2027届高三数学一轮复习课件：第八章　8.1 直线和圆

第八章平面解析几何考情清单知识清单考点清单目录CONTENTS考情清单考点真题示例考向5年考频核心素养直线与圆、圆与圆的位置关系2023新课标Ⅰ,6直线与圆相切7考数学运算直观想象2022新高考Ⅰ,14求公切线方程2023新课标Ⅱ,15;202

2新高考Ⅱ,15直线与圆相交2025全国一卷,7;2021

新高考Ⅰ,11;2021新高考Ⅱ,11直线与圆的位置关系椭圆的定义和标准方程2025全国一卷,18(1);

2025全国二卷,16(1);2021新高考Ⅱ,20(1);

2021新高考Ⅰ,5求椭圆方程及椭圆定义的应用4考数学运算椭圆的几何性质2024新课标Ⅰ,16(1);

2023新课标Ⅰ,5椭圆的离心率3考直观想象逻辑推理2023新课标Ⅱ,5椭圆的焦点坐标双曲线的定义和标准方程2023新课标Ⅱ,21(1);

2022新高考Ⅱ,21(1);2021新高考Ⅰ,21(1)求双曲线的方程3考数学运算逻辑推理双曲线的几何性质2025全国一卷,3;2024新课标Ⅰ,12;2023新课标Ⅰ,16双曲线的离心率5考数学运算逻辑推理2021新高考Ⅱ,13双曲线的渐近线2025全国二卷,11双曲线的多种性质综

合抛物线的几何性质2025全国一卷,10;2025全国二卷,6;2024新课标Ⅱ,10;2023新课标Ⅱ,10;2022新高考Ⅰ,11;2022新高考Ⅱ,10;2021新高考Ⅰ,14抛物线的多种性质综

合8考逻辑推理2021新高考Ⅱ,3抛物线焦点坐标直线与圆锥曲线的位置关系2022新高考Ⅰ,21(1);

2021新高考Ⅰ,21(2)斜率与角度问题13考直观想象逻辑推理数学运算2025全国二卷,16(2);

2024新课标Ⅰ,16(2);2022新高考Ⅰ,16;2022新高考Ⅰ,21(2)弦长与面积问题2024新课标Ⅱ,19;2023新课标Ⅰ,22(2);2022新高考Ⅱ,21(2);

2021新高考Ⅱ,20(2)证明与探究性问题2023新课标Ⅱ,21(2)定点、定值问题2022新高考Ⅱ,16中点弦问题2025全国一卷,18(2)最值问题轨迹方程问题2024新课标Ⅰ,11;2023新课标Ⅰ,22(1)直接法求轨迹方程3考数学运算2024新课标Ⅱ,5相关点法求轨迹方程综合分析本章内容命题形式多样,在选择题、填空题中主要考查直线与圆的位置关系,圆锥

曲线的定义、方程和几何性质,解答题中主要考查直线与圆锥曲线的方程及位置关系;

直线与圆锥曲线的位置关系题目涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题,

常与函数、不等式等知识综合考查,双曲线几何性质的考查多集中在双曲线的渐近线

和离心率上,抛物线则侧重考查抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化,以及抛物线焦点弦的性质.结合本章命题特点,复习过程中需注意以下几点:①求解直线与圆的问题时,要注意圆的

性质的应用,常采用几何法求解,同时要注意与其他知识的交汇问题;②求圆锥曲线方程

时,需关注待定系数法与定义法的应用;③求解有关弦中点问题时,需关注点差法和根与系数的关系的应用;④求解定值、定点问题时,需注意求解思路与问题转化方法.8.1直线和圆知识清单知识点1直线的方程1.倾斜角:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成

的角α叫做直线l的倾斜角.规定:当直线l与x轴平行或重合时,l的倾斜角为0°.2.倾斜角的范围:直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.3.直线的斜率(1)定义:当直线l的倾斜角α≠

时,其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,则k=tanα.(2)范围:全体实数R.(3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为

=

.4.直线的方向向量直线AB上的向量

以及与它平行的非零向量都是直线AB的方向向量.若直线AB的斜率为k,

=(x,y),则k=

(x≠0).5.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y=kx+b两点式

=

(其中x1≠x2,y1≠y2)不含垂直于两坐标轴的直线截距式

+

=1(其中a≠0,b≠0)不含垂直于两坐标轴和过原点的直

线一般式Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)平面直角坐标系内的所有直线都适

用知识拓展

1.直线系方程符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的直线系方程有如下几种:(1)过定点M(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(不包含直线x=x0);(2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C'=0(C'≠C);(3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C'=0;(4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0(

+

≠0)和A2x+B2y+C2=0(

+

≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).2.直线的参数方程如图,设直线l经过点P0(x0,y0),v=(m,n)是它的一个方向向量,P(x,y)是直线l上异于点P0的

任意一点,则向量

与v共线.根据向量共线的充要条件,知存在唯一的实数t,使

=tv,

即(x-x0,y-y0)=t(m,n),所以

①在①中,实数t是对应点P的参变数,简称参数.6.两直线的位置关系方程斜截式一般式l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2l1:A1x+B1y+C1=0(

+

≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(

+

≠0)相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1=-

或k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1≠b2A1B2-A2B1=0且不存在λ∈R,使得(A2,B

2,C2)=λ(A1,B1,C1)7.距离公式点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=

点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=

两平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=

知识点2圆的方程标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心为(a,b)半径为r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)充要条件:D2+E2-4F>0圆心坐标:

半径r=

知识拓展

1.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.2.在平面内给定相异两点A,B,设P点在同一平面内,且满足

=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.(链接人教A版选择性必修第一册P89第9题)3.若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆上任意一点P(x,y)的坐标可表示为

其中θ为参数.(链接人教A版选择性必修第一册P89第10题)知识点3直线和圆的位置关系1.直线和圆位置关系的判定设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联

立直线和圆的方程,消元后得到一元二次方程根的判别式Δ.位置关系图形判断方法公共点个数代数法几何法相交

Δ>0d<r2相切

Δ=0d=r1相离

Δ<0d>r02.与圆的切线有关的问题(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点P(a,b)作圆的切线PA,PB,其中A,B为切点,则直线AB的方程为ax+

by=r2,切线长|PA|=

.(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长|PT|

=

.3.直线与圆的相交弦直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=d2+

,即l=2

,求弦长或已知弦长求其他量时,一般用此公式.知识点4圆和圆的位置关系设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则位置关系图形公共点个数d,R,r的关系公切线条数外离

0d>R+r4外切

1d=R+r3相交

2R-r<d<R+r2内切

1d=R-r1内含

0d<R-r0知识拓展两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)·y+F1-F2=0③.方程③表示

圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.(链接人教A版选择性必修第一册P98练习第2题)即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)直线l在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离.

()(2)已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行,则a的值为-1或3.

()(3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则有E≠0.

()(4)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.

()

✕

√

✕

✕

2.已知直线l经过点A(-2,0)与B(-5,3

),则直线l的斜率k=_______,倾斜角θ=_________,l的一个方向向量为_____________________.

(1,- )(答案不唯一)

120°

- 

3.圆x2+y2=5过点M(2,1)的切线方程为________________.

2x+y-5=0

4.圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有_________条.

4

考点清单考点1直线和圆的方程角度1直线的倾斜角和斜率典例1

(2025届吉林名校联盟联考,4)已知直线l的斜率k∈(-1,

),则直线l的倾斜角的取值范围是

()A.

B.

C.

∪

D.

∪

D

解析设直线l的倾斜角为α,则k=tanα.因为k∈(-1,

),且α∈[0,π),所以α∈

∪

.【可结合正切函数的图象求解】故选D.解题技巧直线倾斜角的范围是[0,π),但这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据

斜率求倾斜角的范围时,要分

和

两种情况讨论.变式训练1.(逆向思维变式)(2025届陕西西安交大附中期末)已知点A(2,-3),B(-3,-2),若过点(1,

1)的直线l与线段AB相交,则直线l的斜率的取值范围是

()A.

∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪

C.

D.

B

解析记点(1,1)为点P,由题知,直线PA的斜率kPA=

=-4,直线PB的斜率kPB=

=

,因为直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,所以可作出直线PA,PB,线段AB,如图,

由图可得,直线l的斜率的取值范围是(-∞,-4]∪

.故选B.角度2求直线、圆的方程典例2

(1)(求直线的方程)已知A(1,0),B(-2,-1),C(2,5),若直线l经过BC的中点,且与直

线AB平行,则l的方程为________________.(2)(求圆的方程)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-

3=0上截得的弦长为

,则圆C的方程为_______________________________________.

(x-1)2+(y+1)2=2(或x2+y2-2x+2y=0)

x-3y+6=0

解析

(1)由题意知kAB=

=

,BC的中点坐标为(0,2),所以l的方程为y-2=

x,即y=

x+2.因此,直线l的方程为x-3y+6=0.(2)解法一

求圆心与半径

∵所求圆的圆心在直线x+y=0上,∴可设所求圆的圆心为(a,-a).∵所求圆与直线x-y=0相切,∴半径r=

=

|a|.又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为

,圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=

=

,∴d2+

=r2,即

+

=2a2,解得a=1,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.解法二

待定系数法(设圆的方程为标准方程)

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=

,∴r2=

+

,即2r2=(a-b-3)2+3.①∵所求圆与直线x-y=0相切,∴

=r,即(a-b)2=2r2.②将②代入①,整理得a-b=2,又∵圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③解得a=1,b=-1,r=

,故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.解法三待定系数法(设圆的方程为一般方程)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0),则圆心为

,半径r=

.∵圆心在直线x+y=0上,∴-

-

=0,即D+E=0.①又∵圆C与直线x-y=0相切,∴

=

,即D2+E2+2D·E-8F=0.②又知圆心

到直线x-y-3=0的距离d=

,由已知得d2+

=r2,即(D-E+6)2+12=2(D2+E2-4F).③联立①②③,解得

故圆C的方程为x2+y2-2x+2y=0.方法总结

1.求直线方程的方法(1)直接法:由题意确定出直线方程适当形式的参数,然后直接写出其方程.(2)待定系数法:先由直线满足的某些条件设出直线的方程,再由另外的条件求出待定系

数,即得所求直线的方程.注意:①在求直线的方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件,如采用点

斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否存在或为零等.②最终将直线的方程写成一般式或斜截式.2.求圆的方程的方法(1)直接法:根据条件求出圆心坐标和半径长度,直接写出圆的方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r

的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,而给出圆上点的坐标,则选择设圆的一般方程,

依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.变式训练2.(关键元素变式)过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线的方程

为

()A.x-y+3=0B.x+y-5=0C.4x-y=0或x+y-5=0D.4x-y=0或x-y+3=0

D

解析

解法一当直线过原点时,又因为直线过点A(1,4),所以直线的方程为y=4x,即4x-

y=0.当直线不过原点时,设直线的方程为

+

=1,因为点A(1,4)在直线上,所以

+

=1,解得a=-3,所以直线的方程为x-y+3=0.因此所求直线的方程为4x-y=0或x-y+3=0.故选D.解法二设直线的方程为y-4=k(x-1),令x=0,得y=4-k,令y=0,得x=1-

,依题意得1-

+4-k=0,解得k=4或k=1,因此所求直线的方程为4x-y=0或x-y+3=0.故选D.3.(情境模型变式)(2025届湖南长沙长郡中学模块测,14)设圆满足:①截y轴所得弦长

为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在满足条件①,②的所有圆中,圆心到直

线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程为______________________________.

(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

解析设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°,可得圆P截x轴所得的弦长为

r,故r2=2b2,又圆P截y轴所得的弦长为2,所以r2=a2+1,得2b2-a2=1.又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=

,所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时等号成立,此时d

取得最小值.由

解得

或

由r2=2b2知r2=2.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.考点2直线和圆、圆和圆的位置关系角度1直线和圆的位置关系典例3直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是

()A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定

A

解析

解法一

直线系法直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为12+(1-1)2<5,则点(1,1)在

圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交,故选A.解法二

几何法因为圆C的圆心为C(0,1),半径r=

,则C到直线l的距离d=

=

<

=1<r=

.所以直线与圆相交.故选A.方法总结判断直线与圆位置关系的常用方法(1)若易求出圆心到直线的距离d,则用几何法,利用d与半径r的大小关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后

利用Δ判断,若方程含参数的直线过定点,可转化为用点与圆的位置关系来判定.能用几

何法的,尽量不用代数法.变式训练4.(关键元素变式)若圆x2+y2=4上恰有4个点到直线x-y+m=0的距离等于1,则m的取值

范围是______________.

(- , )

解析由题意得

<1,解得-

<m<

.角度2圆和圆的位置关系典例4

(多选)(2024届河北衡水枣强中学期末,9)已知圆C1:(x+2)2+y2=1,圆C2:x2+(y-a)2=9,

则下列结论正确的是

(

)A.若C1和C2外离,则a>2

或a<-2

B.若C1和C2外切,则a=±2

C.当a=0时,有且仅有一条直线与C1和C2均相切D.当a=2时,C1和C2内含

ABC

解析圆C1:(x+2)2+y2=1的圆心为C1(-2,0),半径r1=1,圆C2:x2+(y-a)2=9的圆心为C2(0,a),半

径r2=3,所以|C1C2|=

.若C1和C2外离,则|C1C2|=

>r1+r2=4,解得a>2

或a<-2

,故A正确;若C1和C2外切,则|C1C2|=

=4,解得a=±2

,故B正确;当a=0时,|C1C2|=2=r2-r1,则C1和C2内切,故仅有一条公切线,故C正确;当a=2时,2=r2-r1<|C1C2|=2

<r1+r2=4,则C1和C2相交,故D错误.故选ABC.方法总结解决两圆位置关系问题的方法1.判断两圆位置关系时,多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断,一般不采用

代数法.2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.3.求两圆公共弦长时常选其中一圆,由弦心距d、半弦

、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.变式训练5.(关键元素变式)(多选)已知圆C:x2+y2=1,A(4,a),B(4,-a),若圆C上仅存在一点P使PA

⊥PB,则正实数a的取值可以是

(

)A.2

B.3

C.4

D.5

BD

解析若圆C上仅存在一点P使PA⊥PB,则以AB为直径的圆与圆C内切或外切,由A(4,a),B(4,-a),得以AB为直径的圆的圆心为(4,0),半径为a(a>0),则

=1+a,或

=|1-a|,解得a=3或a=5.故选BD.角度3与圆的切线相关的问题典例5已知点P在圆C:(x-a)2+y2=a2(a>0)上,点A(0,2),若|PA|的最小值为1,则过点A且与

圆C相切的直线方程为

()A.x=0或7x+24y-48=0B.x=0或7x-24y-48=0C.x=1或24x-7y-48=0D.x=1或24x+7y-48=0

A

解析由圆C的方程可得圆心为C(a,0),半径r=a,因为|PA|的最小值为1,所以

-a=1,【圆外一定点A到圆上的点的距离的最小值为|AC|-r】解得a=

,故圆C的方程为

+y2=

.当过点A(0,2)的切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+2,则

=

,解得k=-

,所以切线方程为y=-

x+2,即7x+24y-48=0;当过点A(0,2)的切线斜率不存在时,切线方程为x=0.综上,过点A且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y-48=0.故选A.方法总结过点(x0,y0)的圆的切线的两种情况1.点(x0,y0)在圆上.(1)若切线的斜率存在且不为零,则先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线

的斜率为-

,然后由点斜式可得切线方程.(2)若切线的斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程.2.点(x0,y0)在圆外.(1)设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即得切

线方程.(2)当用(1)中方法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面的解法中不包括

斜率不存在的情况.(3)过圆外一点的切线有两条.变式训练6.(设问条件变式)已知直线l:x-y-2=0与圆O:x2+y2=1,过直线l上的任意一点P作圆O的

两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则∠APB的最大值为

()A.

B.

C.

D.

C

解析由题意可知,圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1,则圆心O到直线l的距离为

=

>1,可知直线l与圆O相离,如图,∠APB=2∠APO,且sin∠APO=

=

,

当|OP|最小时,sin∠APO最大,可得∠APO最大,即∠APB最大,此时|OP|即为圆心O到直线l的距离

,则sin∠APO=

,所以∠APO=

,因此∠APB的最大值为

.故选C.角度4与圆的弦长有关的问题典例6

(多选)已知圆O:x2+y2=9,过点A(2,0)的动直线l与圆O相交于M,N两点,则(

)A.存在直线l,使得|MN|=4B.使得|MN|为整数的直线l有3条C.存在直线l,使得△MON的面积为

D.存在直线l,使得△MON的面积为

BD解析因为圆O的半径为3,|OA|=2,所以2

≤|MN|≤6,即2

≤|MN|≤6,【|MN|最小时,MN与OA垂直】故A不正确.若|MN|为整数,则|MN|=5或|MN|=6,且满足|MN|=5的直线l有2条,满足|MN|=6的直线有1条,

故B正确.S△MON=

|OM||ON|sin∠MON=

sin∠MON,若S△MON=

,则sin∠MON=1,则∠MON=

,则O到直线l的距离为3cos

=

>2,不符合题意,故C不正确.若S△MON=

,则sin∠MON=

,则∠MON=

或

.若∠MON=

,则O到直线l的距离为3cos

=

>2,不符合题意.若∠MON=

,则O到直线l的距离为3cos

=

<2,符合题意,故D正确.故选BD.方法总结直线被圆截得的弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立消元得到一元二次方程,根据弦长公式求弦长;(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径为r,则弦长l=2

.变式训练7.(关键元素变式)已知直线ax+y+2-a=0与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最

小值为

()A.2

B.3

C.4

D.6

C

解析由ax+y+2-a=0,得a(x-1)+y+2=0,所以直线AB过定点(1,-2),设P(1,-2),将圆C的方程x2+y2+4y-1=0化为标准方程为x2+(y+2)2=5,所以圆心C(0,-2),半径r=

,|PC|=1.当PC⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2

=2×

=4.故选C.角度5对称问题典例7

(点关于直线的对称)(2025届吉林名校联盟月考,14)已知点P(1,4),Q(6,3),直

线l:x+y-3=0,M为直线l上一动点,则|MP|+|MQ|的最小值为__________.

5 

解析设P关于l的对称点为P0(x0,y0),则

解得

即P0(-1,2).因为|MP|+|MQ|=|MP0|+|MQ|≥|P0Q|,所以|MP|+|MQ|的最小值为|P0Q|=

=5

.方法总结

1.中心对称(1)若点M(x1,y1)与N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得

(2)直线关于点的对称可以转化为点关于点的对称来解决.

2.轴对称(1)点关于直线对称当求点P1(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0(B≠0)对称的点P2(x2,y2)时,由线段P1P2的中点在对称轴l上,而且过点P1,P2的直线垂直于对称轴l,得到方程组

可得到点P2的坐标(x2,y2)(其中A≠0,x1≠x2).

(2)直线关于直线对称可以转化为点关于直线对称来解决.特别地,①点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P1(2a-x0,y0).②点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P2(x0,2b-y0).③点P(x0,y0)关于直线y=x+c的对称点为P3(y0-c,x0+c).④点P(x0,y0)关于直线y=-x+c的对称点为P4(c-y0,c-x0).变式训练8.(1)(直线关于直线的对称)(2025届河南平顶山月考,6)直线y=x+1关于直线y=2x对称

的直线方程为

()A.3x-y-1=0

B.4x-y-2=0C.5x-y-3=0

D.7x-y-5=0(2)(点关于点的对称)过点P(0,1)的直线l与直线l1:2x+y-8=0和直线l2:x-3y+10=0分别交

于A,B两点,若线段AB的中点为P,则直线l的方程为________________.

x+4y-4=0

D

解析

(1)联立

解得交点坐标为(1,2),点P(0,1)在直线y=x+1上,设点P关于直线y=2x的对称点的坐标为Q(m,n),有

解得

则直线y=x+1关于直线y=2x对称的直线方程为y-2=

(x-1),整理为7x-y-5=0.故选D.(2)根据题意设A(m,8-2m),B(3n-10,n),又P为线段AB的中点,所以

解得

则A(4,0),B(-4,2),所以直线l的方程为y=

(x-4),即x+4y-4=0.角度6与圆有关的最值问题典例8

(多选)已知直线l:kx-y+k=0,圆C:x2+y2-6x+5=0,P(x0,y0)为圆C上任意一点,则下列

说法正确的是

(

)A.

+

的最大值为5B.

的最大值为

C.直线l与圆C相切时,k=±

D.圆心C到直线l的距离最大为4

BC

解析圆C的方程可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心C的坐标为(3,0),半径r=2.对于A,

+

=(x0-0)2+(y0-0)2表示点(x0,y0)到原点距离的平方,结合图形(图略)知