2027届高三数学一轮复习课件：第八章　8.4　抛物线

第八章平面解析几何8.4抛物线知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1抛物线的定义把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,

点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.知识点2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形

范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0准线x=-

x=

y=-

y=

焦点

对称性关于x轴对称关于y轴对称顶点(0,0)离心率e=1焦半径长x0+

-x0+

y0+

-y0+

焦点弦长x0+x1+p-(x0+x1)+py0+y1+p-(y0+y1)+p其中P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,且PQ过焦点F,线段PF,QF称为抛物线的焦半径,

线段PQ称为抛物线的焦点弦.知识拓展

1.抛物线的焦点弦的重要结论.以抛物线C:y2=2px(p>0)为例.若AB为抛物线y

2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐

标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

(1)x1x2=

,y1y2=-p2;(2)|AF|=

,|BF|=

,

+

=

;(3)弦长|AB|=x1+x2+p=

,抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;(4)S△OAB=

(其中O为坐标原点);

(5)以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;(6)过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.2.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交,交点分

别为A,B(如图),则直线AB过定点M(2p,0);反之,若过点M(2p,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,则必有OA⊥OB.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切.

()(2)方程x=ay2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且焦点坐标是

,准线方程为x=-

.

()(3)抛物线y2=2px(p>0)中,p是焦点到准线的距离.

()

√

✕

✕

2.已知抛物线的方程为4y=x2,则抛物线的准线方程为____________.

y=-1

3.已知点F为抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点,点A(4,m)在Γ上,且|AF|=5,则m=__________.

4.已知F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0=_________.考点清单考点1抛物线的定义和标准方程角度1抛物线的定义及应用典例1在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离

小1,则P的轨迹方程为______________.

y2=-8x

解析由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定

义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,直线x=2为准线的抛物线,则p=4,故轨迹方程为y2=-8x.典例2抛物线W:y2=4x的焦点为F.对于W上一点P,若P到直线x=5的距离是P到点F距离

的2倍,则点P的横坐标为

()A.1

B.2

C.3

D.4

A

解析由题意得F(1,0),准线方程为x=-1,设点P的横坐标为a,a≥0,由抛物线的定义知|PF|=|a-(-1)|=a+1,则|a-5|=2(a+1),解得a=1或a=-7(舍去).从而点P的横坐标为1.故选A.解题技巧看到准线想到焦点,看到焦点想到准线.变式训练1.(设问条件变式)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0

的距离为d2,则d1+d2的最小值为

()A.3

B.4

C.

D.

A

解析设抛物线的焦点为F.因为抛物线上的点P到准线的距离等于它到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则点F到直线4x-3y+11=0的距离为d1+d2的最小

值,如图所示.

由F(1,0),直线4x-3y+11=0,可得(d1+d2)min=

=3,故选A.角度2抛物线的标准方程典例3抛物线y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为

()A.

B.2

C.

D.1

A

解析由点P(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上得4=4p,则p=1.由抛物线的定义得,点P到焦点

的距离为2+

=

.故选A.方法总结求抛物线的标准方程的方法1.定义法.2.待定系数法.先根据焦点位置设出抛物线的标准方程,再根据条件确定参数的值.若焦

点位置不明确,为避免讨论开口方向,可以设抛物线方程为y2=mx或x2=ny(m,n≠0).变式训练2.(关键元素变式)若抛物线过点(3,-4),则抛物线的标准方程为____________________.

y2= x或x2=- y

解析∵点(3,-4)在第四象限,∴抛物线开口向右或向下.设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把(3,-4)分别代入得(-4)2=2p·3或32=-2p1·(-4),则2p=

或2p1=

,故所求抛物线的标准方程为y2=

x或x2=-

y.考点2抛物线的几何性质典例4

(多选)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,焦点到准线的距离为2,Q为C上的

一个动点,则

(

)A.C的焦点坐标为(1,0)B.若M(3,5),则△QMF周长的最小值为11C.若M(0,4),则|QM|的最小值为2

D.在x轴上不存在点E,使得∠QEF为钝角

BCD

解析选项A,抛物线C:x2=2py(p>0),焦点到准线的距离为p=2,则C:x2=4y,焦点F(0,1),错

误;选项B,∵M(3,5),F(0,1),∴|MF|=

=5,设Q到准线y=-1的距离为d,M到准线y=-1的距离为d'=5-(-1)=6,则△QMF的周长为|MF|+|FQ|+|QM|=5+d+|QM|≥5+d'=5+6=11,正确;

选项C,设Q

,由M(0,4),得|QM|=

=

=

,当

=8时,|QM|的值最小,为2

,正确;选项D,设E(t,0),Q

,则

=

,又F(0,1),∴

=(-t,1),∴

·

=(-t,1)·

=-tx0+t2+

=

≥0,∴cos∠QEF=

≥0,∴∠QEF不可能为钝角,正确.故选BCD.归纳总结应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出

抛物线的顶点、对称轴和开口方向等几何特征.变式训练3.(设问条件变式)(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-1)(k≠0)与抛物

线C交于A,B两点,则下面说法正确的是

(

)A.C的准线方程为x=-2B.∠AOB>

C.k=1时,|AB|=4

D.

+

=1

BD

解析由题意,可得F(1,0),p=2,准线x=-1,故A错误;设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义

可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,联立得

消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2+

,x1x2=1,根据抛物线的定义可得|AB|=x1+1+x2+1=x1+x2+2,当k=1时,2+

=6,故|AB|=6+2=8,故C错误;

+

=