2027届高三数学一轮复习课件：第八章　8.5　直线与圆锥曲线的位置关系

第八章平面解析几何8.5直线与圆锥曲线的位置关系考点清单目录CONTENTS考点1直线与圆锥曲线的位置关系典例1

(位置关系判断)(2024届湖南衡阳一中模拟,5)已知直线kx+y+2k=0与椭圆

+

=1相切,则k的值为

()A.2

B.

C.±2

D.±

C

考点清单解析联立

消去y,得4x2+3(-kx-2k)2=12,化简得(4+3k2)x2+12k2x+12k2-12=0,因为直线kx+y+2k=0与椭圆

+

=1相切,所以Δ=(12k2)2-4×(4+3k2)×(12k2-12)=0,化简整理得k2-4=0,所以k=±2.故选C.典例2

(中点弦问题)已知直线l交抛物线C:x2=-28y于M,N两点,且MN的中点为(-2,-11),则直线l的斜率为

()A.-

B.

C.

D.-

C

解析设M(x1,y1),N(x2,y2),则

两式相减得(x2+x1)(x2-x1)=-28(y2-y1),所以直线l的斜率为k=

=

,又因为MN的中点为(-2,-11),所以x1+x2=-4,则k=-

=-

=

.故选C.方法总结

1.直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.(1)直线与椭圆有两个公共点⇔相交;直线与椭圆有一个公共点⇔相切;直线与椭圆没有

公共点⇔相离.(2)直线与双曲线有两个公共点⇒相交.当直线与双曲线只有一个公共点时,除了直线与双曲线相切外,还有可能是直线与双曲

线相交,此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有公共点⇔相离.(3)直线与抛物线有两个公共点⇒相交.当直线与抛物线只有一个公共点时,除了直线与抛物线相切外,还有可能是直线与抛物

线相交,此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有公共点⇔相离.2.中点弦问题求解与中点弦有关问题的两种方法:(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为二次方程之后,结合根与系

数的关系,建立等式关系或不等式关系.(2)点差法:若题中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,可设出直线和圆

锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,然后利用中点求出直线的斜率,进而求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中

点轨迹、垂直平分线问题.“点差法”中必须保证判别式Δ大于零.变式训练1.(设问条件变式)已知双曲线E:

-

=1,则过点(2,

)与E有且只有一个公共点的直线共有()A.4条

B.3条

C.2条

D.1条

C

解析由题意得点(2,

)在双曲线的渐近线y=

x上,且位于第一象限,和双曲线的右顶点的横坐标相同,如图,F1,F2分别为左、右焦点,

所以过点(2,

)且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条:一条是直线x=2,另一条是过点(2,

)且与另一条渐近线平行的直线.故选C.2.(逆反条件变式)已知椭圆M:

+

=1,过点P(1,m),斜率为

的直线l与M交于A,B两点,且P为AB的中点,则m=

()A.1

B.-1

C.

D.-

B

解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由P为AB的中点得x1+x2=2,y1+y2=2m.由A,B在椭圆上,得

两式相减得

+

=

+

=

+

=0,易知x1≠x2,则

+

=

+

×

=0,解得m=-1.故选B.考点2弦长与面积问题典例3

(2026届山西长治质监,16)已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=4,过F2作直线l与C交于A,B两点,△F1AB的周长为8

.(1)求C的方程;(2)若△F1AB的面积为

,求l的方程.解析

(1)设椭圆的半焦距为c(c>0),由题意知2c=4,所以c=2,因为△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8

,所以a=2

,所以b2=a2-c2=4,故C的方程为

+

=1.(2)由题意知l的斜率不为零.设l:x=my+2,联立

消去x可得(m2+2)y2+4my-4=0,Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-

,y1y2=-

,所以|y1-y2|=

=

,由

=

|F1F2||y1-y2|=

=

,解得m=±1,所以l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.方法总结

1.弦长问题(1)当弦的两端点坐标易求时,可求出两端点坐标,再用两点间距离公式直接求解.(2)若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长|AB|=

=

|x1-x2|=

·

或|AB|=

|y1-y2|=

·

(k≠0).(3)当直线过抛物线的焦点时,可利用抛物线的焦点弦公式求解弦长.2.面积问题(1)利用弦长公式与点到直线的距离公式计算三角形的面积S△PAB=

|AB|·d(其中d为P到AB的距离).(2)如图,S△AQB=

|PQ|·|yA-yB|=

|AC|·|xQ-xB|,其中AC⊥x轴,PQ⊥y轴.

(3)S△ABC=

|AB|·|AC|·sin∠BAC.(4)对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度的乘积的

.变式训练3.(设问条件变式)斜率为1的直线l与椭圆

+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为

()A.2

B.

C.

D.

C

解析设l的方程为y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2),由

消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,由Δ=(8t)2-4×5×4(t2-1)>0得0≤t2<5,由根与系数的关系得x1+x2=-

t,x1x2=

,则|AB|=

|x1-x2|=

=

=

.当t2=0时,|AB|max=

.故选C.考点3定点、定值与定线问题典例4

(定值问题)如图,已知椭圆C1:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为C1上的一个动点(非左、右顶点),连接AF1并延长,交C1于点B,且△ABF2的周长为8,

△AF1F2面积的最大值为2.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2,且C2与C1的离心率相等,P为AB与C2异于F1的交点,直线

PF2交C1于M,N两点,证明:|AB|+|MN|为定值.解析

(1)∵△ABF2的周长为8,∴由椭圆的定义得4a=8,即a=2.∵△AF1F2的面积在点A与椭圆C1的上(或下)顶点重合时取最大值2,∴

·2c·b=2,即bc=2,∵a2=b2+c2,∴b2+

=4,解得b=

(舍负),∴椭圆C1的标准方程为

+

=1.(2)证明:由(1)可知F1(-

,0),F2(

,0),椭圆C1的离心率e=

=

.设椭圆C2的方程为

+

=1(a'>b'>0),则有a'=

,

=

=

,解得b'=1,∴椭圆C2的标准方程为

+y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB,MN的斜率分别为k1,k2,则lAB:y=k1(x+

),lMN:y=k2(x-

),联立

消去y,整理得(2

+1)x2+4

x+4

-4=0,∴x1+x2=-

,x1x2=

,∴|AB|=

=

·

=

,同理可得|MN|=

,∴|AB|+|MN|=

+

,【化简此式若通分,则过于烦琐,所以需找k1和k2之间的关系,看题图可知直线AB与MN交于点P,结合点P在C2上找k1与k2的

关系】设P(x0,y0),由点P在C2上得

+2

=2①,又y0=k1(x0+

)⇒k1=

,y0=k2(x0-

)⇒k2=

,∴k1·k2=

·

=

=

=-

,【想用到①式就需出现

,

,只能k1和k2相乘】∴k2=-

,∴|AB|+|MN|=

+

=

+

=6,即|AB|+|MN|为定值.方法总结

1.求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路,一般证明”,即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目标的

一般性证明.(2)“一般推理,特殊求解”,即先由题设条件得出曲线的方程,再根据参数的任意性得

到定点坐标.(3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)来证明.2.求解定值问题常用的方法(1)引入变量法:解题流程为

(2)特例法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.3.动点在定直线(曲线)上的问题的解题策略(1)从特殊入手,初步确定动点所在的直线(曲线),再证明一般情况下动点也在该定直线

(曲线)上即可.(2)从动点的坐标入手,直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到动点的横、纵坐标关系,进而得出定直线(曲线)的方程.变式训练4.(定点问题)已知离心率为

的椭圆C:

+

=1(a>b>0)过点P(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)不过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,且

·

=0,求证:直线l过定点,并求出定点坐标.解析

(1)根据条件可知

解得

所以椭圆C的方程为

+

=1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立

消去x得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,则x1+x2=-

,x1x2=

,(*)因为

·

=0,所以(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,即(x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0,展开整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0,将(*)代入上式,化简整理得12k2+16km+5m2-2m-3=0,对其因式分解得(2k+m-1)(6k+5m+3)=0,因为直线l不过点P(2,1),所以2k+m-1≠0,于是6k+5m+3=0,即

k+m=-

,所以直线l过定点

.当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0),于是

+

=1,因为

·

=0,所以(x0-2)2+1-

=0,消去y0得5

-16x0+12=0,解得x0=

或x0=2(舍去),所以此时直线l也经过定点

.综上所述,直线l过定点

.5.(定直线问题)已知双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一条