=3：X(3)=1×e^0+2×e^(-j3π/2)+3×e^(-j3π)+4×e^(-j9π/2)=1+2(j)+3(-1)+4(-j)=-2-2j

综上，X(k)={10,-2+2j,-2,-2-2j}（k=0,1,2,3）（7分）

解：（1）模拟信号x(t)=3sin(200πt)+sin(400πt)，根据正弦信号频率公式f=ω/(2π)

第一个信号：ω1=200π，f1=200π/(2π)=100Hz

第二个信号：ω2=400π，f2=400π/(2π)=200Hz

因此，最高频率fm=200Hz（5分）

（2）采样定理要求Fs≥2fm，已知Fs=1000Hz，2fm=400Hz

因为1000Hz≥400Hz，所以采样满足采样定理，不会产生混叠现象。（5分）

（3）采样后离散序列x(n)=x(t)|t=nTs，Ts=1/Fs=0.001s

x(n)=3sin(200π×0.001n)+sin(400π×0.001n)=3sin(0.2πn)+sin(0.4πn)

求周期：sin(0.2πn)的周期N1=2π/(0.2π)=10；sin(0.4πn)的周期N2=2π/(0.4π)=5

N1和N2的最小公倍数为10，因此x(n)的周期N=10。（5分）

五、设计题（每题10分，共20分）解：FIR低通滤波器设计（矩形窗法），步骤如下：

1.确定参数：截止频率fc=100Hz，采样频率Fs=500Hz，归一化截止频率ωc=2πfc/Fs=2π×100/500=0.4π（2分）

2.确定理想低通滤波器的单位脉冲响应h_d(n)：

h_d(n)=(ωc/π)×sinc(ωc(n-α)/π)，其中α=(N-1)/2，N=8（阶数），α=3.5（3分）

h_d(n)=(0.4π/π)×sinc(0.4π(n-3.5)/π)=0.4×sinc(0.4(n-3.5))

3.矩形窗w(n)=1（n=0,1,...,7），因此实际滤波器单位脉冲响应h(n)=h_d(n)×w(n)（2分）

4.计算h(n)（n=0到7）：

h(0)=0.4×sinc(0.4×(-3.5))=0.4×sinc(-1.4)≈-0.072

h(1)=0.4×sinc(0.4×(-2.5))=0.4×sinc(-1.0)≈-0.127

h(2)=0.4×sinc(0.4×(-1.5))=0.4×sinc(-0.6)≈-0.191

h(3)=0.4×sinc(0.4×(-0.5))=0.4×sinc(-0.2)≈-0.248

h(4)=0.4×sinc(0.4×0.5)=0.4×sinc(0.2)≈0.248

h(5)=0.4×sinc(0.4×1.5)=0.4×sinc(0.6)≈0.191

h(6)=0.4×sinc(0.4×2.5)=0.4×sinc(1.0)≈0.127

h(7)=0.4×sinc(0.4×3.5)=0.4×sinc(1.4)≈0.072（3分）

综上，h(n)={-0.072,-0.127,-0.191,-0.248,0.248,0.191,0.127,0.072}（n=0到7）

解：1.先明确输入x(n)和单位脉冲响应h(n)：

h(n)=(0.5)^nu(n)，即h(n)={1,0.5,0.25,0.125,...}（n≥0）

x(n)=u(n)-u(n-3)，即x(n)={1,1,1}（n=0,1,2），n≥3时x(n)=0（3分）

2.输出y(n)=x(n)⊗h(n)=Σ（k=0到2）x(k)h(n-k)（因为x(k)仅k=0,1,2非零）

分情况计算y(n)：

n<0：y(n)=0（无重叠）

n=0：y(0)=x(0)h(0)=1×1=1

n=1：y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=1×0.5+1×1=1.5

n=2：y(2)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=1×0.25+