振动力学-非线性振动课件 第27章 板的非线性振动

振动力学——非线性振动VibrationMechanics——NonlinearVibrationFOR

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弱非线性振动

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非线性自由振动

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二维离散-时间动力系统的不动点与分岔

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第22章

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第23章

同伦分析方法

第24章

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第25章

三维连续-时间动力系统的奇点与分岔

第6篇

分岔和混沌

第26章

转子的非线性振动

第27章

板的非线性振动

第28章

三维离散-时间动力系统的不动点与分岔

附录C非线性微分方程的椭圆函数解

附录D部分思考题和习题参考答案

第27章板的非线性振动

27本章研究了夹层椭圆形板的非线性强迫振动问题。在以5个位移分量表示的夹层椭圆板的运动方程的基础上,导出了相应的非线性动力学方程,提出一类强非线性动力系统的叠加-迭代谐波平衡法;将描述动力系统的二阶常微分方程,化为基本解为未知函数的基本微分方程和派生解为未知函数的增量微分方程;通过叠加-迭代谐波平衡法得出了椭圆板的1/3亚谐解,同时对叠加-迭代谐波平衡法和数值积分法的精度进行了比较,并且讨论了1/3亚谐解的渐进稳定性;计及材料的非线性弹性和黏性性质,研究了圆板在简谐载荷作用下的混沌,导出了相应的非线性动力学方程;利用Melnikov函数法,结合Poincaré

映射、相平面轨迹、时程曲线和分岔图判定系统是否处于混沌状态,并对系统通向混沌的道路进行了讨论。27.1夹层椭圆形板的1/3亚谐解27.1.1

引言

夹层板具有重量轻、刚度高等优良性能,从而成为航空、航天和海洋工程的重要结构元件。近年来,对夹层板壳的非线性问题的分析已引起了相关学者极大的研究兴趣,尤其在夹层板壳的非线性振动方面已取得了一些成果。但是,由于非线性数学的困难,对于夹层板壳的分岔问题还无人进行探讨。本文研究了夹层椭圆形板的1/3亚谐解。目前,新近兴起学科———混沌学为非线性系统的分析开拓了广阔前景。经典摄动法等难以求解强非线性问题,主要局限在于不合理的常频率假设。近十多年来,虽然强非线性振动研究取得了一系列成果,但对亚(超)谐解的定量研究仍然是悬而未决的问题,不得不依赖于数值解法。本章提出了叠加-迭代谐波平衡法(SIHB),把强非线性动力系统的稳态解问题转化为较少数量的非线性代数方程组问题。利用Maple程序可以方便地求解这些非线性代数方程组,得到稳态解的近似解析表达式,通过叠加-迭代逐步求出亚(超)谐解。27.1.2基本方程

考虑在均匀横向载荷Q0cosΩ0τ

作用下的夹椭圆形板，如图27.1.1所示,

假定上下表层的材料性质和厚度相同。Reissner假定：⑴

材料服从Hooke定律；⑵

夹心横向不可压缩；⑶

夹心沿板面方向不能承受载荷；⑷

表层处于薄膜应力状态；⑸

夹心中面法线在变形后仍保持为直线。图27.1.1夹层椭圆形板的坐标和几何尺寸

基于上述假设，应用哈密顿原理，导出以5个位移分量(u、v、w、Ψx、Ψy)表示的夹层椭圆形板非线性振动的运动方程：

(27.1.1a)

(27.1.1b)

(27.1.1c)

(27.1.1d)

(27.1.1e)引进无量纲量：利用(27.1.2)，可将方程式(27.1.1)写为无纲量形式:

(27.1.3)边界条件（夹层椭圆板的边缘为刚性夹紧固定）：

(27.1.4)采用伽辽金法对具有固定边界的夹层椭圆板的非线性问题进行单模态分析。选取满足边界条件式(27.1.4)的位移和转角函数：其中:

φ(t)——无量纲时间

t

的函数，其最大值为φmax=Wm=wm/h0wm——夹层椭圆板的中心挠度。

(27.1.5)当时，将式(27.1.5)代入式(27.1.3)，利用Galerkin积分方程，可得：

(27.1.6)式中，p——夹层椭圆形板的线性振动固有角频率，

(27.1.7)

(27.1.8a)

(27.1.8b)

(27.1.8c)

(27.1.8d)其中：方程式(27.1.6)是是硬弹簧型Duffing方程。引入无量纲参数可得到标准Duffing方程：式中，。27.1.3叠加—叠代谐波平衡法考虑一般系统的强非线性单自由度强迫振动问题：

(27.1.12)第一步：Newton叠代过程

(27.1.13)假设为方程式(27.1.12)的所求周期解，其中x0

(t)

为基本解，

y

(t)为派生解，且分别满足基本方程：

(27.1.14)(27.1.15)第二步：Ritz平均过程由式(27.1.14)采用Ritz平均法，求基谐解

(27.1.16)由式(27.1.15)采用Ritz平均法，逐步求派生解y

(t)

。27.1.4解析解假设方程式(27.1.6)的基谐解为：

(27.1.17)

将假设解式(27.1.17)代入方程式(27.1.6)，用Ritz平均法，得到关于幅值参数的一个非线性微分方程组：稳态基谐解为

(27.1.19)它的系数是方程组式(27.1.18)的奇点，可通过求解下列非线性代数方程组得到

(27.1.20a)

(27.1.20b)1、基谐解稳态基谐解的稳定性由微分方程组式(27.1.18)的线性化系数矩阵的特征根进行判定(取p=1,

μ=1)2、1/3亚谐解假设方程式(27.1.6)的1/3亚谐解为：

(27.1.22)基本解：

(27.1.23a)派生解：

(27.1.23b)将式(27.1.22)代入式(27.1.6)得到派生解满足增量方程：

(27.1.24)将式(27.1.22)代入式(27.1.6)，用Ritz平均法，得到关于幅值参数的一个非线性微分方程组：

(27.1.25a)

(27.1.25b)

(27.1.25c)

(27.1.25d)稳态1/3亚谐解为

(27.1.26)基本解

(27.1.27a)派生解

(27.1.27b)其系数就是微分方程组式(27.1.25)的奇点，可通过求解下列非线性代数方程组得到

(27.1.28a)

(27.1.28b)

(27.1.28c)

(27.1.28d)

稳态1/3亚谐解式(27.1.26)的稳定性通过微分方程组式(27.1.25)的线性化系数矩阵的特征根进行判定。利用Maple程序通过叠代求解，并计算特征根判别其稳定性，其叠代步骤如下：第一步:求解方程组式(27.1.20),得到初值,取

。第二步:取,求解式(27.1.28c)(27.1.28d),得到

。第三步:取,求解式(27.1.28a)(27.1.28b),得到。第四步:取,求解式(27.1.28a)(27.1.28b),得到。第五步:取,求解式(27.1.28a)(27.1.28b),得到若，进行下一步,否则,转入第四步。第六步:最后得到1/3亚谐解式(27.1.26)的系数,，并判断稳定性(结束)。

27.1.5数值计算结果

考察方程式(27.1.11)，n=0.05,

Ω=6.3,q=40的情况，利用Maple程序求解，并计算特征根判别其稳性。由方程组式(27.1.20)可以求得基谐解式(7.1.19)的系数A、B、C，如图27.1.2a)所示。其中B

是鞍点，由C分岔出超谐解，由A分岔出1/3亚谐解。稳态1/3亚谐解式(27.1.26)的系数由方程组式(7.1.28)求得,基本解式(27.1.27a)的系数为A0、A1

、A2

,如图27.1.2b)所示。派生解式(7.1.27b)的系数为①~⑦，如图27.1.2c)所示。。代入式(7.1.26)得到7个1/3亚谐解:其中式(27.1.29b)表示的1/3亚谐解如图27.1.3所示。采用双精度四阶Runge-Kutta（RK）法取时间步长△t=T/35，T=2π/

Ω，得到

时的1/3亚谐解如图27.1.4所示。以激励振幅分岔图如图27.1.5所示。（1）夹层椭圆形板的1/3亚谐振动可以用假设解式(27.1.26)描述,在亚谐频域内,由叠加-迭代谐波平衡法(SIHB)和数值积分法所得的稳态1/3亚谐解吻合得相当好。（2）

采用SIHB法得出了1/3亚谐解的个数、解的稳定性、解的解析表达式和解的分岔情况。。（3）在4个稳定的1/3亚谐解中,其中1个亚谐解仍然为1/1基谐解,另外3个亚谐解的基本解相同,1/3亚谐成分具有对称性并且相位差是2π/3。由图27.1.2c)可以看出:焦点1为零解;3个焦点(2、3、4)构成正三角形;3个鞍点(5、6、7)亦构成正三角形。27.1.6结论27.2非线性黏弹性圆板的分岔和混沌运动对结构分析而言,材料非线性是指应力与应变之间的非线性关系,包含率无关或率敏感效应。在实际应用中,由塑性、黏塑性、蠕变等引起的材料非线性应用最广,而非线性弹性和黏弹性材料行为及应用也日益受到重视。随着科学技术的高度发展,工程中板壳结构的应用日益广泛,板壳结构的动力学问题一直是固体力学学科中的重要课题之一。目前,新近兴起学科———混沌学为非线性系统的分析开拓了广阔的前景。本节利用Melnikov法,对二次非线性黏弹性圆板受到周期载荷作用后的动力性态进行定性研究,发现当加载参数与结构阻尼处于某一范围时,系统将表现出其内在的随机性。27.2.1前言27.2.2

二次非线性黏弹性圆板振动方程圆形薄板板厚为h、周边固支。(1)变形前垂直于中面的直线变形后仍呈一直线,并保持与中面垂直。(2)忽略沿中面垂直方向的法向应力。(3)只计及横向惯性效应。(4)圆板是轴对称的。基本假设：考虑载荷：

(27.2.1)板单元的动力平衡方程为：——薄板张力的分量——薄板剪力的分量——板单元单位长度上的内力矩——材料密度——阻尼系数——横向挠度各内力分量与应力的关系为圆板是轴对称的，可得其中,h0为偏心坐标。偏心坐标将式(27.2.2c)、式(27.2.2d)代入式(27.2.2e)可得

对单向应力状态，材料本构关系可由Kelvin-Voigt描述，其中的弹性元件具有二次非线性性质：——材料的初始弹性模量——另一个新的材料常数——黏性系数在极坐标情况下应力-应变的非线性弹性本构方程为：设则有圆板的几何方程可写成：将式(27.2.9)、式(27.2.7)代入式(27.2.3c)可求得内力矩表达式为其中：将式(27.2.10)代入式(27.2.4)得到薄板剪力分量：固支边界条件：取位移模式：其中：由伽辽金原理：将式(27.2.15)、式(27.2.16)代入式(27.2.17)积分，可求得将式(27.2.12)代入式(27.2.5)得：即：其中：引入无量纲参数得：如果E>0,E1<0如果E<0,E1>0如果E<0,E1<027.2.3二次非线性方程的自由振动分析1.二次非线性方程的同宿轨道当ε=0时，式(27.2.22)变成自由振动方程它的等价系统为式(27.2.22)为一哈密顿系统，其哈密顿量为势函数[图27.2.1a)]图27.2.1二次非线性自由振动方程式

(27.2.26)的解特性同宿轨道的参数方程为图27.2.1二次非线性自由振动方程式(27.2.26)的解特性非对称恢复力[图27.2.1b)]它的平衡点有2个,即是中心，是鞍点。当时，存在一条连接(-1,0)的同宿轨道

,形成一个同宿圈;在鞍点，。当时，方程式(27.2.26)在同宿圈内存在一族包围(0,0)的闭轨;在中心，当时解是发散的,如图27.2.1c)所示。图27.2.1二次非线性自由振动方程式(27.2.26)的解特性结论：同宿轨道──对应──孤立波(27.2.32)以H=H(k)

为参数的周期轨道为其中,的图形为图27.2.2a),称为位移孤立波;的图形为图27.2.2b),称为速度冲击波。其中：这里snu,cnu,dnu为雅可比椭圆函数，轨道对应的周期为：K(k)

——第一类完全椭圆积分。定义广义振幅和圆频率分别为：自由振动方程中圆频率与振幅的关系ω-A

曲线称为骨干线。如图27.2.1d)所示。图27.2.1二次非线性自由振动方程式(27.2.26)的解特性当ε

=0时式(27.2.23)变成自由振动方程非对称恢复力[图27.2.3a)]：其同宿轨道的参数方程为其中：当时，围绕原点的周期轨道方程[图27.2.3b)]图27.2.3二次非线性自由振动方程式(27.2.38)的解特性图27.2.3二次非线性自由振动方程式(27.2.38)的解特性2.用改进的L-P法求二次非线性方程自由振动的渐近解讨论方程初始条件：假设系统式(27.2.43)，(27.2.44)的角频率为ω，引入变量则式(27.2.43)变成令引入一个新参数那么其标准型是将x展开为α

的级数将式(27.2.51)代入式(27.2.43)得到一系列的渐近方程方程式(27.2.52a)满足初始条件式(27.2.44)的解：将式(27.2.53)代入式(27.2.52b)得到由式(27.2.54)，解得将式(27.2.53)、(27.2.55)代入式(27.2.52c)得到消去长期项的条件是：由式(27.2.56)，解得各内力分量与应力的关系为继续进行求解得到：方程式(27.2.43)、(27.2.44)的四阶渐近解为：其中：将代入式(27.2.60),得到标准二次非线性方程的近似频幅关系,即骨干线改进的Lindstedt-Poincare法得到的周期

T∗

见表27.2.1。27.2.4Melnikov函数解析法首先考察方程式(27.2.22)，计算同宿轨道式(27.2.31)的Melnikov函数得到不难证明二次非线性振动方程式(27.2.23)、式(27.2.24)、式(27.2.25)与方程式(27.2.22)具有相同的混沌门槛值。由式(27.2.65),可以确定产生横截同宿点时,临界周期所对应的混沌门槛值为当f

取得较大值时,因M(t0)可以取得任意符号的数值,即M(t0)>0,便会产生横截同宿点,即Ws与Wu交叉,产生混沌。因此,对于二次非线性系统式(27.2.22),当f>fc时,便会进入混沌。混沌门槛值Ω-R0

曲线如图27.2.4所示。对于系统式(27.2.22)~式(27.2.25)，进行数值模拟研究。采用3个参数固定其中2个，作出剩余1个参数变化的分岔图，找到具体的混沌区域后，再研究它们的规律。1.考察方程一27.2.5

数值仿真的分岔图，取时间步长Δt=T/200,T=2π/Ω

绘制:①Ω=1.7、μ=0.3时的振幅分岔图f-x

如图27.2.5所示②当Ω=1.9、μ=0.3时的振幅分岔图f–x如图27.2.6所示。③当f=0.82、μ=0.3时的角频率分岔图Ω–x如图27.2.7所示。④当f=0.82、Ω

=