2027届高三数学一轮复习课件：第九章　9.2　二项式定理

第九章计数原理9.2

二项式定理知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1二项式定理1.二项式定理:(a+b)n=

an+

an-1b+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*).2.二项式系数:

(k=0,1,2,…,n).3.二项展开式的通项:Tk+1=

an-kbk,它表示展开式的第(k+1)项.提示二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指

,

,…,

,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它

不仅与各项的项数有关,还与a,b的值有关.知识点2二项式系数的性质1.对称性:与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即

=

.2.增减性与最大值(1)增减性:当k<

(n∈N*)时,

随k的增加而增大,由对称性知,二项式系数的后半部分

随k的增加而减小.(2)最大值:(i)当n为偶数时,中间的一项

取得最大值;(ii)当n为奇数时,中间的两项

与

相等,且同时取得最大值.3.各二项式系数的和(1)(a+b)n展开式的各二项式系数的和等于2n,即

+

+

+…+

=2n;(2)在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)

an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.

()(2)(a+b)10展开式中,二项式系数最大的项为第5项.

()(3)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).

()(4)(a-b)11(a>0,b>0)展开式的二项式系数之和为2048.

()

√

✕

✕

✕

2.(x-y)5的展开式中,x3y2的系数是__________.

10

3.已知(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=_________.

5

4.(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a3=_________.

-960

考点清单考点二项式定理角度1二项展开式中的特定项和特定项的系数典例1

(2026届湖南师大附中月考,3)(x-

)5的展开式中,x3项的系数是

()A.5

B.-5

C.10

D.-10

A

解析

(x-

)5=(x-

)5,展开式的通项为Tr+1=

x5-r·(-

)r=

(-1)r·

,令5-

=3⇒r=4,所以x3项的系数是

(-1)4=5.方法总结求(a+b)n(n∈N*)展开式中的特定项(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk+1=

an-kbk,把字母和系数分开;(2)根据题目中的相关条件(如求常数项时,字母的指数为零;求有理项时,字母的指数为

整数等)列出方程(组)或不等式(组),解出k;(3)把k代回通项中,即可求出Tk+1.变式训练1.(跨专题融合变式)若n为一组数8,2,4,9,3,10的第60百分位数,则

的展开式的常数项是

()A.28

B.56

C.36

D.40

A

解析因为n为一组从小到大排列的数2,3,4,8,9,10的第60百分位数,而6×60%=3.6,所以

n=8.

的展开式的通项为Tr+1=

·(

)8-r·

=

,r=0,1,2,···,8.令

=0⇒r=2,所以常数项为

=

=28.典例2

(2025届安徽蚌埠开学调研,13)

(2x-y)5的展开式中,x2y4的系数为__________.

80

解析

(2x-y)5=

(2x-y)5-2y(2x-y)5,二项式(2x-y)5的展开式的通项为Tk+1=

(2x)5-k(-y)k=

·25-k·(-1)kx5-kyk,令k=3,得T4=

·22·(-1)3x2y3=-40x2y3,∴

(2x-y)5的展开式中,x2y4的系数为-2×(-40)=80.方法总结

求几个多项式积的展开式中特定项的方法先将几个多项式积化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情

形,求出相应的特定项,进行合并即可.变式训练2.(设问条件变式)(多选)已知(2-x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则

(

)A.a0=2B.a5=-80C.a1+a3+a5=-365D.当x=-10时,(2-x)(1-2x)5除以11的余数为10

ACD解析已知(2-x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,对于A,令x=0,则a0=2×1=2,故A正

确.对于B,(1-2x)5的通项为Tk+1=

(-2x)k,k=0,1,···,5,可知含x5的项为2T6-xT5=2×(-2x)5-x·

(-2x)4=-144x5,所以a5的值为-144,故B错误.对于C,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=-1,令x=-1,

则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=729,所以a1+a3+a5=

=-365,故C正确.对于D,令x=-10,则(2-x)(1-2x)5=12×215=12×(22-1)5=12×[

·225+

·224·(-1)+…+

·22+(-1)5]=12×

×225+12×

×224×(-1)+…+12×

×22×(-1)4+12×

×(-1)5=12×

×225+12×

×224×(-1)+…+12×

×22×(-1)4-22+10,所以当x=-10时,(2-x)(1-2x)5除以11的余数为10,故D正确.故选ACD.典例3

(2025届湖南师大附中月考,12)(x+3y-1)6的展开式中x2y的系数为_________.

-180

解析

(x+3y-1)6=[(x+3y)-1]6的展开式的通项为

(x+3y)6-r(-1)r,令6-r=n,则(x+3y)n=

xn-t3tyt,令

则n=3,即6-r=3,即r=3,则展开式中含x2y的项为

·(-1)3·

·3x2y=-180x2y,故x2y的系数为-180.方法总结

(a+b+c)n的展开式中特定项(特定项系数)的求解方法

变式训练3.(关键元素变式)(x2-x+y)5的展开式中,x3y3的系数为

()A.30

B.-30

C.20

D.-20

D

解析由(x2-x+y)5=[(x2-x)+y]5,得通项为Tr+1=

(x2-x)5-ryr,则T4=

(x2-x)2y3=10(x4-2x3+x2)y3,所以x3y3的系数为-20.角度2二项式系数和与各项系数和典例4

(多选)(2025届浙江杭州十四中月考,6)已知(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(

)A.a1=-18B.a9=-29C.a1+a2+…+a9=-1D.a1+a3+a5+a7+a9=-

ABD

解析

A,B选项,(1-2x)9的通项为Tk+1=

(-2)kxk,当k=1时,a1=

(-2)1=-18,当k=9时,a9=

(-2)9=-29,A,B正确;C,D选项,在(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中,令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=(1-2)9=-1,令x=0,得a0

=(1-0)9=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9=(1+2)9=39,故a1+a2+…+a9=-1-1=-2,a1+a3+a5+a7+a9=-

,C错误,D正确.故选ABD.解题技巧求二项式系数和与各项系数和的策略1.(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.可由展开式求二项式系数的和或已知

二项式系数的值反求n.2.赋值法求各项系数的和(1)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,对于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的

系数的和为g(1),奇数项的系数和为

[g(1)+g