2027届高三数学一轮复习课件：第六章　6.1 数列的概念及表示

第六章数列考情清单知识清单考点清单目录CONTENTS考情清单考点真题示例考向5年考频核心素养等差数列及其前n项和2025全国一卷,16(1)等差数列的判定11考数学运算2021新高考Ⅰ,17(1)2023新课标Ⅰ,72023新课标Ⅰ,20(1)等差数列的通项公式2023新课标Ⅱ,18(1)2022新高考Ⅰ,17(1)2021新高考Ⅱ,17(1)2025全国二卷,7等差数列的前n项和2024新课标Ⅱ,122023新课标Ⅰ,20(2)2021新高考Ⅱ,17(2)等比数列及其前n项和2025全国二卷,9等比数列的通项公式4考数学运算2022新高考Ⅱ,17(1)2025全国一卷,13等比数列的前n项和2023新课标Ⅱ,8数列求和2025全国一卷,16(2)错位相减法求和3考数学运算逻辑推理2021新高考Ⅰ,162021新高考Ⅰ,17(2)分组、并项法求和数列综合2022新高考Ⅱ,17(2)数列与函数综合6考数学运算逻辑推理2023新课标Ⅱ,18(2)数列与不等式综合2022新高考Ⅰ,17(2)2024新课标Ⅰ,19数列创新2024新课标Ⅱ,192022新高考Ⅱ,3数列的实际应用综合分析本章内容是高考必考内容之一,小题重点考查等差、等比数列的概念、性质、通

项公式和前n项和公式.解答题常考查求数列的通项公式及求和的方法,重点体现错位

相减法、裂项相消法及分组、并项求和法的应用.数列与其他知识相结合的创新题型

也是近年考试的热点.复习时应注重基础,提升能力,保证计算的准确性,重视分类讨

论、逻辑推理、转化与化归思想的应用.6.1数列的概念及表示知识清单知识点1数列的有关概念1.数列的概念:一般地,把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫

做这个数列的项.2.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an=f(n)

来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.注意

(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.3.数列的递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始,

任何一项an与它的前一项

(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.4.数列{an}的前n项和:从数列{an}的第一项起到第n项止的各项之和,记作Sn,即Sn=a1+a2+

…+an.an与Sn的关系为an=

5.数列的最大项和最小项:在数列{an}中,若an最大,则

若an最小,则

其中n≥2.知识点2数列的分类1.按项与项之间的大小关系分类(1)若

>an(n∈N*),则{an}为递增数列;(2)若

<an(n∈N*),则{an}为递减数列;(3)若

=an(n∈N*),则{an}为常数列;(4)从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,则{an}为摆动数列.2.按项数分类:若数列的项数是有限的,则为有穷数列.若数列的项数是无限的,则为无穷

数列.知识点3数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})到实数集R的函数,其自变

量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n),即当自变量从1开始,按照从小

到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值就是数列{an}.另一方面,对于函数y=f(x),

如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成一个数列{f(n)}.即练即清1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.

()(2)任何一个数列都可以写出其通项公式.

()(3)数列的图象是一群孤立的点.

()(4)S2n表示数列{an}中所有偶数项的和.

()(5)递推公式是表示数列的一种方法.

()

√

✕

√

✕

✕

2.(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+

(n≥2),则a5=

()A.

B.

C.

D.

D

3.(易错题)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n+1-1,则数列{an}的通项公式为__________.

an=考点清单考点1数列的概念和性质角度1数列的单调性典例1数列{cn}满足cn=

n∈N*,若数列{cn}单调递增,则实数a的取值范围为

()A.[2,3)

B.(1,3)

C.(1,2)

D.(2,3)

D

解析由数列{cn}单调递增得

解得2<a<3.方法总结解决数列的单调性问题的3种方法作差比较法根据an+1-an的符号或值判断数列{an}是递增数列、递减

数列或是常数列作商比较法根据

(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断变式训练1.(关键元素变式)设数列{an}的通项公式为an=n2+λn,且对任意的n∈N*,an+1>an,则实

数λ的取值范围是_______________.

(-3,+∞)

解析因为an+1>an,所以数列{an}递增,则-

<

,【注意a2>a1】解得λ>-3.角度2数列的周期性典例2

(2026届四川绵阳第一次质量检测,3)已知数列{an}满足a1=

,an+1=

,则a2025=()A.

B.-2

C.-

D.3

A

解析由数列{an}满足a1=

,an+1=

,可得a2=

=

=3,a3=

=

=-2,a4=

=-

,a5=

=

=a1,……,所以数列{an}是周期数列,且周期T=4,则a2025=a506×4+1=a1=

.故选A.解题技巧根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳得出数列的周期,进而

解决相关问题.变式训练2.(关键元素变式)(2025届福建联合测评,13)已知a1=1,a2=2,且an+1=an+an+2(n为正整

数),则a2029=_________.

1

解析因为a1=1,a2=2,且an+1=an+an+2,所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-2,a6=a5-a4=-1,a7

=a6-a5=1,a8=a7-a6=2,……,所以{an}是以6为周期的数列,因为2029=6×338+1,所以a2029=a1

=1.角度3数列的最值典例3数列{bn}满足bn=

,则当n=_________时,bn取得最大值_________.

4

解析

解法一当n≥2且n∈N*时,bn-bn-1=

-

=

,当n≤4时,bn>bn-1,此时,{bn}递增,当n≥5时,bn<bn-1,此时,{bn}递减,故当n=4时,bn取最大值,(bn)max=b4=

.解法二当n≥2且n∈N*时,由

即

解得

≤n≤

,又n∈N*,故n=

4,故当n=4时,bn取最大值,(bn)max=b4=

.方法总结求数列的最大项与最小项的常用方法1.函数法.2.通过通项公式an研究数列的单调性,利用

(n≥2)确定最大项,利用

(n≥2)确定最小项.变式训练3.(设问条件变式)已知数列{an}的通项公式为an=

,则an取到最小值时n的值是()A.6

B.7

C.8

D.9

B

解析

an=

=

=1+

,当n>7,n∈N*时,2n-15>0,an=1+

单调递减,此时,an=1+

>1;当n≤7,n∈N*时,2n-15<0,an=1+

单调递减,且an=1+

<1,此时,an=1+

≥a7=1+

=-12,所以an取到最小值时n的值是7.故选B.考点2数列的通项公式角度1由an与Sn的关系求通项公式典例4

记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.

-63

解析

解法一由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得

an=2an-1,所以{an}是首项为-1,公比为2的等比数列.所以S6=

=

=-63.解法二由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,∴S1=-1,当n≥2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,∴Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,∴{Sn-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,∴Sn-1=-2×2n-1=-2n,∴Sn=1-2n,∴S6=1-26=-63.解题技巧利用an与Sn的关系求通项公式题型思路举例已知Sn与an的关系或Sn与n的关系用Sn-Sn-1得到an已知4Sn=(an+1)2,求an已知an与Sn-1Sn的关系或an与

+

的关系用Sn-Sn-1替换题目中的an已知2an=SnSn-1(n≥2);已知

=an+1-

已知等式左侧含有

aibi作差法(类似Sn-Sn-1)已知a1+2a2+3a3+…+nan=2n,求an变式训练4.(情境模型变式)(2026届四川广安中学零诊模拟,13)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,且数列

的前n项和为Sn,则S20=_________.解析当n=1时,a1=2;由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n①,得a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,n≥2②,①-②得,2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1,【作差法(类似Sn-Sn-1)】即an=n+1,n≥2.又a1=2也满足上式,所以an=n+1,n∈N*.由于

=

=

-

,所以S20=

-

+

-

+…+

-

=

-

=

.角度2由数列的递推关系求通项公式典例5

(累加法)(2025届江西新余实验中学模拟(三),5)已知数列{an}满足

-

=2n,且a1=1,则数列{an}的通项公式为

()A.an=2n-1

B.an=log32n-1+1C.an=log3(2n+1)

D.an=log3(2n+1-1)

C

解析由

-

=2n,知(

-

)+(

-

)+…+(

-

)=2+22+···+2n-1,n≥2,所以

-3=

,即

=2n+1,故an=log3(2n+1),又a1=1适合上式,故an=log3(2n+1),n∈N*.故选C.归纳总结对于形如

-an=f(n)的数列的递推关系式,若f(1)+f(2)+···+f(n)可求,则可利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-

)(n≥2,n∈N*)求解.变式训练5.(情境模型变式)已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+2n-1,则数列{an}的通项公式为an=______________.(n-1)2

解析∵an+1=an+2n-1,∴an+1-an=2n-1,∴a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3(n≥2),以上各式相加得an-a1=1+3+5+7+…+(2n-3)=

=(n-1)2(n≥2),又a1=0,所以an=(n-1)2(n≥2),而a1=0也适合上式,∴an=(n-1)2,n∈N*.典例6

(累乘法)在数列{an}中,a1=

且(n+2)·an+1=nan,则它的前30项和S30=

()A.

B.

C.

D.

A

解析∵(n+2)an+1=nan,∴

=

,∴an=a1·

·

····

=

×

×

×···×

=

=

-

,n≥2,∴an=

-

,n≥2,当n=1时,a1=

适合上式,则an=

-

,n∈N*.因此,S30=1-

+

-

+…+

-

=

.故选A.归纳总结对于形如

=f(n)(an≠0)的数列的递推关系式,若f(1)·f(2)·…·f(n)可求,则可利用an=a1·

·

·…·

(an≠0,n≥2,n∈N*)求解.变式训练6.(跨专题融合变式)已知数列{an}的前n项和为Sn,若对任意n∈N*,向量pn=(4,-2n-1),qn

=(Sn,an),满足pn·qn=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=

,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<

.解析

(1)∵向量pn=(4,-2n-1),qn=(Sn,an),满足pn·qn=1,∴4Sn=(2n+1)an+1,令n=1,得a1=1,当n≥2时,4Sn-1=(2n-1)an-1+1,两式相减得4an=(2n+1)an-(2n-1)an-1(n≥2),即(2n-3)an=(2n-1)an-1,由a1=1,n≥2,知an≠0(n∈N*),∴

=

(n≥2),∴

·

·…·

=

×

×…·

,即

=2n-1,又a1=1,∴an=2n-1,n≥2,又a1=1也符合上式,∴an=2n-1,n∈N*.(2)证明:由(1)知bn=

=

=

,∴Tn=

+

+…+

=

=

,∵

-

=

<0,∴Tn<

.典例7(构造法)数列{an}满足a1=1,an+1=3an+4,n∈N*,则{an}的通项公式为___________

____.

an=3n-2解析将an+1=3an+4整理得an+1+2=3(an+2),即

=3(常数),又a1+2=3,所以数列{an+2}是以3为首项,3为公比的等比数列.故an+2=3×3n-1=3n,即an=3n-2.方法总结用构造法求通项公式的类型及方法1.形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推关系式,把原递推关系式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=

,然后构造

=p,即{an-t}是以a1-t为首项,p为公比的等比数列.2.形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)的递推关系式,要先在递推关系式两边

同除以qn+1,得

=

·

+

,引入辅助数列{bn}

,得bn+1=

·bn+

,再用构造法解决.3.形如an+1=kan+pn+q(n∈N*)的递推关系式,构造an+1+cn+d=k[an+c(n-1)+d],展开后比较两

边系数,求出c,d,构造

=k,即数列{an+c(n-1)+d}为等比数列.4.取倒数法:对an=

(其中n≥2,mkb≠0)取倒数,得到

=

·

⇔

=

·

+

.令bn=

,则{bn}可归为bn+1=pbn+q(p≠0,1,q≠0)型.变式训练7.(an+1=pa