上海民办兰生某中学七年级下册数学期末试卷综合测试卷（含答案）

上海民办兰生复旦中学七年级下册数学期末试卷综合测试卷（word含答案）

一、解答题

1.已知，AE/IBD,ZA=AD.

（1）如图1,求证：ABi/CD：

（2）如图2,作NE4E的平分线交。。于点尸，点G为A8上一点，连接尸G,若NCFG的

平分线交线段AG于点”，连接AC,若NACE=NB4C+N8GM,过点”作交

(1)求证：ZABF+Z.DCF=Z.8FC；

(2)连接BE、CE、BC,若8E平分N4BC,BELCE,求证：CE平分N8CD：

(3)在(2)的条件卜，G为EF上一点、,连接BG,若，BFC=NBCF,NFBG=2/ECF,

ZC8G=70°,求NFBE的度数.

Si£2S3

3.问题情境：

（1）如图1,AB!/CD,NPA3=128。，ZPCD=119°.求NAPC度数.小颖同学的解题思

路是：如图2,过点P作PE//AB,请你接着完成解答.

问题迁移：

（2）如图3,AD//8C,点P在射线QM上运动，当点P在A、8两点之间运动时，

ZA£>F=Za,/尸C£=4?.试判断/CFO、Na、3之间有何数量关系？（提示：过点

〜作PfVAA。），请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、4两点外侧运动时（点尸与点A、B、。三点不

重合），请你猜想NCPD、Na、//之间的数量关系并证明.

福用图

4.综合与实践

背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的

直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直

线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重:要知识，是初中阶段几何合情推

理的基础.

已知：AMIICN,点8为“面内一点，A8_L8C于8.

问题解决：(1)如图1，直接写出N4和NC之间的数量关系；

(2)如图2,过点8作于点D,求证：N48D=/C；

(3)如图3,在(2)间的条件下，点E、F在0M上，连接8E、BF、CF,8F平分/D8C,

5.如图，已知AB//CD,CN是NBCE的平分线.

(1)若CM平分N3C。，求ZA/CN的度数；

(2)若CM在N8CQ的内部，且CM_LC/V于C,求证：CM平分N3CO；

(3)在(2)的条件下，过点8作8P_L8Q,分别交CM、CN于点P、Q,々BQ绕着

4点旋转，但与CM、CN始终有交点，问：/8PC+NBQC的值是否发生变化？若不变,

求其值；若变化，求其变化范围.

B

A

M

E----------------竿-----D

二、解答题

6.已知：三角形八8c和三角形。EF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C,且

BC1MN,其中NA8C=ZAC8,ZDEF=/DFE,ZABC+/DFE=9CT,点E、F均落

在直线MN上.

利用这条辅助线解决了问题.请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程.

(2)将三角形DEF沿着A/M的方向平移，如图2,求证：DE//AC,

(3)将三角形DEF沿着的方向平移，使得点E移动到点厅，画出平移后的三角形

DEF,并回答问题，若/DFE=a,则NC48=.(用含。的代数式表示)

7.已知直线AB〃CQ,M,N分别为直线人8,上的两点月.NMN/)=70。，P为直线

。。上的一个动点.类似于平面镜成像，点N关于镜面MP所成的镜像为点Q,此时

NNMP=ZQMP/NPM=4QPM/MNP=ZMQP.

(1)当点P在N右侧时：

①若镜像Q点刚好落在直线AA上(如图1),判断直线MN与直线尸。的位置关系，并说

明理由；

②若镜像Q点落在直线与C力之间(如图2),直接写出NBMQ与/。尸。之间的数量

关系；

(2)若镜像PQ工CD,求NBMQ的度数.

8.已知：如图1,AB//CD,点、E,尸分别为AB,CD上一点.

EE

A------------------BA------------------B

（1）在AB,CD之间有一点M（点M不在线段E/上），连接ME,MF,探究

ZAEM,/EMF,/MFC之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应

的数量关系，选其中一个进行证明.

（2）如图2,在AB,CO之两点M,N,连接WN,NF,请选择一个图形写出

ZAEM,/EMN,/MNF,NNPC存在的数量关系（不需证明）.

9.如图，两个形状，大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置.，PA、P8与直线

MN重合，且三角板力C,三角板P8。均可以绕点P逆时针旋转.

（1）①如图1,ZDPC=度.

②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“挛生三角

形”，如图1,三角板8P0不动，三角板PAC从图示位置开始每秒10。逆时针旋转一周

（0°〈旋转＜360。），问旋转时间t为多少时，这两个三角形是“挛生三角形〃.

（2）如图3,若三角板P4C的边外从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速37秒，同时三

角板P8。的边P8从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速27秒，在两个三角板旋转过程

中，（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动）.设两个三角板旋转时间为t秒，以

/CPD

下两个结论：①为定值；②NBPN+/CP。为定值，请选择你认为对的结论加以证

F4BTPN”

图1图2图3

10.综合与探究

综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活

动，如图，已知两直线〃，b,且ci/lb,三角形A8C是直角三角形，Z^C4=90°,

/胡C=30°,Z/WC=6CQ

操作发现：

B

（1）如图1.Zl=48°,求Z2的度数：

（2）如图2.创新小组的同学把直线。向上平移，并把N2的位置改变，发现

Z2-Zl=120°,请说明理由.

实践探究：

（3）填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3,AC

平分NBA”,此时发现N1与N2又存在新的数量关系，请写出N1与N2的数量关系并说明

理由.

三、解答题

11.如图①，将一副直隹三角板放在同一条直线AB上，其中NONM=30。，ZOCD=

45°.

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E,

求/CEN的度数；

（2）将图①中的三角板。MN绕点O按逆时针方向旋转，使/BON=30。，如图③，MN

与CD相交于点E,求NCEN的度数；

（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30。的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的

过程中，在第秒时，直线MN恰好与直线CD垂直.（直接写出结果）

12.（生活常识）

射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相

等.如图1,M/V是平面镜，若入射光线4。与水平镜面夹角为N1,反射光线08与水平镜

面夹角为N2,则N1=N2.

（现象解释）

如图2,有两块平面镜OM,ON,且O/W_LON,入射光线A8经过两次反射，得到反射光线

CD.求证4BIICD.

（尝试探究）

如图3,有两块平面镜OM,ON,月MON=55。，入射光线4B经过两次反射，得到反射

（深入思考）

如图4,有两块平面镜OM,ON,且NMON=a,入射光线A8经过两次反射，得到反射光

线CD,光线48与CD所在的直线相交于点E,NB£D=6,a与6之间满足的等量关系

是.（直接写出结果）

13.如图1,CE平分ZAC£>,4E平分/8AC,N£4C+4CE=90

（1）请判断A8与CO的位置关系并说明理由；

（2）如图2,当N£=90且与C。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

/MCE=NECD,当直角顶点E点移动时，问N4A£与NWC。否存在确定的数量关系？并

说明理由.

（3）如图3,P为线段AC上一定点，点。为直线CO上一动点且A3与CO的位置关系保持

不变，①当点Q在射线。。上运动时（点。除外），NCPQ+NCQP与/8AC有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时（点C除外），

14.直线M/V与直线PQ垂直相交于。，点A在射线OP上运动，点8在射线OM上运

动/、B不与点。重合，如图1,已知A?、BC分别是N8AP和NA8M角的平分线，

(1)点48在运动的过程中，NACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NACB的大小.

(2)如图2,将△A8C沿直线48折叠，若点C落在直线PQ上，则N480=.

如图3,将△A8c沿直线折叠，若点C落在直线MN上，则/A80=

(3)如图4,延长8A至G,已知N840、/04S的角平分线与N80Q的角平分线及其反

3

向延长线交于人F,则/上井=.；在AAEF中，如果有一个角是另一个角的；倍，^RZABO

的度数.

MN、GH之间，若

ZAC4O=I16°,Z.OHH=144°.

(1)ZAOB=—°;

(2)如图2,点C、。是NO、NGBO角平分线上的两点，且NQ犯=35。，求NAC。的

度数；

(3)如图3,点F是平面上的一点，连结以、FB,E是射线以上的一点，若NM4E=

nZOAE,Z.HBF=nZ.OBF,且N4咫=60。，求〃的值.

图1

【参考答案】

一、解答题

1.(1)见解析；(2)

【分析】

（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；

（2）过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据

平角的

解析：（1）见解析；（2）72°

【分析】

（1）根据平行线的性质得出N4+N8=180°,再根据等量代换可得N8+NO=I80。，最后根

据平行线的判定即可得证：

（2）过点E作EP//CD,延长。C至Q,过点M作的V〃A8,根据平行线的性质及等量

代换可得出NECQ=N8G"=NOPG,再根据平角的含义得出NEb=NCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出/BHF=4CFH/CFA=NFAB；设

4FAB=a、4CFH=0,根据角的和差可得出NAEC=2ZAFH,结合已知条件

3NA召C-5/4"/=180。可求得/4切=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

（1）证明：♦.AE//BD

.•Z+N4=I8O。

・・ZA=N。

ZB+ZD=180°

/.AB//CD；

（2）过点E作即//CO,延长OC至Q,过点M作MN〃AB

-AB//CD

ZQCA=ZCAB,ZBGM=/DFG,NCFH=/BHF,^CFA=FAG

•・•ZACE=ZBAC+ZBGM

/ECQ+ZQCA=N84C+NBGM

/ECQ=4BGM=ZDFG

NECQ+ECD=180°.ZDFG+CFG=180。

ZECF=ZCFG

-AB//CD

：.ABHEP

NPEA=NE4B,NPEC=NECF

ZAEC=ZPEC-ZPEA

:.ZAEC=NECF—NEAB

:.NECF=ZAEC+/EAB

4F平分ZftAE

ZEAF=ZFAB=-ZEAB

2

・•FH平分4CFG

ZCFH=ZHFG=-ZCFG

2

QCD//AB

NBHF=4CFH/CFA=NFAB

玻乙FAB=a、乙CFH=/3

•・・ZAFH=ZCF/7-ZCFA=ZCF/7-ZFAB

:"AFH=0-a,4BHF=4CFH=。

ZECF+2ZAFH=ZAEC+NEAB+2/AFH=ZAEC+2fl

NECF+2ZAFH=ZE+24BHF

ZAEC=2ZAFH

3ZAEC-5Z4AH=180°

.-.ZA/7/=l8°

FHLHM

：.ZFHM=90°

:"GHM=90。-0

•••NCBW+ZMW/=180。

/HMB=4HMN=900-p

-ZEAF=ZFAB

NEAF=ZCFA=4CFH-AAFH=/7-18°

ZE4F+NGMH=#-18°+90。一尸=72。

/.ZE4F+ZGMH=72°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

2.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)ZFBE=35。.

【分析】

（1）根据平行线的性质得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,进而解答即可;

（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根据平行线的性质得出N4BF=/8FE,NOCF=NFFC,进而解答即可；

（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；

（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可.

【详解】

证明：（1）,「4811CD,EFWCD,

A8IIEF,

...ZABF=Z.BFE,

,/EFWCD,

：.ZDCF=Z.EFC,

：.Z8FC=NBFE+NEFC=£ABF+/DCF；

（2）BEA.EC,

：.ZBEC=9Q°,

ZE8C+NBCE=90°f

由（1）可得：N8FC=NA8E+NECD=90°,

ZA8E+NECD=4EBC+ABCE,

..BE平分/ABCt

ZABE=Z.EBC,

：.ZECD=ZBCE,

C£平分NBCD；

（3）设N8CE=B，ZECF=v，

3平分/BCD,

ZDCE=N8CE=。，

/.ZDCF=4DCE-ZECF=B-V，

ZEFC=P-Y，

ZBFC=ZBCF,

Z8FC=N8CE+N£CF=y+B，

ZABF=ABFE=2y,

ZF8G=2NECF,

/.ZFBG=2v，

ZA8E+NDCE=2BEC=90°,

Z/ABE=90°-p,

/.ZGBE=NABE-ZABF-ZFBG=90°-p-2y-2y»

•/8E平分/ABC,

NC8E=NA8£=90°-B，

ZCBG=ACBE+ZGBE,

70°=90°-P+900-P-2y-2y,

整理得:2Y+P=55°>

ZFBE=Z.FBG+NGBE=2y+90°-p-2y-2y=90°-（2y+B）=35°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答.

3.（1）见解析；（2）,理由见解析；（3）①当在延长线时（点不与点重

合），；②当在之间时（点不与点，重合），.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEIIAB,构造同旁内角，利用平行线性质，可得NAPC二

解析：（1）见解析：（2）NCTO=Na+180。—N/,理由见解析•：（3）①当P在明延

长线时（点。不与点A重合），ZCPD=18O0-Z/?-Z«;②当，在80之间时（点尸不与

点5,。重合），ZCPD=Za-1800+Z^.理由见解析

【分析】

（1）过P作PEII48,构造同旁内角，利用平行线性质，可得N4PC=113。；

（2）过过。作尸"//AO交8于产，，推出AD//尸///8C,根据平行线的性质得出

?BCP180??/?,即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在84的延长线上，②当尸在8。之间时（点尸不与

点8,。重合）），根据平行线的性质即可得出答案.

【详解】

解：（1）过户作庄//A8,

・.・AB//CD,

..PE//AB//CD,

\APE购4=180.ZCPE+ZPCD=\^0°,

・・・NR44=128°,ZPCD=119°

ZAPE=52°,NCPE=61。,

.­.ZAPC=52O+61O=113°；

（2）ZCPD=Za+l80°-Z^,理由如下:

如图3,过，作M//A力交。。于尸，

•・•AD//BC,

:.AD//PFHBC,

ZADP=2DFF,ZBCP-Z.CVF,

•・•ZBCP+NPCE=180°,/PCE=邛,

/.ZBCP=180°-Z/?

又.ZADP=/a

\?CPD?DPFWPF=«+180??b；

B

（3）①当尸在84延长线时（点产不与点A重合），NCPD180°-Z//-Z<z；

理由：如图4,过。作分//AQ交。。于产，

AD//BC,

..AD//PF//BC,

:.ZADP=/DPF,ZBCP=ZCPF,

•・•NBCP+NPCE=180°,NPCE=邛,

/.ZBCP=18O°-Z/7,

又.ZADP=/a,

4CPD=/CPF-乙DPF=180°-Za-Z^;

②当P在30之间时（点。不与点8,。重合），ZCPD=-180。+〃.

理由：如图5,过P作球/MD交。。于尸，

,AD//BC,

:AD//PFHBC,

:.ZADP=ZDPF,"CP=/CPF,

.•/BCP+NPCE=180°,NPCE=N尸，

ZBCP=180°-Z/?,

又•.ZADP=^a

ZCPD=NDPF-/CPF=Za+Z/7-180°.

U/

E

图5

【点睛】

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线

构造内错角以及同旁内角.

4.（1）；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即瓦求解.

（2）过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）见解析；（3）105°

【分析】

（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解.

（2）过点8作8GliDM,根据平行线找角的联系即可求解.

（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解.

【详解】

解：（1）如图1,设AM与8c交于点OJYMIICN,

ZC=ZAOB,

•/AB±BC,

ZA8c=90°,

/.ZA+N408=90°,

NA+NC=90°,

故答案为：N2+NC=90。；

图2

•••BD±AM,

DB±DC,

：.Z08G=90°,

」.N48。+/48G=90°,

•/AB±BC,

「.NC8G+N48G=90。,

ZABD=Z.CBG,

,/AMWCN,

：.ZC=ZCBG,

Z48O=NC：

(3)如图3,过点8作8GliDM,

图3

•「8F平分ND8C,8E平分N48D,

/.ZDBF=4CBF,ZDBE=NABE,

由（2）知NA8D=NCBG.

**.NABF—GBFf

DBE=a,ZABF=6,

则NABE=a,ZABD=2a=Z.CBG,

ZGBF=^AFB=6t

Z8FC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

,/ZAFC+NNCF=180°,NFCB+NNCF=180°,

/.ZFCB=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由NC8F+NBFC+z8CF=180°得：2a+6+3a+3（x+6=180°,

•••AB±BC,

6+6+2a=90°,

a=15°,

/.Z4BF=1S°,

/.ZE8C=NA8E+N48c=15°+90°=105°.

故答案为：105。.

【点睛】

本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键.

5.（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°

【分析】

（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；

（3）,过，分别作，，根据

解析：（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180。

【分析】

（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；

（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解.；

（3）/8PC+/8QC=180。，过Q,P分别作QG//A8.PH//AI3,根据平行线的性质及

平角的定义即可得解.

【详解】

解(1)•:CN,CM分别平分N8CE和N3CQ,

:.BCN=L/BCE,NBCM=L/BCD,

22

4c£+46=180°,

二乙MCN=ZBCN+4BCM=-ZBCE+-々BCD=-(ZfiCE+NBCO)=90°:

222

(2)•.•CMJLOV,

/.Z7WC7V=90°,即乙BCN+N8CM=90°,

2ZBGV+2ZBGW=180°,

•「CN是NBCE的平分线，

:.乙BCE=2NBCN,

/BCE+2/BCM=180°,

又NBCE+NBCD=l&F,

：.ZBCD=2ZBCM,

又.CM在NBC。的内部，

.•.C仞平分N8C7)；

(3)如图，不发生变化，NBPC+4QC=I8O。，过。P分别作QG//A3,PH//AB,

则有QG〃A6///V7〃C'£>,

."BQG=ZAB。,NCQG=/ECQ,ZBPH=/FBP,ZCPH=ZDCP,

vBPIBQ,CPICQ,

/PBQ=/PCQ=90。,

•••NABQ+NPBQ+F«P=180°,ZECQ+NPCQ+ZDCP=180°,

/.ZABQ+NFBP+4ECQ+ADCP=18()。，

/.4BPC+NBQC=/BPH+NCPH+/BQG+ZCQG

=ZABQ+NFBP+NEC。+4DCP=180°,

NBPC+NBQC=1800不变.

【点睛】

此题考兖了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键.

二、解答题

6.(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；.

【分析】

(1)过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；

（2）先证明，再证明，得到，问题得证；

（3）根据题意得到，艰据（2）结论得到ND

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2a.

【分析】

（1）过点C作CG〃。尸，得到/。庄=/46,再根据N3b=90。，

ZABC+/DFE=90。,得到乙48c=N8CG,进而得到CG//A8,最后证明OF//A8；

（2）先证明NAC8+NDM=90。，再证明NAC3+NACE=90。，得到/DEF=ZACE,问

题得证；

（3）根据题意得到NDFf=NO£F=a,根据（2）结众得到/OEF=/EC4=。，进而得到

Z/lBC=ZACT=90°-a,根据三角形内角和即可求解.

【详解】

解：（1）过点C作。G//0。

/.ZDFE=ZFCG,

，；BCLMN,

/.ZfiCF=90°,

ZfiCG+ZFCG=90°,

/./BCG+NDFE=90。,

ZABC+NDFE=900,

ZABC=ZBCG,

:.CG//AB,

:.DF//ABx

（2）解：vZABC=AACB,/DEF=/DFE,

又ZABC+ZDFE=90°,

:.ZACB+NDEF=90°,

BC工MN，

.•.N8CM=90。，

,\ZACB+ZACE=90°,

ZDEF=ZACE,

/.DE//AC；

（3）如图三角形DEF即为所求作三角形.

N

AB

图3

Z.DFE=a,

/DFE=/DEF=a,

由(2)得，DEWAC,

ZDEF=AECA=a,

■「ZACB+ZACE=90°,

/.Z4CB=90°-a,

ZABC=ZACB=9(r-a,

：.zA=13Q°-ZABC-ZACB=2a.

故答案为为：2a.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根

据题意画出图形是解题关健.

7.(1)①，证明见解析，②，(2)或.

【分析】

⑴①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作

QFIICD,根据平行线的性质证即可；

⑵过点Q作QFIICD,根据点P的位置不同，

解析：(1)①MNMPQ,证明见解析，②/BMQ+NDPQ=70。,(2)160。或20。,

【分析】

⑴①根据A8//CO和镜像证出NNMP=NQQM,即可判断直线与直线PQ的位置关

系,②过点Q作QFIICO,根据平行线的性质证N8MQ+NOPQ=NMQP即可；

(2)过点Q作QFIIC。，根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可.

【详解】

(1)①MNHPQ,

证明：AB//CD,

：./NPM=/QMP,

•「NNMP=NQMP,NNPM=/QPM,

4NMP=NQPM,

：.MN//PQ.

②过点。作QFIICD,

■：ABI/CD,

：.ABf/CD//QF,

/BMQ=Z1,Z2=NQPD,

/.NBMQ+NDPQ=/MQP,

•「4MNP=4MQP=10。，

：./BMQ+/DPQ=7G；

(2)如图，当点P在N右侧时，过点Q作QFIICD,

同(1)得，AB//CD//QF,

：.Z.FQP+NNPQ=180°,ZFQM=NBMQ,

•「PQ±CD,

NNPQ=90。，

ZFQP=90°f

•/4MND=/PQM=10。,

4FQM=20°,

/BMQ=70°,

如图，当点P在/V左侧时，过点Q作QFIICD,同（1）,AB//CD//QF,

同理可得，NFQP=90。，

1/NMND=70。，

/MNP=/PQM=\\2。,

/FQM=20°,

•「ABI/QFf

：.N/'QM+N4MQ=180。，

NBMQ=16O。；

综上，N8MQ的度数为160。或20。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作埔助线，熟练利用平行线的性质推

导角之间的关系.

8.（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZE

解析：（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NtMF=ZAtM+ZMFC.ZAtM+ZtMh+ZM卜C=36U°.

证明：过点M作MPIIAB.

,/ABHCD,

MPIICD.

Z4=Z3.

1/MPIIAB,

Z1=Z2.

,/ZEMF=Z2+Z3,

/.ZEMF=Z1+Z4.

...ZEMF=ZAEM+ZMFC；

证明；过点M作MQIIAB.

•/ABHCD,

/.MQIICD.

ZCFM+Z1=180°；

MQIIAB,

ZAEM+Z2=180°.

ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

,/ZEMF=Z1+Z2,

/.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°：

(2)如图2第一个图：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

/.ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MPIINQ,

Z2+Z3=180°,

ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC

=N1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如图2第二个图:ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC=180°.

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

ZAEM+Z1=180°,NCFN=N4,MPIINQ,

Z2=Z3,

•「ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZCMN-ZMNT=Z1+Z2-Z3-Z4,ZACM+ZCrN=180°-Z1+Z4,

ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

图2

【点睛】

本题考查J'平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

9.(1)①90；②t为或或或或或或；(2)①正确，②错误，证明见解析.

【分析】

(1)①由平角的定义，结合已知条件可得：从而可得答案；②当时，有两种

情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和

解析：(1)①90；②t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；(2)①正确，②错

误，证明见解析.

【分析】

(1)①由平角的定义，结合已知条件可得：N。尸。=180。-/。以-/。?法从而可得答

案；②当8D//PC时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差

求解旋转角，可得旋转时同；当期〃皿时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行

线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当AC7/DP时，有两种情况，画出

符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，M得旋转时间：当

AC〃8D时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得

旋转时间；当AC7/8P时的旋转时间与P/V/B7)相同；

(2)分两种情况讨论：当。。在MN上方时，当PD在下方时，①分别用含/的代数

式表示/CPD/BPN，从而可得名言的值；②分别月含，的代数式表示

Z.BPN

NCPD/BPN,得到N4/W+NC叨是一个含，的代数式，从而可得答案.

【详解】

解：(1)①:ZDPC=1300-NC%-NDPB,ZCPA=6Q°,ZDPB=30°,

ZDPC=130-30-60=90°,

故答案为90：

②如图1-1,当8DIIPC时，

C

MBPN

图1-1

,/PCIIBD,ZDBP=90°,

：.ZCP/V=Z08P=90°,

,/ZCPA=6Q°,

：.ZAPN=3Q0,

转速为107秒，

「•旋转时间为3秒；

如图1-2,当PCIIBD时，

图1-2C

,/PC//BD/PBD=90°,

/.ZCP8=Z08P=90°,

•••ZCPA=6Q°f

：.ZAPM=30°,

V三角板P4：绕点P逆时针旋转的角度为180o+30°=210°,

转速为107秒，

旋转时间为21秒,

如图1-3,当外II8。时，即点。与点C重合，此时NACP=NBPD=30。，则4GI8P,

图1-3

:力IIBD,

ZDBP=AAPN=90\

/.三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°,

・「转速为107秒，

・•・旋转时间为9秒，

如图1-4,当PAIIBD时,

/.ACWBP,

'：PAWBD,

ZDBP=NBPA=9Q°f

三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°=270°,

转速为107秒，

.，.旋转时间为27秒,

如图1-5,当4cliOP时，

c

图1-5

•/ACWDP,

ZC=ZDPC=30°,

：.ZAPN=180°-30°-30*-60°=60°,

三角板叫C绕点P逆时针旋转的角度为60。,

・••转速为107秒，

.•・旋转时间为6秒，

如图1-6,当AC//QP时，

AC//DP,

.•.NOPA=NPAC=90。，

ZDPN+/DPA=180°-30°+90°=240°,

•••三角板%C绕点P逆时针旋转的角度为240。,

V转速为107秒，

旋转时间为24秒，

如图1-7,当八GlBD时，

,/4CIIBD,

/.ZDBP=A84c=90°,

点4在MN上，

A三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°,

;转速为107秒，

旋转时间为18秒,

当AC//AP时，如图1-3.1-4,旋转时间分别为：9s.27s.

综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是"挛生三角

形”；

(2)如图，当尸。在上方时，

①正确，

理由如下：设运动时间为t秒，则N8PM=23

ZBPN=1300-23ZDPM=30°-It,ZAPN=3t.

ZCPD=1800-ZDPM-CPA-Z.APN=9Q°-t,

/BPN=2ZCPD=180。-2t,

.zero_i

,,~ZBPN~2'

②NBPA/+NCPD=180°-2t+90°-t=270°-3t,可以看出NBPN+xCPD随着时间在变化,

不为定值，结论错误.

当月。在MN下方时，如图，

①正确，

理由如下：设运动时间为t秒，则N8PM=23

ZBPN=180°-2t,ZDPM=2—30。，zAPN=3t.

：.ZCPD=3600-ZCPA-ZAPN-ZDPB-ZBPN

=360o-60o-3r-30o-(180°-2r)

=90°-/

NBPN-2ZCPD-1800-27,

.NCPDI

"~ZBPN~2'

②NBPN+NCPD=180°-2t+90°-t=270°-3t,可以看出NBPN+NCPD随着时间在变化,

不为定值，结论错误.

综上：①正确，②错误.

【点睛】

本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义(旋转角)的理

解，掌握分类讨论的思想是解题的关键.

10.（1）；（2）理由见解析；（3）,理由见解析.

【分析】

（1）由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BDIIa.由平行线的性质得N2+/ABD=180。，Z1=Z

解析：（1）N2=42。；（2）理由见解析；（3）Z1=Z2,理由见解析.

【分析】

（1）由平角定义求出N3=42。，再由平行线的性质即可得出答案；

（2）过点B作BDIIa.由平行线的性质得/2+NABD=180。，Z1=ZDBC,则NABD=

ZABC-ZDBC=60°-Z1,进而得出结论；

（3）过点C作CPIIa,由角平分线定义得NCAM=NBAC=30°,ZBAM=2ZBAC=60°,

由平行线的性质得N1=NBAM=60。，ZPCA=ZCAM=30°,Z2=ZBCP=60°,即可得出

结论.

【详解】

解：（1）如图1・・・N1=48。，ZBC4=9O°,

/.Z3=l80°-ZBCA-Zl=42°,

a//b,

.\Z2=Z3=42°；

图1

（2）理由如下：如图2.过点、B作

图2

/.Z2+ZABD=180°,

a!lb,

:.b〃BD,

:"l=/DBC,

ZABD=ZABC-/DBC=60°-ZI,

/.Z2+60°-Zl=l80°,

/.Z2-ZI=120°；

(3)Z1=Z2,

B

a

图3

理由如下:如图3,过点C作CP〃a,

•・•AC平分NBAW,

/.NC4M=N84C=30。，

N8AW=2N8AC=60。，

又•aHb,

:.CPUb,

N1=4AM=6O。，

ZPC4=ZC4M=30°,

/.ZBCP=ZBCA-ZPCA=90°-30°=60°,

又：CP〃a,

.•.N2=N8CQ=600,

.•.4=/2.

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、

角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质

是解题的关键.

三、解答题

11.(1)105°；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在4CEN中，用三角形内角和定理即可求出；

(2)由NBON=30。，NN=30。可得MNIICB,再根据两直线平行,同旁内角

解析：(1)105°；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在中，用三角形内角和定理即可求出；

(2)由N8ON=30。，NN=30。可得MMIC8,再根据两宣线平行，同旁内角互补即可求出

ZCEN的度数.

(3)画出图形，求出在时的旋转角，再除以30。即得结果.

【详解】

解：(1)在中，NCEA/=180°—/EC/V-/CNE=180°—45°—30°=105°；

(2)/ZBON=30°,ZN=30°,

ZBON=AN,

MNWCB.

：.ZOCD+ZCEA/=180°,

・「Z08=45°

ZCE/V=180o-45o=135o；

(3)如图，时,旋转角为360。一90°—45。-60。=165°,或360。一(60。-45。)

=345°,所以在第165V3(r=5.5或345。+30。=11.5秒时,直线MA/恰好与直线8垂直.

【点睛】

本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的

定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难点是第(3)小题，解题的关键是画出适合题意

的几何图形，弄清求旋转侑的思路和方法，本题的第一种情况是将旋转角NDOM放在四边

形。OMF中，用四边形内角和求解，第二种情况是用周侑减去/。。河的度数.

12.【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC70；【深入思考】

2.

【分析】

［现象解释］根据平面镜反射光线的规律得N1=Z2,N3=Z4,再利用

Z2+Z3=90。得出N1+Z2+Z

解析：【现象解释】见解析；【尝试探究】N8EC=70。；【深入思考】/?=2a.

【分析】

［现象解释］根据平面镜反射光线的规律得N1=/2,Z3=Z4,再利用N2+/3=90。得出

Z1+Z2+Z3+Z4=180°,即可得出/DCB+ZABC=180%即可证得ABIICD；

［尝试探究］根据三角形内角和定理求得N2+Z3=125。，根据平面镜反射光线的规律得

Z1=Z2,Z3=Z4,再利用平角的定义得出N1+N2+NEBC+N3+N4+NBCE=360°,即可得

出NEBC+BCE=360°-250°=110°,根据三角形内角和定理即可得出NBEC=180°-110o=70°：

［深入思考］利用平角的定义得出NABC=180,2/2,ZBCD=180°-2Z3,利用外角的性质

ZBED=ZABC-ZBCD=(180°-2Z2)-(1800-2Z3)=2(Z3-Z2)呻，而NBOC=Z3-

Z2=a,即可证得B=2a.

【详解】

［现象解释］

如图2,

OMJLON,

ZCON=90°,

Z2+Z3=90°

Z1=Z2,Z3=Z4,

1.Z1+Z2+Z3+Z4=180°,

ZDCB+ZABC=180°,

ABHCD；

【尝试探究】

如图3,

图3

在AOBC中，,「NCOB=55。,

Z2+Z3=125°,

•/Z1=Z2,Z3=Z4,

Z1+Z2+Z3+Z4=250°,

•••Z1+Z2+ZEBC+Z3+Z4+ZBCE=360°,

/.ZEBC+BCE=360o-250o=110°,

o

ZBEC=180°-110=70°;

【深入思考】

如图4,

图4

B=2a.

理由如下：•••/1=N2,Z3=Z4,

ZABC=18O0-2Z2,ZBCD=18O0-2Z3,

ZBED=ZABC-ZBCD=(180°-2Z2)-(180°-2Z3)=2(Z3-Z2)邛，

ZBOC=Z3-Z2=a,

p=2a.

【点睛】

本题考查「平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的

性质是解题的关键.

13.(1)详见解析；(2)NBAE+NMCD=90。，理由详见解析;(3)详见解析.

【详解】

试题分析:(1)先根据CE平分NACD,AE平分NBAC得出/BAC=2ZEAC,

ZACD=2ZACE,再

解析：(1)详见解析；i2)NBAE+J/MCD=90。，理由详见解析；(3)详见解析.

【详解】

试题分析：(1)先根据CE平分NACD,4E平分N8AC得出NE4C,

Z4CD=2ZACE,再由/EAC+Z.ACE=90。可知/BAC+Z.ACD=180,故可得出结论；

(2)过E作EFWAB,根据平行线的性质可知EFWABWCD,Z8AE=NAEF,ZFEC=NDCE,

故NBAE+NECD=90°,再由/MCE=NECD即可得出结论；

(3)根据4811CD可知/8AC+NACD=13Q°,ZQPC+NPQC+NPCQ=180°,故

ZBAC=NPQC+NQPC.

试题解析：证明：(1)TCE平分NACD,AE平分N84?,N8AC=2NEAC,

Z4CD=2ZACE.

ZEAC+Z.ACE=90°,/.ZBAC+Z.ACD=18Q,.'.ABWCD；

(2)ZBAE+^AMCD=9Q°.证明如下：

过E作EFWAB.­：ABWCD,：.EFWIIAB\lCD,：.ZBAE=NAEF,ZF£C=ZDCE.

(3)①NBAC=NPQC+NQPC.理由如下：

如图3：>4811CD,Z3AC+ZACD=180°.

ZQPC+ZPQC+NPCQ=180°,ZB4C=ZPQC+NQPC：

②/PQC+NQPC+/04c=180。.理由如下：

如图4：■：AB\\CD,/.ZBAC=ZACQ.

ZPQC+ZPCQ+NACQ=180°,/.ZPQC+Z