2027届高三数学一轮复习课件：第七章　7.2　空间点、线、面的位置关系

第七章立体几何与空间向量7.2空间点、线、面的位置关系知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1平面的基本性质1.平面的基本性质

文字语言图形语言符号语言基本事实1过不在一条直线上的三个

点,有且只有一个平面

A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l点拨三点不一定能确定一个平面.当三点共线时,过这三点的平面有无数个,所以必须

是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.2.三个推论利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可得以下推论:推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面知识点2空间中的位置关系空间中直线与直线的位置关系共面直线相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:在同一平面内,没有公共点异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点空间中直线与平面的位置关系直线在平面内有无数个公共点直线在平面外直线与平面相交:有且只有一个公共点;直线与平面平行:没有公共点空间中平面与平面的位置关系两个平面平行:没有公共点;两个平面相交:有一条公共直线知识点3基本事实4和等角定理1.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.2.等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.知识点4异面直线所成的角已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做

异面直线a与b所成的角(或夹角),其取值范围为

.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)三个平面至多将空间分为3个部分.()(2)若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面.

()(3)若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.

()(4)若直线m上的三个点在平面α内,则m⊂α.()

√

✕

✕

✕

2.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与

β的交线必经过

()

A.点A

B.点BC.点C但不过点M

D.点C和点M

D

3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,点E为棱B1C1上任意一点,则直线AA1

与直线BE所成角的范围是_________.

考点清单考点空间点、线、面的位置关系角度1空间点、线、面位置关系的判定典例1

(直线关系判断)(2026届安徽临泉田家炳实验中学开学考,7)设A,B,C,D是空

间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是

()A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC

D

解析对于A,若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面,正确;对于B,若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,正确;对于C,当A,B,C,D四点共面时显然成立,当A,B,C,D四点不共面时,如图,取BC的中点M,连接AM、DM,则AM⊥BC,DM⊥BC,又

AM∩DM=M,AM,DM⊂平面ADM,∴BC⊥平面ADM,∵AD⊂平面ADM,∴BC⊥AD,∴C

正确;如图,空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,则AD与BC不一定相等,∴D错误.故选D.

方法总结空间点、线、面位置关系的判定方法1.应用平面的基本性质及有关定理.2.采用穷举法,即对各种关系进行考虑,要充分发挥常见模型的直观性作用.3.对空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用构图法(尤其是长

方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等.4.应用线、面平行的判定定理和性质定理进行判断,注意其使用的前提条件.变式训练1.(点的位置关系判断)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是

()

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面

A

D.B,B1,O,M共面解析因为M在A1C上,A1C在平面A1ACC1内,所以M在平面A1ACC1内,又因为M在平面AB1D1内,所以M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上,即A,M,O三点共线,因此A,M,O,A1共面且A,M,C,O共面.连接BD,因为平面BB1D1D与平面AB1D1的交线为B1D1,所以M在平面BB1D1D外,即B,B1,O,

M不共面,故选A.角度2求异面直线所成的角典例2在正四面体ABCD中,M,N分别为BC,BD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值

为

()

A.

B.

C.

D.

D

解析取BN的中点E,如图,连接AE,EM,AN,则EM∥CN且EM=

CN,所以∠AME或其补角为直线AM和CN的夹角,设正四面体的棱长为4,则AN=CN=AM=2

,EM=

,EN=1,AE=

=

,所以cos∠AME=

=

=

.故直线AM和CN的夹角的余弦值为

.故选D.

方法总结用平移法求异面直线所成角的步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成角(或其补角).(2)二证:证明作出的角是异面直线所成角(或其补角).(3)三求:解三角形,求出所作的角.若求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;若求出

的角是钝角,则它的补角才是要求的角.变式训练2.(情境模型变式)正方体的平面展开图如图,则在这个正方体中,异面直线AB与CD

所成的角为___________.

60°

解析如图所示,把展开图恢复到原正方