2027届高三数学一轮复习课件：第八章　高考热点10　轨迹问题

第八章平面解析几何高考热点10

轨迹问题类型1常规曲线的轨迹问题类型2非常规曲线的轨迹问题目录CONTENTS类型1常规曲线的轨迹问题动点轨迹问题的常用解法:1.定义法几何条件满足已知曲线的定义,可以确定曲线方程的类型,先求参数再写出方程,也可先

设后求待定系数.2.相关点法(1)建立动点与相关点坐标之间的关系,用动点坐标表示相关点的坐标;(2)将动点的坐标关系代入相关点所满足的曲线方程,可求得动点的轨迹方程.典例1

(相关点法)长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则点A

关于点B的对称点M的轨迹方程为

()A.

+

=1

B.

+

=1C.

+

=1

D.

+

=1

D

解析设A(x1,0),B(0,y2),M(x,y),则有x+x1=0,y+0=2y2,即x1=-x,y2=

,由题意可得

+

=4,即(-x)2+

=4,即

+

=1.故选D.变式训练1.(定义法)若动点P(x,y)满足方程|

-

|=3,则动点P的轨迹方程为

()A.

-

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

-

=1

A

解析由题意得点P(x,y)到点A(-2,0)与点B(2,0)的距离之差的绝对值为3,且4>3,故动点

P的轨迹是以A(-2,0)与B(2,0)为焦点的双曲线,且2a=3,c=2,所以a=

,b2=c2-a2=4-

=

,所以动点P的轨迹方程为

-

=1.故选A.2.(相关点法)已知F1,F2分别为椭圆E:

+y2=1的左、右焦点,P是椭圆E上一动点,G是三角形PF1F2的重心,则点G的轨迹方程为()A.x2+9y2=1

B.x2+9y2=1(y≠0)C.

+

=1

D.

+

=1(y≠0)

B

解析由题意得F1(-2

,0),F2(2

,0)设G(x,y),P(m,n),由G是三角形PF1F2的重心得

则

又P是椭圆E上一动点,∴

+(3y)2=1,即x2+9y2=1,又G是三角形PF1F2的重心,∴y≠0,所以点G的轨迹方程为x2+9y2=1(y≠0).故选B.类型2非常规曲线的轨迹问题解决非常规曲线轨迹问题的策略(1)利用条件求出轨迹方程,类比研究圆锥曲线性质(对称性、范围、顶点等)的方法研

究曲线的性质,进而解决问题;(2)利用非常规曲线的条件(限制动点的几何条件),运用函数、基本不等式等解决问题.典例2

(多选)(2026届广东深圳开学考,10)李老师用3D打印技术制作了一个北极星金

属图标(如图),该图标的外部轮廓曲线在平面直角坐标系中可以用曲线E表示,已知曲线

E上的任意一点M到两个坐标轴距离的算术平方根之和为2.则下列结论正确的是

(

)A.点M到x轴的最大距离为2B.曲线E有4条对称轴C.曲线E与直线x+y-2=0有3个交点BCD

D.点M到坐标原点的最小距离为

解析设M(x,y),M点到x轴的距离为d1,到y轴的距离为d2,则

+

=2,【确定动点的几何条件是解题的关键,将坐标代入可得到曲线的方程】由题意可得

+

=2,所以

=2-

≤2,【用

≥0来确定y的范围】所以|y|≤4,所以点M到x轴的最大距离为4,因此A不正确.把

+

=2中的x换为-x,方程不变,所以曲线E关于y轴对称,把

+

=2中的y换为-y,方程不变,所以曲线E关于x轴对称,把

+

=2中的x与y互换,方程不变,所以曲线E关于直线y=x对称,把

+

=2中的x换为-y,y换为-x,方程不变,所以曲线E关于直线y=-x对称,所以曲线E有4条对称轴,因此B正确.因为

=2-

≤2,所以x∈[-4,4],联立

得

+

=2,移项平方可得|2-x|=4-4

+|x|,当x∈[2,4]时,上式化为x-2=4-4

+x,解得x=

,y=-

;当x∈[0,2)时,上式化为2-x=4-4

+x,解得x=1,y=1;当x∈[-4,0)时,上式化为2-x=4-4

-x,解得x=-

,y=

,所以曲线E与直线x+y-2=0有3个交点,因此C正确.点M到坐标原点的距离为d=

,由图形的对称性可知,只需研究x≥0,y≥0时即可.由

+

=2得y=(2-

)2,代入d=

,可得d=

,【方法技巧:利用曲线方程,代入目标函数构造一元函数,利用函数知识求最小值】令t=

,t∈[0,2],则d=

,令f(t)=2t4-8t3+24t2-32t+16,则f'(t)=8t3-24t2+48t-32=8(t-1)(t2-2t+4),因为t2-2t+4=(t-1)2+3>0,所以t∈[0,1]时,f'(t)≤0,f(t)单调递减,t∈(1,2]时,f'(t)>0,f(t)单调递增,所以f(t)有最小值f(1)=2,即d有最小值

,因此D正确.故选BCD.变式训练3.(关键元素变式)(多选)在平面直角坐标系xOy中,曲线C是到定点A(-a,0),B(a,0)的距

离之积等于a2(a>0)的点的轨迹.若P(x0,y0)是曲线C上一点,则下列说法中正确的是

(

)A.曲线C关于原点O成中心对称B.x0的取值范围是[-a,a]C.曲线C上有且仅有一点P满足|PA|=|PB|D.曲线C上所有的点P都在圆x2+y2=2a2上或其内部ACD

解析设曲线C上任意一点的坐标为(x,y),则曲线C的方程为

·

=a2.A选项,由P(x0,y0)是曲线C上一点,知

·

=a2,点P关于原点的对称点为M(-x0,-y0),有

·

=

·

=a2,即M(-x0,-y0)在曲线C上,故A正确.B选项,由a2=

·

≥

·

=|

-a2|,得0≤

≤2a2,∴-

a≤x0≤

a,故B错误.C选项,若|PA|=|PB|,则点P在线段AB的垂直平分线上,∴x0=0,将P(0,y0)代入方程,得(

)2=a2,解得y0=0,故只有P是原点时满足|PA|=|PB|,故C正确.D选项,由

·

=a2,得(

+

+a2)2=a4+4a2

,又由

≤2a2得(

+

+a2)2≤9a4,∴

+

≤2a2,故D正确.故选ACD.4.(关键元素变式)(多选)(2026届广东六校联盟第三次联考,11)如图,在一次社会实践

中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”,其纵截面轮廓线近似曲线C:y2=x3-2x+2

的一部分,则

(

)

A.点(1,1)在C上B.在(1,1)处C的切线与C的交点的横、纵坐标均为整数C.若C在x轴上方的部分为函数f(x)的图象,则x=

是

f(x)的极小值点D.C在y轴左边的部分到坐标原点O的距离均大于

ACD

解析对于A,将x=1代入曲线方程中,得到y2=13-2+2=1,所以点(1,1)在C上,因此A正确;对于C,f(x)=

,则f

'(x)=

,令f

'(x)=0,得x=±

,当x>

时,

f

'(x)>0,f(x)单调递增,当-

<x<

时,f

'(x)<0,f(x)单调递减,则x=

是f(x)的极小值点,故C正确;对于B,由C可知f

'(1)=

,则以(1,1)为切点的切线方程为y-1=

(x-1),即y=

(x+1),将切线方程代入曲线方程中,得x3-2x+2=

x2+

x+

,即4x3-x2-10x+7=0,显然x=1是方程的根,(x-1)(4x2+3x-7)=0,解得x=-

或x=1,因此B错误;对于D,设x3-2x+2=0的解为x0,g(x)=x3-2x+2,g'(x)=3x2-2.当x<-

时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当-

<x<

时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>

时,g'(x)>0,g(x)单调递增,g(-2)=-8+4+2=-2<0,g(-

)=-2

+2

+2=2>0,g(0)=2>0,g

=

-

+2=

>0,所以-2<x0<-

,设曲线上的点为P(x,y),则x0≤x<0,P到原点O的距离为d=

,由y2=x3-2x+2可得d=

,令h(x)=x2+x3-2