人教版八年级下学期数学第21章四边形第3节菱形及其性质知识点+练习题以及答案

第二十一章四边形第4节：菱形及其性质知识点（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（2）菱形的性质：对称性：是轴对称图形；四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.（3）菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半（4）菱形的面积计算有如下方法：①一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；②四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；③两条对角线长度乘积的一半．（5）菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.②对角线互相垂直的平行四边形是菱形③四条边相等的四边形是菱形（6）菱形的性质与判定的综合运用①.在求解菱形中的线段长度时，结合菱形的边相等和对角线互相垂直平分的性质.②.在证明问题中，常常需要灵活运用性质和判定.如证明一个四边形是菱形，可能先证明它是平行四边形（通过对边平行等条件），再证明对角线垂直或者一组邻边相等；或者直接证明四条边相等.练习题第1课时菱形及其性质１．如图，要使平行四边形ＡＢＣＤ成为菱形，需添加的一个条件是（）Ａ．ＡＣ＝ＡＤＢ．ＡＢ＝ＢＣＣ．∠ＡＢＣ＝９０°Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ２．如图，菱形ＡＢＣＤ的顶点Ｃ在直线ＭＮ上，若∠ＢＣＭ＝４５°，∠ＤＣＮ＝２５°，则∠ＢＤＣ的度数为（）Ａ．２０°Ｂ．３０°Ｃ．３５°Ｄ．４０°3.如图，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ是ＡＢ的中点，连接ＯＥ．若ＯＥ＝３，则菱形的边长为（）Ａ．６Ｂ．８Ｃ．１０Ｄ．１２４．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节Ａ，Ｅ间的距离，若Ａ，Ｅ间的距离调节到９０ｃｍ，菱形的边长ＡＢ＝３０ｃｍ，则∠ＤＣＢ的度数是．5.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰，可抽象成如图所示的菱形ＡＢＣＤ，测得ＢＤ＝８ｃｍ，ＡＣ＝６ｃｍ，则该菱形的周长为ｃｍ．６．如图，菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝１６，ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，ＤＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，连接ＯＥ，则ＯＥ的长为．７．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＢＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＦ．求证：ＡＦ＝ＣＥ．８．如图，菱形ＡＢＣＤ的边长为４，∠Ｂ＝１２０°，则菱形ＡＢＣＤ的面积为（）Ａ．６Ｂ．43Ｃ．83Ｄ．１２９．如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ．若ＡＣ＝６，ＢＤ＝５，则菱形ＡＢＣＤ的面积是．１０．如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＣＤ＝５，ＢＤ＝８，ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，则ＡＥ的长是（）Ａ．245Ｂ．６Ｃ．485１１．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝１０，面积为６０，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交边ＢＣ于点Ｅ，连接ＥＯ，则ＥＯ＝．１２．如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ是边ＣＤ的中点，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＤ于点Ｆ，ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，若ＡＣ＝１２，ＢＤ＝１６，则ＦＧ的长为．１３．如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，延长ＡＢ到点Ｆ，使ＢＦ＝ＡＢ，连接ＤＦ交ＣＢ于点Ｅ．（１）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明Ｅ是ＢＣ的中点．（２）连接ＤＢ，若ＤＦ⊥ＢＣ，ＤＢ＝４，求ＤＥ的长．１４．如图，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，Ｅ为ＢＣ的中点，延长ＡＢ到点Ｆ，使ＢＦ＝12（１）求证：四边形ＯＢＦＥ是平行四边形．（２）若ＢＤ＝１２，ＡＢ＝１０，求平行四边形ＯＢＦＥ的面积．１５．综合实践课上，创新小组的同学对含６０°角的菱形进行了探究．【问题情境】如图，在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＢＣ上的点，且∠ＥＤＦ＝６０°．【初步感知】（１）若点Ｅ是ＡＢ的中点，则ＤＥ与ＤＦ的数量关系为．【深入探究】（２）若点Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＢＣ上任意一点，则ＤＥ与ＤＦ的数量关系是什么？并说明理由．【问题解决】（３）若ＡＢ＝４，求△ＤＥＦ周长的最小值．第2课时菱形的判定１．如图，在▱ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，下列条件不能判定▱ＡＢＣＤ为菱形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＢＣＢ．ＡＣ⊥ＢＤＣ．ＢＤ平分∠ＡＢＣＤ．∠ＡＤＣ＝６０°２．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（）３．如图，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，要使▱ＡＢＣＤ为菱形，可添加的一个条件是．（写一个即可）４．将一张矩形纸片对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下（剪口与第一次的折线成２０°角），得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是．５．如图，在▱ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ的垂直平分线与边ＡＤ，ＢＣ分别相交于点Ｅ，Ｆ．求证：四边形ＡＦＣＥ是菱形．６．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２ＡＢ，Ｄ，Ｅ分别为ＢＣ，ＡＣ的中点．过点Ａ作ＡＦ∥ＢＣ交ＤＥ的延长线于点Ｆ．求证：四边形ＡＢＤＦ是菱形．７．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ上的点，且ＢＥ＝ＤＦ，连接ＡＥ，ＣＦ，ＡＦ，ＣＥ．求证：四边形ＡＦＣＥ是菱形．８．如图，两个完全相同的三角尺ＡＢＣ和ＤＥＦ的最长边在直线ｌ上滑动，连接ＢＦ，ＣＥ，可以添加一个条件，使四边形ＣＢＦＥ为菱形，下列选项中正确的是（）Ａ.ＢＤ＝ＡＥＢ.ＢＤ＝ＢＥＣ.ＢＦ⊥ＡＤＤ.ＦＥ＝２ＡＥ９．如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，以点Ａ为圆心，ＡＢ的长为半径作弧，交ＡＤ于点Ｆ，再分别以点Ｂ，Ｆ为圆心，大于12ＢＦ的长为半径作弧，两弧交于点Ｇ，射线ＡＧ交ＢＣ于点Ｅ．若ＢＦ＝８.８，ＡＢ＝５.５，则ＡＥ的长为１０．如图，将两张宽度都为６的纸条重叠在一起，使∠ＡＢＣ＝６０°，则四边形ＡＢＣＤ的面积为．１１．如图，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＡＦ∥ＢＣ，ＢＦ与ＡＤ交于点Ｅ，且点Ｅ恰好是ＢＦ的中点，连接ＣＦ．（１）求证：四边形ＡＤＣＦ是菱形．（２）若∠ＤＣＦ＝１２０°，ＡＣ＝８，求菱形ＡＤＣＦ的周长．１２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，过Ａ点作ＢＣ的平行线与∠ＡＢＣ的平分线交于点Ｄ，连接ＣＤ．（１）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形．（２）连接ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＢＣ交ＢＣ的延长线于Ｅ点，连接ＥＯ，若ＥＯ＝5，ＢＥ＝４，求ＣＥ的长．１３．如图，已知△ＡＢＣ和△ＤＥＦ都是边长为１０ｃｍ的等边三角形，且Ｂ，Ｄ，Ｃ，Ｅ在同一直线上，连接ＡＤ，ＣＦ，已知ＢＤ＝３ｃｍ，若△ＡＢＣ沿着ＢＥ方向以１ｃｍ/ｓ的速度运动，设△ＡＢＣ的运动时间为ｔｓ．（１）当ｔ为何值时，四边形ＡＤＦＣ是菱形？（２）当ｔ为何值时，四边形ＡＤＦＣ是矩形？并求其面积．答案第1课时菱形及其性质１．Ｂ２．Ｃ3.Ａ４．１２０°5.20cm６．６７．证明∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∵ＡＥ＝ＣＦ，∴ＡＢ－ＡＥ＝ＢＣ－ＣＦ，即ＢＥ＝ＢＦ，在△ＡＢＦ和△ＣＢＥ中，ＡＢ＝ＣＢ∴△ＡＢＦ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ），∴ＡＦ＝ＣＥ．８．Ｃ９．１５１０．Ａ１１．10１２．５１３．解析（１）如图，证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，∴∠Ｃ＝∠ＦＢＥ，∠ＣＤＥ＝∠Ｆ，∵ＢＦ＝ＡＢ，∴ＣＤ＝ＢＦ，∴△ＣＤＥ≌△ＢＦＥ（ＡＳＡ），∴ＣＥ＝ＢＥ，∴Ｅ是ＢＣ的中点．（２）23１４．解析（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＯ＝ＯＣ，ＡＢ＝ＢＣ，∵Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＯＥ是△ＡＢＣ的中位线，∴ＯＥ∥ＡＢ，ＯＥ＝12∵ＢＦ＝12∴ＯＥ＝ＢＦ，∵ＯＥ∥ＢＦ，∴四边形ＯＢＦＥ是平行四边形．（２）24１５．（1）DF=DE（2）DF=DE（3）63第2课时菱形的判定１．Ｄ２．Ｃ３．ＡＢ＝ＡＤ（答案不唯一）４．菱形５．证明∵ＥＦ是ＡＣ的垂直平分线，∴ＥＡ＝ＥＣ，ＦＡ＝ＦＣ，ＯＡ＝ＯＣ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ＝９０°，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ，在△ＯＡＥ和△ＯＣＦ中，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ∴△ＯＡＥ≌△ＯＣＦ（ＡＳＡ），∴ＥＡ＝ＦＣ，∴ＥＡ＝ＥＣ＝ＦＡ＝ＦＣ，∴四边形ＡＦＣＥ是菱形．６．证明∵Ｄ，Ｅ分别为ＢＣ，ＡＣ的中点，∴ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线，ＢＣ＝２ＢＤ，∴ＤＥ∥ＡＢ，又∵ＡＦ∥ＢＣ，∴四边形ＡＢＤＦ是平行四边形，∵ＢＣ＝２ＡＢ，∴ＡＢ＝ＢＤ，∴平行四边形ＡＢＤＦ是菱形．７．证明如图，设ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，∵ＡＢ＝ＡＤ，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴平行四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ，∵ＢＥ＝ＤＦ，∴ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＥＯ＝ＦＯ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形，又∵ＡＣ⊥ＢＤ，∴平行四边形ＡＦＣＥ是菱形．８．Ｂ９．６.６１０．243１１．解析（１）证明：∵ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，∴点Ｄ是ＢＣ的中点，又∵点Ｅ是ＢＦ的中点，∴ＤＥ∥ＣＦ，即ＤＡ∥ＣＦ，∵ＡＦ∥ＢＣ，∴四边形ＡＤＣＦ是平行四边形，∵ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，∠ＢＡＣ＝９０°，∴ＣＤ＝ＢＤ＝ＡＤ，∴四边形ＡＤＣＦ是菱形．（２）∵四边形ＡＤＣＦ是菱形，∠ＤＣＦ＝１２０°，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＦ＝６０°，∵ＡＤ＝ＤＣ，∴△ＡＣＤ是等边三角形，∴ＡＤ＝ＤＣ＝ＡＣ＝８，∴菱形ＡＤＣＦ的周长为８×４＝３２．１２．解析（１）证明：∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ，∴ＡＢ＝ＡＤ，∵ＡＢ＝ＢＣ，∴ＡＤ＝ＢＣ，又∵ＡＤ∥ＢＣ，∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∵ＡＢ＝ＢＣ，∴四边形ＡＢＣＤ是菱形．(2)∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＢＯ＝ＤＯ，ＢＣ＝ＣＤ，∵ＤＥ⊥ＢＥ，∴∠ＢＥＤ＝９０°，∴ＢＤ＝２ＯＥ＝25，∴ＤＥ＝ＢＤ2设ＣＥ＝ｘ，则ＣＤ＝ＢＣ＝ＢＥ－ＣＥ＝４－